新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講練測第7章第04講空間中的垂直關(guān)系（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識講解
空間中的垂直關(guān)系
線線垂直
①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直
②勾股定理的逆定理證線線垂直
③菱形、正方形的對角線互相垂直
線面垂直的判定定理
線面垂直的性質(zhì)定理
面面垂直的判定定理
面面垂直的性質(zhì)定理
考點(diǎn)一、線面垂直判定定理
1．（2023·四川成都·樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.

(1)證明：平面；
(2)若二面角大小為，求以為頂點(diǎn)的四面體體積.
2．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.
3．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，圓錐中，為底面圓的直徑，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，圓錐的高，點(diǎn)為線段上一個動點(diǎn).

(1)當(dāng)時，證明：平面；
(2)當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，直線PE和平面所成角的正弦值最大.
4．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┤鐖D1，在四邊形中，，．將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體．

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若為上一動點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
5．（2023·浙江·?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，點(diǎn)在底面內(nèi)的投影恰為中點(diǎn)，且．
(1)若，求證：面；
(2)若平面與平面所成的銳二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知，垂足為點(diǎn)，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
2．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，，點(diǎn)M在棱PD上，且，．

(1)求證：CD⊥平面PAD；
(2)求BM與平面所成角的余弦值．
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．

(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，已知，.

(1)證明：平面；
(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.
5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
考點(diǎn)二、線面垂直性質(zhì)定理
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
3．（2021·全國·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.
（1）求三棱錐的體積；
（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.
4．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱臺中，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn).

(1)求證：；
(2)若是線段的中點(diǎn)，平面與的交點(diǎn)記為，求平面與平面夾角的余弦值.
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知三棱臺，面，，，D是線段中點(diǎn)，且.

(1)證明：；
(2)請選擇合適的基底向量，求直線與所成角的余弦值.
1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．
2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.
(1)求證：；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
3．（2023·山東日照·三模）如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面是正方形，且平面平面.

(1)求證：；
(2)若直線與平面所成的角為為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.
4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圖1是由等腰直角三角形和菱形組成的一個平面圖形，其中菱形邊長為4，，．將三角形沿折起，使得平面平面（如圖2）．

(1)求證：；
(2)求二面角的正弦值．
5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；
(2)設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)，，且，求直線與平面所成角的正弦值.
考點(diǎn)三、面面垂直判定定理
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.

(1)證明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.
5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
1．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，在上且滿足.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
2．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面四邊形ABCE（圖1）中，，均為等腰直角三角形，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，，，沿AC將翻折至位置（圖2），拼成三棱錐D-ABC.
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)二面角的二面角為60°時，
①求直線與平面所成角的正弦值；
②求C點(diǎn)到面ABD的距離.
3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為4的菱形，與交于點(diǎn)平面．

(1)求證：平面平面；
(2)若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．
4．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，，E為邊CD上的點(diǎn)，，以BE為折痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為．
(1)求證：平面平面PAE；
(2)求二面角的余弦值．
5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在以P，A，B，C，D為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，，，平面平面，．
(1)求證：平面平面；
(2)若二面角的余弦值為，求直線PD與平面PBC所成角的大小．
考點(diǎn)四、面面垂直性質(zhì)定理
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
2．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是AC的中點(diǎn).

(1)求證：平面
(2)確定在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得AP與平面所成角為，若存在，求出的值;若不存，說明理由.
3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；
(2)已知四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.
1．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若，，且三棱錐的體積為18，求平面與平面的夾角的余弦值.
2．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.
3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一點(diǎn)，且，.
(1)求證：；
(2)若且二面角的余弦值為，求點(diǎn)到側(cè)面的距離.
4．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．，.
(1)證明：BC⊥AD；
(2)E為AD上靠近A的四等分點(diǎn)，若三棱錐A-BCD的體積為，求二面角的余弦值．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
1．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，已知，是的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)若，求平面與平面夾角的正弦值.
2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，，，，E為邊AD上的點(diǎn)，，，將沿直線CE翻折到的位置，且，連接PA，PB．
(1)證明：；
(2)Q為線段PA上一點(diǎn)，且，若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)λ的值．
3．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上，且，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若直線與所成角的余弦值為，求平面和平面的夾角的余弦值．
4．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為的中點(diǎn)，.
(1)證明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小為，求四棱錐的體積.
5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角梯形中（如圖一），，，.將沿折起，使（如圖二）.

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.
6．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面，為正三角形，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)，且滿足．
(1)求證：；
(2)是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，平面平面，，．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)Q在側(cè)棱上，，過B，Q兩點(diǎn)作平面，設(shè)平面與，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)直線時，求二面角的余弦值．
8．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是邊上的高，以為折痕，將折至的位置，使得.
(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
9．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，四邊形是直角梯形，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
10．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn)．
(1)證明：平面平面PBC；
(2)若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面AEF的距離．
【能力提升】
1．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，，，M為棱BC的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若平面平面ABC，，，E為線段PC上一點(diǎn)，，求點(diǎn)E到平面PAM的距離.
2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第二高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，在三棱柱中，平面 .
(1)求證:;
(2)若，直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值.
3．（2023·廣東東莞·東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.
(1)證明：平面DEF；
(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.
4．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）如圖，在幾何體ABCDE中，面，，，．
(1)求證：平面平面DAE；
(2)AB=1，，，求CE與平面DAE所成角的正弦值．
5．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）如圖，已知三棱柱，，，為線段上的動點(diǎn)，.
(1)求證：平面平面；
(2)若，D為線段的中點(diǎn)，，求與平面所成角的余弦值.
6．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.
（1）求證：平面；
（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的取值范圍.
7．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）如圖，圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，.
(1)證明：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值.
8．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求證：平面ABCD；
(2)設(shè)，當(dāng)平面PAM與平面PBD夾角的余弦值為時，求的值.
9．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第五中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知直三棱柱，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，平面平面.
(1)證明：；
(2)三棱錐的外接球的表面積為，求平面與平面夾角的余弦值.
10．（2023·遼寧本溪·本溪高中?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在求出點(diǎn)的位置，不存在請說明理由.
【真題感知】
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.
2．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面AB1C1；
（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．
3．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．
（1）證明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．
4．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
6．（山東·高考真題）在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,平面分別為的中點(diǎn),且
(1)求證:平面平面;
(2)求三棱錐與四棱錐的體積之比.
7．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>8．（福建·高考真題）如圖，正三棱柱的所有棱長都為
，為中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．
9．（全國·高考真題）如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，，.
（1）證明：；
（2）設(shè)直線與平面的距離為，求二面角的大小.
10．（浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
（1）證明：D 平面；
（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.
判定定理：一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直
圖形語言
符號語言
性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線
圖形語言
符號語言
性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行
圖形語言
符號語言
判定定理：一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直
（或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直）
圖形語言
符號語言
性質(zhì)定理：兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面
圖形語言
符號語言

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