知識講解
1．事件的分類
2.事件的關(guān)系與運算
互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．
考點一、事件的判斷
1．（2022·全國·高三專題練習）以下事件是隨機事件的是（ ）
A．標準大氣壓下，水加熱到，必會沸騰B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根
【答案】B
【分析】根據(jù)隨機事件的概念判斷即可
【詳解】解：A．標準大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；
B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；
C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項不符合題意；
D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．
故選：B．
2．（2023·全國·高三專題練習）以下現(xiàn)象中不是隨機現(xiàn)象的是（ ）．
A．在相同的條件下投擲一枚均勻的硬幣兩次，正反兩面都出現(xiàn)
B．明天下雨
C．連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點
D．平面四邊形的內(nèi)角和是360°
【答案】D
【分析】根據(jù)隨機現(xiàn)象的定義進行判斷即可.
【詳解】因為平面四邊形的內(nèi)角和是360°是一個確定的事實，而其他三個現(xiàn)象都是隨機出現(xiàn)的，
所以選項D不符合題意，
故選：D
3．（2022·浙江·高三專題練習）有兩個事件，事件拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù)；事件人中至少有人生日相同.下列說法正確的是（ ）
A．事件、都是隨機事件B．事件、都是必然事件
C．事件是隨機事件，事件是必然事件D．事件是必然事件，事件是隨機事件
【答案】C
【解析】判斷事件、的類型，由此可得出結(jié)論.
【詳解】對于事件，拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面的點數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，則事件為隨機事件；
對于事件B，一年有天或天，由抽屜原理可知，人中至少有人生日相同，事件為必然事件.
故選：C.
【點睛】本題考查事件類型的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
4．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個命題：
①若任取，則是必然事件；
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】、
由題意作出韋恩圖，結(jié)合必然事件、不可能事件和隨機事件的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】因為集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：
對于①：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；
對于②：任取，則是隨機事件，故②不正確；
對于③：因為集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，則是隨機事件，故③正確；
對于④：因為集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，
任取，則是必然事件，故④正確；
所以①③④正確，正確的命題有3個．
故選：C．
5．（2022·全國·高三專題練習）（多選）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件
B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是必然事件
【答案】ABC
【分析】由隨機事件、不可能事件、必然事件的概念對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；
對于B，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；
對于C，因為只有2張藍色卡片，從中任取3張卡片，所以事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件，故C正確；
對于D，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D不正確.
故選：ABC.
1．（2023·全國·高三專題練習）下列事件中不是確定事件的個數(shù)是（ ）
①從三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；②水中撈月；③守株待兔；④某地區(qū)明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)隨機事件的定義分析判斷即可
【詳解】三角形三條高線一定交于一點，則①是必然事件；
②水中撈月是不可能事件；
③守株待兔是隨機事件，不是確定事件；
④某地區(qū)明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是隨機事件，不是確定事件.
故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習）下列事件：（1）在標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰；（2）平面三角形的內(nèi)角和是180°；（3）騎車到十字路口遇到紅燈；（4）某人購買福利彩票5注，均未中獎；（5）沒有水分，種子發(fā)芽了．其中隨機事件的個數(shù)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)隨機事件的定義進行判斷即可.
【詳解】事件（1）是基本事實，因此是確定事件；事件（2）是基本事實，因此它是確定事件；
事件（3、（4）是隨機出現(xiàn)，是隨機事件；事件（5）是不可能事件，
故選：B
3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件
B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件
【答案】C
【分析】根據(jù)隨機事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.
【詳解】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，
在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；
在B中，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；
在C中，事件“至少有一張藍色卡片”是隨機事件，故C錯誤；
在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D正確．
故選：C．
4．（2023秋·四川宜賓·高三四川省興文第二中學校校考開學考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．事件“都是紅色球”是隨機事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一個白色球”是必然事件
D．事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件
【答案】C
【分析】對事件分類，利用隨機事件的定義直接判斷即可．
【詳解】因為袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，所以從中任取4個球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.
故事件“都是紅色球”是隨機事件，故A正確；
事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；
事件“至少有一個白色球”是隨機事件，故C錯誤；
事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件，故D正確．
故選：C
5．（2023·全國·高三對口高考）給出下列四種說法：
①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；
②“當x為某一實數(shù)時可使”是不可能事件；
③“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件；
④從裝有8個紅球，6個白球的袋中任取2球，事件“至少有一個白球”和“都是紅球”是兩個對立事件；
其中不正確說法的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)事件的分類，以及對立事件的定義，即可判斷選項.
【詳解】①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”正確，所以是必然事件；故①正確；
②不存在，使，“當x為某一實數(shù)時，可使”是不可能事件；故②正確；
③“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件；故③正確；
④根據(jù)對立事件的定義，可知事件“至少有一個白球”的對立事件是一個白球都沒有，即都是紅球，故④正確；
故選：A
考點二、事件的關(guān)系和運算
1．（2022·全國·高三專題練習）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】合理設(shè)出事件，從而得到事件A，B，C三者的關(guān)系.
【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，
顯然，，，C不含于A.
故選：D
2．（2022·全國·高三專題練習）從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)“三件產(chǎn)品全不是次品”，“三件產(chǎn)品全是次品”，“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．A與B互斥且為對立事件B．B與C互斥且為對立事件
C．A與C存在有包含關(guān)系D．A與C不是對立事件
【答案】A
【分析】將取出的三件產(chǎn)品分類為M= “三件產(chǎn)品全是正品”，N= “兩件正品，一件次品”，P= “一件正品，兩件次品”，Q= “三件產(chǎn)品全是次品”，進而根據(jù)題意得到答案.
【詳解】取出的三件產(chǎn)品分類為M= “三件產(chǎn)品全是正品”，N= “兩件正品，一件次品”，P= “一件正品，兩件次品”，Q= “三件產(chǎn)品全是次品”，它們之間兩兩互斥.
于是A=M，B=Q，，
所以A與B互斥但不對立，A錯誤；B,C,D正確.
故選：A.
3．（2022·全國·高三專題練習）擲一個骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)記是事件的對立事件，求，，，．
【答案】(1)，.
(2)，．
(3)，，，．
【分析】（1）根據(jù)交事件（積事件）的概念求解即可；
（2）根據(jù)并事件（和事件）的概念求解即可；
（3）根據(jù)對立事件與交事件、并事件運算求解即可.
【詳解】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
4．（2022·全國·高三專題練習）（多選）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關(guān)系正確的是（ ）
A．A?DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
【答案】ABC
【分析】根據(jù)試驗過程，分析出事件A、B、C、D的含義，對四個選項一一判斷.
【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D ，A∪C＝D.故A、C正確；
因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；
對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.
故選：ABC.
5．（2022·全國·高三專題練習）（多選）拋擲一枚質(zhì)地均勻的股子，定義以下事件：“點數(shù)大于2”，“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于3”，“點數(shù)為4”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由事件的基本關(guān)系及運算依次判斷即可.
【詳解】對于A，“點數(shù)大于3”，“點數(shù)大于2”，顯然，A正確；
對于B，“點數(shù)為4”，“點數(shù)大于3”，，B正確；
對于C，由A選項知，，則，C錯誤；
對于D，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)不大于2”，顯然不能同時發(fā)生，則，D正確.
故選：ABD.
1．（2022·全國·高三專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A表示隨機事件“兩枚炮彈都擊中飛機”，事件B表示隨機事件“兩枚炮彈都未擊中飛機”，事件C表示隨機事件“恰有一枚炮彈擊中飛機”，事件D表示隨機事件“至少有一枚炮彈擊中飛機”，則下列關(guān)系不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)試驗過程，分析出事件A、B、C、D的含義，對四個選項一一判斷.
【詳解】“至少有一枚炮彈擊中飛機”包含兩種情況:一種是恰有一枚炮彈擊中飛機，
另一種是兩枚炮彈都擊中飛機.所以，，
“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒擊中或第一枚沒擊中第二枚擊中，
所以，
又包含該試驗的所有樣本點，為必然事件，
而事件表示“兩個炮彈都擊中飛機或者都沒擊中飛機”，所以.
故選：D
2．（2022·全國·高三專題練習）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有兩件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并給出以下結(jié)論：
①；②是必然事件；③；④.
其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②③
【答案】A
【解析】根據(jù)事件的關(guān)系逐個判斷即可.
【詳解】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；
事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.
故選：A
【點睛】本題主要考查了事件的基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.
3．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設(shè)事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對下列關(guān)系式（表示的對立事件，表示的對立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關(guān)系式的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)事件關(guān)系，靶為被擊中即甲乙均未擊中；靶被擊中即至少一人擊中，分為恰有一人擊中或兩人都擊中，依次判定即可.
【詳解】由題可得：①，正確；②事件“靶被擊中”，表示甲乙同時擊中，，所以②錯誤；
③，正確，④表示靶被擊中，所以④錯誤；⑤，正確；⑥互為對立事件，，正確；⑦，所以⑦不正確．
正確的是①③⑤⑥．
故選：B
【點睛】此題考查事件關(guān)系和概率關(guān)系的辨析，需要熟練掌握事件的關(guān)系及其運算，弄清事件特征及其概率特征準確辨析.
4．（2023·全國·高三專題練習）（多選）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有兩件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列選項正確的是（ ）
A．B．是必然事件
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)已知條件以及利用和事件、積事件的定義進行判斷.
【詳解】對于A選項，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正確；
對于B選項，事件指至少有兩件次品或至多有一件次品，次品件數(shù)包含0到5，即代表了所有情況，故B正確；
對于C選項，事件A和B不可能同時發(fā)生，即事件，故C錯誤；
對于D選項，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D錯誤．
故選：AB．
5．（多選）（2023·全國·高三專題練習）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】記{有枚硬幣正面向上}，，則，結(jié)合事件的關(guān)系和運算逐項分析判斷.
【詳解】記{有枚硬幣正面向上}，，
則，
對于選項A：因為，故A錯誤；
對于選項B：因為，故B錯誤；
對于選項C：因為，故C正確；
對于選項D：因為，故D正確；
故選：CD.
考點三、頻率與概率
1．（2022·全國·高三專題練習）某人將一枚硬幣連拋20次，正面朝上的情況出現(xiàn)了12次.若用A表示事件“正面向上”，則A的（ ）
A．頻率為B．概率為C．頻率為D．概率接近
【答案】A
【分析】根據(jù)頻率和概率的知識確定正確選項.
【詳解】依題意可知，事件的頻率為，概率為.
所以A選項正確，BCD選項錯誤.
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
【答案】B
【分析】根據(jù)頻率的計算公式可求得頻率，結(jié)合概率的含義可確定概率，即得答案.
【詳解】某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，
那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為 ,
由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是,
故出現(xiàn)正面朝上的概率為 ,
故選︰B．
3．（2022·全國·高三專題練習）某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【分析】直接利用頻率的公式求解.
【詳解】由題得這個人中靶的次數(shù)為2+3+4=9，
所以此人中靶的頻率是.
故選：D
4．（2022·浙江·高三專題練習）某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
【答案】C
【分析】利用頻率估計概率即可求解.
【詳解】大量重復試驗，由表格知射擊運動員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在，
所以這名運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為，
故選：C.
5．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其中好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算可得.
【詳解】由已知可得這家健身房的總好評率為.
故選：B.
1．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙兩所學校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30 %，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定義求解.
【詳解】解：由題意得：將兩所學校的成績放到一起，從中任取一個學生成績，
取到優(yōu)秀成績的概率為，
故選：D
2．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）某機構(gòu)對某銀行窗口服務進行了一次調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
則估計顧客的等待時間少于15分鐘的頻率是（ ）
A．0.19B．0.24C．0.38D．0.76
【答案】D
【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接求解
【詳解】由題意可得顧客的等待時間少于15分鐘的頻率是．
故選：D
3．（2022·全國·高三專題練習）某同學做立定投籃訓練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學這兩場投籃的命中率為（ ）
A．72%B．74%C．75%D．76%
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可直接計算.
【詳解】該同學這兩場投籃的命中率為.
故選：B.
4．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預測）某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則x=（ ）
A．100B．300C．400D．600
【答案】B
【分析】根據(jù)頻數(shù)分布表確定概率
【詳解】這種冷飲一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃，
由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為，
所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計值為0.1.
故選：B．
5．（2022·全國·高三專題練習）某同學做立定投籃訓練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的估計是（ ）
A．0.68B．0.625C．0.587D．0.615
【答案】D
【分析】由頻率和概率的關(guān)系求解.
【詳解】解：由題可知，試驗次數(shù)越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差越小．
故選：D．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明（ ）.
A．小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；
B．小概率事件很少發(fā)生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不會發(fā)生；
D．大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生．
【答案】A
【分析】理解諺語的描述，應用數(shù)學概率知識改寫即可.
【詳解】“不怕一萬，就怕萬一” 表示小概率事件很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；
故選：A
2．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）明明同學打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．三次均未中靶B．只有兩次中靶
C．只有一次中靶D．三次都中靶
【答案】A
【分析】根據(jù)互斥事件的概念分析判斷.
【詳解】樣本空間為：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，
事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，
所以選項B、C、D中的事件與事件“至少有一次中靶”不互斥，
事件“三次均未中靶”與事件“至少有一次中靶”互斥，故A正確，B、C、D錯誤；
故選：A.
3．（2023·全國·高三專題練習）袋內(nèi)有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關(guān)系是（ ）
A．與，與均相互獨立B．與相互獨立，與互斥
C．與，與均互斥D．與互斥，與相互獨立
【答案】A
【分析】根據(jù)相互獨立和互斥的定義即可判斷，或者根據(jù)概率的乘法公式驗證也可判斷相互獨立.
【詳解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的結(jié)果對第二次摸球的結(jié)果沒有影響，故與，與C均相互獨立．而與，與均能同時發(fā)生，從而不互斥．
方法二：標記1，2，3表示3個白球，4，5表示2個黑球，全體樣本點為，
用古典概型概率計算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以與相互獨立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以與相互獨立．
故選:A．
4．（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．至少有一個白球；紅?黑球各一個D．恰有一個白球；一個白球一個黑球
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.
【詳解】對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；
對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；
對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，C是；
對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是.
故選：C
5．（2023·全國·高三對口高考）下列說法正確的是（ ）
A．互斥事件一定是對立事件
B．某事件的概率為1.1
C．若彩票中獎概率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎
D．必然事件的概率為1
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的區(qū)別與聯(lián)系可知A選項錯誤；由隨機事件概率的性質(zhì)可知某事件的概率不可能大于1，即B錯誤；根據(jù)互斥事件概率的計算公式可知，買1000張這種彩票也不一定能中獎，即C錯誤；由必然事件的概念可得D正確.
【詳解】對于A，互斥事件和對立事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件兩者必發(fā)生其一，而互斥事件還可能發(fā)生第三種情況，所以互斥事件不一定是對立事件，即A錯誤；
對于B，根據(jù)隨機事件概率的性質(zhì)可知，某事件的概率取值范圍為，即B錯誤；
對于C，根據(jù)隨機事件的概率可知，買1000張這種彩票也會有的可能性不中獎，所以C錯誤；
對于D，根據(jù)必然事件和不可能事件的定義可知，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即D正確；
故選：D
6．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩所學校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30 %，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定義求解.
【詳解】解：由題意得：將兩所學校的成績放到一起，從中任取一個學生成績，
取到優(yōu)秀成績的概率為，
故選：D
7．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中校考開學考試）在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，則下列說法正確的是（ ）
A．“至少一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件
B．“至少一張是移動卡”和“至少一張是聯(lián)通卡”是互斥事件
C．“恰有一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件，也是對立事件
D．“至少一張是移動卡”和“兩張都是聯(lián)通卡”是對立事件
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，結(jié)合題意逐項檢驗即可求解.
【詳解】“至少一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故A錯誤；
“至少一張是移動卡”和“至少一張是聯(lián)通卡”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故B錯誤；
“恰有一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件，不是對立事件，故C錯誤；
“至少一張是移動卡”和“兩張都是聯(lián)通卡”是對立事件，故D正確.
故選：D.
8．（2023春·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在手工課上，老師將藍、黑、紅、黃、綠5個紙環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學，每人分得1個，則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（ ）．
A．對立事件B．不可能事件
C．互斥但不對立事件D．不是互斥事件
【答案】C
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念求解即可.
【詳解】甲、乙不可能同時得到紅色，故這兩件事是互斥事件.
又因為甲、乙可能都拿不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事件，
所以這兩件事不是對立事件.
故選：C
9．（2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學D．恰有1本政治與恰有2本政治
【答案】D
【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，然后寫出各個事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.
【詳解】從裝有2本數(shù)學和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，
可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學一本政治”.
對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學”是對立事件，故A錯誤；
對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯誤；
對于C，事件“至少有一本數(shù)學”包含事件：“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；
對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.
故選:D.
10．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）一個人連續(xù)射擊次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件
C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
【答案】D
【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.
【詳解】一個人連續(xù)射擊次，其可能結(jié)果為擊中次，擊中次，擊中次，
其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，
事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯誤；
事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，
事件“第二次擊中” 包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯誤；
事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時發(fā)生，故C錯誤；
事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；
故選：D
11．（2023·全國·高三專題練習）池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預報8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6.現(xiàn)用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十個整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5表示當天下雨，6，7，8，9表示當天不下雨．在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下40組四位隨機數(shù)：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意找出0～5的整數(shù)恰出現(xiàn)3次的四位數(shù)的組數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得出答案.
【詳解】解：在40組四位隨機數(shù)中，0～5的整數(shù)恰出現(xiàn)3次的四位數(shù)有16組，故四天中恰有三天下雨的概率的估計值為.
故選：B.
12．（2023·全國·高三專題練習）某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩；則下列說法中正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立B．事件A與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立D．事件A與事件相互獨立
【答案】D
【分析】先列出生3個小孩包含的基本事件數(shù)及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件數(shù)，再利用互斥，對立和獨立事件所滿足的關(guān)系，對四個選項一一作出判斷.
【詳解】生3個小孩的總事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8個基本事件，
事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6個基本事件，
事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4個基本事件，
事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4個基本事件，
A選項，因為，，所以事件與事件互斥且對立，A錯誤；
B選項，因為，所以事件A與事件B不互斥，不對立，B錯誤；
C選項，因為，所以，又，故，故事件與事件不獨立，C錯誤；
D選項，因為有3個基本事件，所以，又，
所以，D正確.
故選：D
13．（2023·全國·高三專題練習）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（ ）
A．至少有一個黑球與都是黑球
B．至少有一個黑球與至少有一個紅球
C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球
D．至少有一個黑球與都是紅球
【答案】C
【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.
【詳解】對于：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，不正確；
對于：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，不正確；
對于：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，正確；
對于：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，
這兩個事件是對立事件，不正確；
故選：.
二、多選題
14．（2023春·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學校考階段練習）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件 “第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（ ）
A．與不互斥且相互獨立B．與互斥且不相互獨立
C．與互斥且不相互獨立D．與不互斥且相互獨立
【答案】ABD
【分析】根據(jù)事件的互斥與獨立的定義對選項一一驗證即可.
【詳解】對于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨立；
第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥；故A正確；
對于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；
第一次出現(xiàn)2點，則兩次點數(shù)之和最大為8，即與不能同時發(fā)生，即與互斥，故B正確；
對于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；
若第一次的點數(shù)為5，第二次的點數(shù)4點，則兩次點數(shù)之和為9，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故C錯誤；
對于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會影響兩次點數(shù)之和的奇偶，即與相互獨立；
若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故D正確.
故選：ABD.
15．（2023·全國·高三專題練習）從1，2，3，，9中任取三個不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（ ）
A．“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)”B．“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”
C．“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)”D．“一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”
【答案】AD
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷即可.
【詳解】從1~9中任取三數(shù)，按這三個數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：
（1）三個均為奇數(shù)；（2）兩個奇數(shù)一個偶數(shù)；（3）一個奇數(shù)兩個偶數(shù)；（4）三個均為偶數(shù)，所以選項A、D是互斥但不是對立事件，選項C是對立事件，選項B不是互斥事件.
故選：AD.
三、填空題
16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）在一次全運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽．羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率．為此，用計算機產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2或3時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6．由于要比賽三局，所以每3個隨機數(shù)為一組．例如，產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相當于做了20次重復試驗，用頻率估計甲獲得冠軍的概率的近似值為 ．
【答案】
【分析】由20組隨機數(shù)中先求出甲獲勝的頻數(shù)，從而可求出甲獲勝的頻率，進而可得答案
【詳解】解：由題意可知，20組隨機數(shù)中甲獲勝的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13組，
所以甲獲勝的頻率為，
所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為，
故答案為：
【點睛】此題考查頻率與概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題
17．（2023春·河北保定·高三?？茧A段練習）袋子中有四個小球，分別寫有“中?華?民?族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止.用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：
由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為 .
【答案】
【分析】利用古典概型的隨機數(shù)法求解.
【詳解】由隨機產(chǎn)生的隨機數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機數(shù)，
所以恰好抽取三次就停止的概率約為，
故答案為：
18．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為 ．（小數(shù)點后保留一位小數(shù)）
【答案】0.7
【分析】以頻率估計概率，直接運算求解即可.
【詳解】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，
所以摸到紅球概率的估計值為.
故答案為：0.7
19．（2023·全國·高三專題練習）已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：據(jù)此估計，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為 .
【答案】0.3
【分析】確定隨機數(shù)組中以恰有兩個數(shù)字是2，4，6，8，再由概率公式計算．
【詳解】由題意，隨機數(shù)組421，292，274，632，478，663共6個，表示恰有兩次命中十環(huán)，
所以概率為．
故答案為：0.3．
20．（2022秋·新疆阿克蘇·高三?？计谀版I盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調(diào)查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有 人．
【答案】
【分析】求出在隨機抽取的50人中，持反對態(tài)度的有36人，即可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的人數(shù).
【詳解】由題意，在隨機抽取的50人中，持反對態(tài)度的有36人，
故可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的約有.
故答案為：.
【能力提升】
一、單選題
1．（2022秋·江蘇揚州·高三揚州中學?？茧A段練習）對于一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（ ）
A．A與B不互斥B．A與D互斥且不對立
C．C與D互斥D．A與C相互獨立
【答案】D
【分析】由已知條件結(jié)合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關(guān)系，根據(jù)與的關(guān)系判斷事件是否獨立.
【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯誤；
由，A、D互斥且對立，B錯誤；
又，，則，C與D不互斥，C錯誤；
由，，，
所以，即A與C相互獨立，D正確.
故選：D
2．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中正確的是（ ）
A．事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的頻率
B．一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，說明這個骰子擲6次一定會出現(xiàn)一次3點
C．擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件為“兩枚都是正面朝上”，則
D．對于兩個事件、，若，則事件與事件互斥
【答案】C
【解析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系判斷即可得A選項錯誤；根據(jù)概率的意義即可判斷B選項錯誤；根據(jù)古典概型公式計算即可得C選項正確；舉例說明即可得D選項錯誤.
【詳解】解：對于A選項，頻率與實驗次數(shù)有關(guān)，且在概率附近擺動，故A選項錯誤；
對于B選項，根據(jù)概率的意義，一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，表示一次實驗發(fā)生的可能性是，故骰子擲6次出現(xiàn)3點的次數(shù)也不確定，故B選項錯誤；
對于C選項，根據(jù)概率的計算公式得，，故，故C選項正確；
對于D選項，設(shè)，A事件表示從中任取一個數(shù)，使得的事件，則，B事件表示從中任取一個數(shù)，使得的事件，則，顯然，此時A事件與B事件不互斥，故D選項錯誤.
【點睛】本題考查概率與頻率的關(guān)系，概率的意義，互斥事件等，解題的關(guān)鍵在于D選項的判斷，適當?shù)呐e反例求解即可.
3．（2023·全國·高三專題練習）連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為a，b，記，則下列說法正確的是（ ）
A．事件“”的概率為0B．事件“”為必然事件
C．事件“”與“”為對立事件D．事件“m是奇數(shù)”與“”為互斥事件
【答案】D
【分析】利用列舉法和概率公式計算可知A錯誤；根據(jù)必然事件的概念可判斷B錯誤；根據(jù)互斥、對立事件的概念可知C錯誤，D正確.
【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)有：，，，，，，共36種，
對于A，事件“”所包含的基本事件有6個，所以概率為，故A錯誤；
對于B，事件“” 所包含的基本事件有0個，為不可能事件，故B錯誤；
對于C，事件“”與“”可以同時發(fā)生，不是對立事件，故C錯誤；
對于D，事件“m是奇數(shù)”與“”不能同時發(fā)生，所以事件“m是奇數(shù)”與“”互為互斥事件，故D正確.
故選：D
4．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P（A）＋P（B）＝1”，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】將兩個條件相互推導，根據(jù)能否推導的情況選出正確答案.
【詳解】①若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；
②投擲一枚硬幣3次，滿足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是對立事件，如：事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“出現(xiàn)3次正面”，則P（A）＝，P（B）＝，滿足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是對立事件.
所以甲是乙的充分不必要條件.
故選：A
【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查對立事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.
5．（2022·廣西南寧·南寧三中?？级＃难b有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，現(xiàn)有如下說法：
①至少有一個黑球與都是黑球是互斥事件；
②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件；
③恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥事件；
④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件.
在上述說法中正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】寫出從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球的所有可能情況，再去辨析各選項的正誤，互斥事件不能有交集事件.
【詳解】設(shè)兩個紅球為球a、球b，兩個黑球為球1、球2.
則從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，所有可能的情況為
共6種.
①至少有一個黑球與都是黑球有公共事件，故二者不是互斥事件，判斷錯誤；
②至少有一個黑球與至少有一個紅球有公共事件，故二者不是互斥事件，判斷正確；
③恰好有一個黑球包含事件，恰好有兩個黑球包含事件，故二者是互斥事件，判斷正確；
④至少有一個黑球包含事件，都是紅球包含事件，故二者是對立事件，判斷正確.
故選：C
6．（2022·江蘇·統(tǒng)考二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數(shù)有了突飛猛進的提升.某校為提升學生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（ ）
A．A與B為對立事件B．A與C互斥
C．A與C相互獨立D．B與C相互獨立
【答案】C
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、、、、，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷C、D；
【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；
故與互斥不對立，與不互斥，
所以，，
且，，
所以，，
即與相互獨立，與不相互獨立.
故選：C
7．（2022秋·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，是一組兩兩相互獨立的事件，則
B．若，事件滿足，則，是對立事件
C．若，是互斥事件，則
D．“，是互斥事件”是“，是對立事件”的充分不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念對各個選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于選項A，例如，從1，2，3，4中隨機選出一個數(shù)字，
記事件為“選出的數(shù)字為1或2”，事件為“選出的數(shù)字為1或3”，
事件為“選出的數(shù)字為1或4”，
則事件，，，同時發(fā)生的事件為“選出的數(shù)字為1”，
因為，，
所以，，，
故，，是一組兩兩獨立的事件，但是，A不正確.
對于選項B，例如，投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，
記事件為“點數(shù)為1，2，3”，事件為“點數(shù)為2，4，6”，則，
但是，不是對立事件，B不正確.
對于選項C，因為，是互斥事件，所以為必然事件，則，C正確.
對于選項D，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，
所以“，是互斥事件”是“，是對立事件”的必要不充分條件，D不正確.
故選：C.
8．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學校聯(lián)考期中）國家于2021年8月20日表決通過了關(guān)于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立B．事件與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立D．事件與事件相互獨立
【答案】D
【分析】利用互斥事件、對立事件的意義可判斷選項A，B；利用獨立事件的定義可判斷C,D
【詳解】有三個小孩的家庭的樣本空間可記為：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
對于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對立，故A不正確；
對于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；
對于C，事件有4個樣本點，事件有4個樣本點，事件有0個樣本點，，顯然有，即事件與事件不相互獨立，故C不正確；
對于D，事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有3個樣本點，，顯然有，即事件與事件相互獨立，故D正確；
故選：D
9．（2022秋·江蘇南通·高三?？计谥校τ谝粋€古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（ ）
A．A與B不互斥B．A與D互斥但不對立
C．C與D互斥D．A與C相互獨立
【答案】D
【分析】由已知條件結(jié)合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨立.
【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯誤；
由，A、D互斥且對立，B錯誤；
又，，則，C與D不互斥，C錯誤；
由，，，
所以，即A與C相互獨立，D正確.
故選：D
二、多選題
10．（2022秋·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┻B續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3”記為A事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)是3的倍數(shù)”記為B事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)”記為C事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”記為D事件，則（ ）
A．A與B互斥B．C與D互斥
C．A與C相互獨立D．B與D一定不相互獨立
【答案】BC
【分析】由已知，根據(jù)題意，分別寫出事件A、B、C、D包含的基本事件，并計算出概率，然后根據(jù)選項一一驗證即可做出判斷.
【詳解】因為拋擲一次骰子，包含6個基本事件，
事件A表示結(jié)果向上的點數(shù)為1,2，所以；
事件B表示第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)為3,6，所以；
事件C表示結(jié)果向上的點數(shù)為（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)36種情況，所以；
事件D表示結(jié)果向上的點數(shù)為（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)36種情況，所以；
選項A，事件A與事件B會同時發(fā)生，如第一次拋1，第二次拋3，所以，事件A與事件B不互斥，該選項錯誤；
選項B，由上述事件C和事件D表示的結(jié)果可知，，所以事件C與事件D互斥，該選項正確；
選項C，，，
表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3的概率，共有（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），共6種情況，
所以，所以A與C相互獨立，該選項正確；
選項D， 因為，，
而表示兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為奇數(shù)且第二次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率，共有（2，3），（4，3），（6，3），（1，6），（3，6），（5，6），共6種情況，
所以
所以B與D相互獨立，該選項錯誤；
故選：BC.
11．（2022·浙江寧波·高三統(tǒng)考競賽）一個裝有8個球的口袋中，有標號分別為1，2的2個紅球和標號分別為1，2，3，4，5，6的6個藍球，除顏色和標號外沒有其他差異．從中任意摸1個球，設(shè)事件“摸出的球是紅球”，事件“摸出的球標號為偶數(shù)”，事件“摸出的球標號為3的倍數(shù)”，則（ ）
A．事件A與事件C互斥
B．事件B與事件C互斥
C．事件A與事件B相互獨立
D．事件B與事件C相互獨立
【答案】ACD
【分析】根據(jù)互斥事件的概念可判斷AB的正誤，根據(jù)獨立事件的判斷方法可得CD的正誤.
【詳解】對AB，若摸得的球為紅球，則其標號為1或2，不可能為3的倍數(shù)，
故事件A與事件C互斥，故A正確；
若摸得的球的標號為6，則該標號為3的倍數(shù)，故事件B與事件C不互斥，故B錯誤；
對C，，所以C正確；
對D，，所以D正確；
故選：ACD．
12．（2023·全國·高三專題練習）某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的頻率即得對應概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.
【詳解】依題意，，，
顯然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，則，
于是得選項A，B，C都正確，選項D不正確.
故選：ABC.
13．（2021秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件M發(fā)生的概率為B．事件M與事件N互斥
C．事件M與事件N相互獨立D．事件發(fā)生的概率為
【答案】AC
【分析】A應用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定義，結(jié)合題設(shè)描述判斷；C判斷是否成立即可；D應用對立事件的概率求法求發(fā)生的概率即可判斷.
【詳解】由題設(shè)知：，A正確；
由：“第一次向下的數(shù)字為3或4”與：“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，而發(fā)生同時也有可能發(fā)生，故不是互斥事件，B錯誤；
因為，而，故，即事件M與事件N相互獨立，C正確；
，表示“第一次向下的數(shù)字為1或2”且“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，故，所以，D錯誤.
故選：AC.
14．（2022·全國·高三專題練習）下列說法不正確的是（ ）
A．若A，B為兩個事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件
B．若A，B為兩個事件，則
C．若事件A，B，C兩兩互斥，則
D．若事件A，B滿足，則A與B相互對立
【答案】BCD
【分析】A. “A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；
B. ,所以該選項錯誤；
C. 舉反例說明不一定成立，所以該選項錯誤；
D. 舉反例說明A與B不對立，所以該選項錯誤.
【詳解】解：A. 若A，B為兩個事件，“A與B互斥”則“A與B不一定相互對立”； “A與B相互對立”則“A與B互斥”，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；
B. 若A，B為兩個事件，則,所以該選項錯誤；
C. 若事件A，B，C兩兩互斥，則不一定成立，如：擲骰子一次，記向上的點數(shù)為1，向上的點數(shù)為2，向上的點數(shù)為3，事件A，B，C兩兩互斥，則.所以該選項錯誤；
D. 拋擲一枚均勻的骰子，所得的點數(shù)為偶數(shù)的概率是，擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿足，但是A與B不對立，所以該選項錯誤.
故選：BCD
15．（2022秋·福建福州·高三福建師大附中?？茧A段練習）口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（ ）
A．與互為對立B．與互斥
C．與相互獨立D．與相互獨立
【答案】ACD
【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、相互獨立事件的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】先編號：紅球為，白球為，
不放回依次取出兩個，基本事件有，共種，
事件“”；
事件“”；
事件“”；
事件“”.
A選項，，所以與互為對立事件；
B選項，，所以與不是互斥事件；
C選項，事件“”，
所以，
所以與相互獨立，所以C選項正確.
D選項，事件“”，
，
所以與相互獨立，所以D選項正確.
故選：ACD
16．（2022·山東濟南·濟南市歷城第二中學校考模擬預測）一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）
A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．
C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D．“至少有1件次品”和“都是正品”
【答案】AD
【分析】判斷各選項中的事件是否有同時發(fā)生的可能，即可確定答案.
【詳解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；
B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；
C：“至少有1件正品” 的基本事件為{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件為{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；
D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；
故選：AD
17．（2022秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習）一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，甲表示事件“至少有一次中靶”，乙表示事件“恰有一次中靶”，丙表示事件“兩次都中靶”，丁表示事件“兩次都不中靶”，則（ ）
A．甲與乙是互斥事件B．乙與丙是互斥事件
C．乙與丁是對立事件D．甲與丁是對立事件
【答案】BD
【分析】分別寫出各事件包含的基本事件，再結(jié)合互斥與對立事件的概念依次討論求解即可.
【詳解】解：一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，其基本事件有：兩次都不中靶；第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；兩次都中靶.
其中甲事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；兩次都中靶.
乙事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；
丙事件包含的基本事件有：兩次都中靶；
丁事件包含的基本事件有：兩次都不中靶.
所以根據(jù)互斥與對立事件的定義，甲與乙不互斥，乙與丙互斥，乙與丁互斥不對立，甲與丁為對立事件.
故AC錯誤，BD正確.
故選：BD
18．（2023·浙江·二模）已知為實驗的樣本空間，隨機事件，則（ ）
A．為必然事件，且B．為不可能事件，且
C．若，則為必然事件D．若，則不一定為不可能事件
【答案】ABD
【分析】根據(jù)必然事件和不可能事件的定義，再結(jié)合樣本空間為有限和無限的情況，判斷選項.
【詳解】A.當為必然事件，且，故A正確；
B. 為不可能事件，且，故B正確；
C. 若，則不一定為必然事件，若樣本空間是區(qū)間，但質(zhì)點落在區(qū)間的概率也是1，此時不是必然事件，故C錯誤；
D. 若，則不一定為不可能事件，若樣本空間是區(qū)間，但質(zhì)點落在處的概率為0，但此時不是不可能事件，故D正確.
故選：ABD
19．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設(shè)事件“兩個球顏色相同”，=“第1次取出的是紅球”，=“第2次取出的是紅球”，=“兩個球顏色不同”．則下列說法正確的是（ ）
A．A與相互獨立B．A與互為對立
C．與互斥D．與相互獨立
【答案】ABD
【分析】設(shè)2個紅球為，2個白球為，運用列舉法可得樣本空間，后由事件相互獨立，對立，互斥相關(guān)概念可得答案.
【詳解】2個紅球為，2個白球為，則樣本空間為：
，共12個基本事件.
事件A，共4個基本事件.
事件B，共6個基本事件.
事件C，共6個基本事件.
事件D，共8個基本事件.
對于A選項，因，
則，故A與相互獨立.故A正確；
對于B選項，注意到，得A與互為對立.故B正確；
對于C選項，注意到，則與不互斥.故C錯誤.
對于D選項，因，
則，故D與相互獨立.故D正確.
故選：ABD
三、填空題
20．（2022·全國·高三專題練習）某人撿到不規(guī)則形狀的五面體石塊,他在每個面上用數(shù)字1~5進行了標記,投擲100次,記錄下落在桌面上的數(shù)字,得到如下頻數(shù)表:
則落在桌面的數(shù)字不小于4的頻率為 .
【答案】0.35
【詳解】落在桌面的數(shù)字不小于4,即4,5的頻數(shù)為13+22=35.所以頻率為=0.35.
【真題感知】
一、單選題
1．（2011·重慶·高考真題）從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的頻率為
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【詳解】試題分析：從所給的十個數(shù)字中找出落在所要求的范圍中的數(shù)字，共有4個，利用這個頻數(shù)除以樣本容量，得到要求的頻率．
解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十個數(shù)字中，
樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的有116，120，120，122共有四個，
∴樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的頻率為=0.4，
故選C
點評：本題考查頻率分布表，頻數(shù)、頻率和樣本容量三者之間的關(guān)系是知二求一，這種問題會出現(xiàn)在選擇和填空中，有的省份也會以大題的形式出現(xiàn)，把它融于統(tǒng)計問題中．
2．（2005·浙江·高考真題）從存放號碼分別為1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
【答案】A
【分析】有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼．這樣事件的總數(shù)是100，從表中可以看出取到的卡片上數(shù)字是奇數(shù)有53種情況，可直接算出頻率．
【詳解】由題意知，
∵有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，
∴總次數(shù)是100，
由表可以看出取到號碼為奇數(shù)有13＋5＋6＋18＋11＝53種結(jié)果，
所以頻率，
故選：A．
3．（2015·湖北·高考真題）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
【詳解】設(shè)夾谷石，則，
所以，
所以這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.
考點：用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體.
4．（2006·湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
【答案】C
【詳解】分析:根據(jù)互斥事件和對立事件的概念，根據(jù)充分條件和必要條件的概念分析解答.
詳解：當、是互斥事件時，、不一定是對立事件，所以甲是乙的非充分條件.
當、是對立事件時，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要條件.
所以甲是乙的必要非充分條件.
故選C.
點睛：本題主要考查互斥事件和對立事件的聯(lián)系和區(qū)別，考查充分條件和必要條件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定對立，甲乙對立，則甲乙一定互斥.
二、填空題
5．（2007·全國·高考真題）從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為 ．
【答案】 /
【分析】首先從所給的 袋抽取的質(zhì)量中找出質(zhì)量在之間的質(zhì)量，進而確定幾袋，用所得袋數(shù)除以總袋數(shù)袋，進一步得到樣本中質(zhì)量在之間的概率，根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，將樣本中的頻率近似看作總體中的概率即可.
【詳解】解：通過統(tǒng)計，可知自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的共有 袋，
所以袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率為，
根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為： .
確定事件
必然事件
在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件
不可能事件
在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件
隨機事件
在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件
定義
符號表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?；P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
射擊次數(shù)
50
100
200
400
1000
射中8環(huán)以上的次數(shù)
44
78
158
320
800
等待時間（分鐘）
人數(shù)
4
8
7
4
2
最高氣溫
天數(shù)
4
5
25
38
18
第一組
第二組
第三組
合計
投籃次數(shù)
100
200
300
600
命中的次數(shù)
68
125
176
369
命中的頻率
0.68
0.625
0.587
0.615
投籃次數(shù)
投中兩分球的次數(shù)
投中三分球的次數(shù)
100
55
18
落在桌面的數(shù)字
1
2
3
4
5
頻 數(shù)
32
18
15
13
22
卡片號碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次數(shù)
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9

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