知識講解
在不等式構(gòu)造或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與、有關(guān)的常用不等式等方法進行適當?shù)姆趴s，再進行證明．下面著重談?wù)勁c、有關(guān)的常用不等式的生成．
1.利用曲線的切線進行放縮證明不等式
設(shè)上任一點的橫坐標為，則過該點的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號當且僅當時成立．特別地，當時，有；當時，有．
設(shè)上任一點的橫坐標為，則過該點的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號當且僅當時成立．特別地，當時，有；當時，有．
利用切線進行放縮，能實現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)．
2.利用曲線的相切曲線進行放縮證明不等式
由圖可得；由圖可得；由圖可得，（），（）；由圖可得，（），（）．
綜合上述兩種生成，我們可得到下列與、有關(guān)的常用不等式：
與有關(guān)的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）．
與有關(guān)的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（），（）；
（4）（），（）．
用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式．
考點一、利用導數(shù)證明不等式
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當時，證明：；
(3)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問題化為時，構(gòu)造，利用導數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時.
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當時，遞增，當時，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因為，所以，
則，
所以，故；
綜上，，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域為．
要證，即證，即證．
（?。┊敃r，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當時，，單減，故；
當時，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．
（ⅰ）當時，，所以，即，所以．
（ⅱ）當時，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑茫斍視r，，即．
【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當時，轉(zhuǎn)化為證明，當時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導數(shù)研究單調(diào)性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當且僅當時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
1．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的極值；
(2)當時，證明：.
【答案】(1)的極小值為，無極大值.
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值點、極值的概念，即可求解；
（2）令，利用單調(diào)性得到，得到，轉(zhuǎn)化為證明不等式，再由，利用導數(shù)得到，進而得到，轉(zhuǎn)化為，令，
設(shè)，利用導數(shù)證得，得到，進而證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
當時，可得，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得極小值；
當時，可得，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得極小值，
綜上可得，函數(shù)的極小值為，無極大值.
（2）證明：因為，所以，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，可得，所以在單調(diào)遞增，
所以，即，
要證不等式，
只需證明，
又由函數(shù)，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，即，即，當且僅當時，等號成立，
所以，當時，，
只需證明：，即，
即，即，
令，可得，
設(shè)，可得，令，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，所以，
當且僅當時，等號成立，
又由以上不等式的等號不能同時成立，所以.
【點睛】方法總結(jié)：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3、適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，證明：恒成立；
(2)當時，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）分兩種情況和求出函數(shù)最值證明不等式；
（2）構(gòu)造函數(shù)證明，結(jié)合對數(shù)運算及裂項相消證明不等式
【詳解】（1）函數(shù)時,,單調(diào)遞減，
當,單調(diào)遞減，
,
令,,單調(diào)遞增，
,恒成立，
當,
所以時， 恒成立；
（2）,,單調(diào)遞減，
,恒成立
,令,,
令,可得
令,可得
令,可得
兩邊相加可得
3．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，若，求證：；
(3)求證：對于任意都有．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求導，再分類討論，根據(jù)導函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，由，可證得恒成立，即，結(jié)合可證得；
（3）利用，對進行放縮，即可證明不等式成立.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域是．
由已知得，．
①當時，當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
②當時，當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；
③當時，當時，，單調(diào)遞增；
④當時，當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．
綜上，①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；
②當時，函數(shù)在單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；
③當時，函數(shù)在單調(diào)遞增；
④當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．
（2）當時，.
由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增且；
令
，
令，
令，解得；令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，所以.
令，則，
所以恒成立，
不妨設(shè)，則 ，
所以，所以，
所以，所以.
（3）由（2）知，時，，
即，
故在時恒成立，
所以，
，
，
，
相加得.
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
4．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).
(1)令，討論的單調(diào)性；
(2)證明：；
(3)若，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）求導后，分、、三種情況討論即可；
（2）由（1）得，當且僅當，等號成立.令，得到，從而有，即，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式即可證明.
（3）.當，可驗證不滿足題意；當，顯然成立；當，令，求導后判斷單調(diào)性求得最小值為，令，則，求導后判斷單調(diào)性求得最小值為，從而可解.
【詳解】（1），而，
①當時，恒成立，
所以在上遞減，上遞減；
②當時，令，得或；令，得.
所以在上遞減，在上遞減，在上遞增；
③當時，令，得或；令，得.
所以在上遞減，在上遞減，在上遞增.
綜上所述，當時，在上遞減，上遞減；
當時，在上遞減，在上遞減，在上遞增；
當時，在上遞減，在上遞減，在上遞增.
（2）由（1）得：當時，當，此時，
又當，
，當且僅當，等號成立.
令，得到，
.
（3）
①，當時，不等式顯然，所以此時不成立；
②，不等式顯然成立.
③，令，則，
令，則.
所以當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
所以，
令，則，則，
令，即，則，
所以當，單調(diào)遞減；當，單調(diào)遞增
則，
所以.
綜上所述，.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：
（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式；
（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù)，一般思路為利用條件將所求問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).
5．（2023·福建廈門·廈門外國語學校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)令，討論在的單調(diào)性；
(2)證明：；
(3)若，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見詳解.
(2)證明見詳解.
(3).
【分析】（1）求導后，分、、、討論即可；
（2）由（1）得，當且僅當，等號成立.令，得到，從而有，即，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式即可證明.
（3）.當，可驗證不滿足題意；當，顯然成立；當，令，求導后判斷單調(diào)性求得最小值為，令，則，求導后判斷單調(diào)性求得最小值為，從而可解.
【詳解】（1），而，
①當時，恒成立，所以在上遞減；
②當時，令，得或；令，得.
所以當，即時，在上遞增，當，即時，在上遞減，在上遞增；
③當時，令，得或；令，得.
所以在上遞減.
綜上所述，當時，在上遞減；
當時，在上遞增；
當時，在上遞減，在上遞增；
（2）由（1）得：當且時，，此時，
又當，
，當且僅當，等號成立.
令，得到，
.
（3），
①，當時，顯然，所以此時不成立；
②，不等式顯然成立.
③，令，則，
令，則.
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
所以，
令，則，則，
令，即，則，
當，單調(diào)遞減；當，單調(diào)遞增，
則，
所以.
綜上所述，.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：
（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式；
（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù)，一般思路為利用條件將所求問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).
6．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若存在唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，證明：．
【答案】(1)或；
(2)證明見解析.
【分析】（1）分和討論，利用導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)系可得時，存在唯一零點；時可得函數(shù)的，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得；
（2）由題可知，然后利用放縮法，等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）由題可知的定義域為，，
當時，，在上單調(diào)遞增；
且，所以存在唯一零點；
當時，令，得，
當時，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．
所以，且；，．
若存在唯一零點，則，
設(shè)，則，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
所以，故當時，，
綜上，存在唯一零點時，實數(shù)a的取值范圍為或；
（2）由（1）知：當時，在上單調(diào)遞減，
所以，即在上恒成立．
令，，則，
所以
，
所以，
所以當時，．
【點睛】利用導數(shù)研究零點問題：
（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；
（3）利用導數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.
7．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)求函數(shù)的最大值；
(2)當時，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，令，得到，所以單調(diào)遞減，得到存在，使，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最大值.
（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合、和，得到，再把不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求得得，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，當時，轉(zhuǎn)化為，令和，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，，定義域為，
可得，
令，則，所以單調(diào)遞減，
又由，所以存在，使，
即，即，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以有最大值，最大值為.
（2）證明：不等式，即證，即證，
當時，不等式顯然成立；
當時，令，可得，
因為，可得，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
要證不等式，只需證明：，
等價于證明：，
令，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即；
當時，，只需證，
令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
又由，可得，在單調(diào)遞減，所以，
所以時，，所以不等式成立；
綜合上述不等式得證.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3、適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
8．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程．
(2)若存在使得，證明：
（i）；
（ii）．
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導，分別求得和，再寫出切線方程；
（2）（i）根據(jù)題意得到有零點，即有正數(shù)解，利用導數(shù)法求解．（ii）由，得到，代入，轉(zhuǎn)化為證，令，利用導數(shù)法證明在上單調(diào)遞增即可.
【詳解】（1）解：因為，
所以，
又，
所以曲線在處的切線方程為，
即.
（2）證明：（i）依題意可知有零點，即有正數(shù)解．
令，則．
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．
所以，所以．
（ii）不妨設(shè)．由，得，
因為，所以，
要證，
只要證．
令，即只要證，
即只要證在上單調(diào)遞增，
即只要證在上恒成立，
即只要證在上恒成立．
令，則．
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．
所以．
由（i）知，在上恒成立，
所以在上恒成立，
故．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過，得到，代入，消去m，轉(zhuǎn)化為證，再令，利用導數(shù)法證明在上單調(diào)遞增而得證.
【基礎(chǔ)過關(guān)】
1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點．
(1)求；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意，即可求出的值，再檢驗即可；
（2）設(shè)，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到，再由零點存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的單調(diào)性，再結(jié)合特殊值，即可證明.
【詳解】（1）定義域為，，
由，解得，
若時，則，
當時，，即在上單調(diào)遞增；
當時，，即在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，符合題意，因此．
（2）設(shè)，則，又，
因為，，所以存在唯一，使，
且當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減．
由得，所以，
因此當時，，而，
于是當時，．
2．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)證明：；
(2)證明：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數(shù)求得的最小值為0，進而證得成立；
（2）先利用（1）證得，再利用裂項相消法求和即可證明原不等式成立.
【詳解】（1），令，解得，
當時，解得；當，解得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以在取得最小值，，
恒成立，即恒成立.
（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，且
所以在恒成立，即在恒成立.
所以在恒成立.
則當時，恒成立,
令，則，所以.
所以，
即.
所以，故得證.
3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中
(1)若函數(shù)的圖象恒不在軸上方，求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：，其中．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解；
（2）由（1）得到，令，得到，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)的圖象恒不在軸上方，且，
即恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
即實數(shù)的取值范圍為．
（2）解：由（1）知，當時，，
即，當且僅當時取等號，
令，可得，
所以，
即當時，．
4．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)
(1)若單調(diào)遞增，求a的值；
(2)判斷（且）與的大小，并說明理由.
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分，，討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由（1）可得時，，然后再由放縮，裂項即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由可得，，
由于函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，
設(shè)，則，
當時，，可知時，，不滿足題意；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又因為，即，不滿足題意；
當時，令，解得，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得最小值，
由可得，，令，則，
可知時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，
所以，當且僅當時取等號，
故函數(shù)單調(diào)遞增時，實數(shù)的值為.
（2）.
理由如下：
由（1）可知，當時，，即有，
則時，，
故當且時，
，
因為時，，
所以，
則，
所以.
5．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）計算出、的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2），其中，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，證明出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因為，則，
所以，，，
所以，曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）解：令，其中，
，
令，其中，
則，
當時，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即.
6．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)已知且，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意分析得到是函數(shù)的極小值點，則解得再代入驗證符合題意；
（2）由（1）可得，.令得到.令，利用導數(shù)證明出，得到，累加即可證明.
【詳解】（1）由，得.
令，則.
注意到，所以是函數(shù)的極小值點，則，
所以，得.
當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，滿足條件，故.
（2）由（1）可得，.
令，則，
所以，即.
令，則，且不恒為零，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，則，
所以，
令分別取，累加得：
.
即證.
【點睛】導數(shù)的應(yīng)用主要有：
（1）利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；
（2）利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；
（3）利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍；
（4）利用導數(shù)證明不等式.
7．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍；
(2)證明．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）先討論不符合題意，再討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用零點存在性定理分析得解；
（2）求出，再證明，即得證.
【詳解】（1）由題得且.
當時，沒有零點，不符合題意；
當時，若，則；若，則，不符合題意；
當時，，所以在和均單調(diào)遞增；
當時，由，，所以在上有一個零點；
當，，，所以在上有一個零點，所以a的范圍是．
（2）因為的兩個零點，所以，即，
同理，，
所以，
若，即，則，
所以的兩個零點互為倒數(shù)，即，所以（等號不成立），
所以，
所以．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析得到，的兩個零點互為倒數(shù).
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)證明：；
(2)討論的單調(diào)性，并證明：當時，．
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明，可得，變形即可得證；
（2）構(gòu)造，利用導數(shù)證明其單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判定的單調(diào)性，利用的單調(diào)性可得，同時取對數(shù)變形即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）證明：令，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即．
令，則有，
所以，所以，即．
（2）由可得，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，．
令，則有，
所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以對于，有，
所以，所以，
即，
整理得：．
【點睛】思路點睛：第一問，利用常用放縮，變形即可；第二問，先求導判定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞增，從而可得，取對數(shù)變形即可.
9．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求實數(shù)a的值；
(2)已知且，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）注意到，所以是的最小值點也是極小值點，從而可求解；
（2）由（1）得，再取即可證明不等式.
【詳解】（1）因為，所以函數(shù)定義域為，.
因為，且，所以是函數(shù)的極小值點，則，所以，得.
當時，，
當時，，當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，滿足條件，故.
（2）由（1）可得，.令，則，所以，即，，
所以.證畢.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解（2）的關(guān)鍵是由（1）得，然后令，有，然后累加即可證明.
10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)當時，求證：；
(2)當時，函數(shù)的零點從小到大依次排列，記為
證明：（i）；
（ii）.
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導，討論單調(diào)性，求最值即可證明；
（2）（i）根據(jù)（1）得函數(shù)零點區(qū)間，變形為，，構(gòu)造函數(shù)，求導，利用單調(diào)性即可證明；
（ii）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到零點區(qū)間即可求得零點范圍即可證明.
【詳解】（1），則，令，
則，當時，，故在上單調(diào)遞增，
又，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以；
當時，，，故，
又，所以在時恒成立；
綜上，當時，．
（2）（i）由（1）知在內(nèi)無零點，則，
由知，，，
令，，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，即．
（ii）當時，，在上單調(diào)遞減，
，；所以，使得，
當當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；
記，則，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
故，又，所以在有且只有一個零點，記為；
當，時，，
故，在無零點；
當，時，，
故在上單調(diào)遞增；
當，，，
故在上單調(diào)遞減；
又，，
；
所以，使得；
故當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
又，，，
所以在，，各有一個零點，
在，上的兩個零點分別為，，
所以，又，，
所以；
綜上.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一次求導無法解決時，可以利用多次求導的方法來解決.在此過程中，要注意導函數(shù)和原函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系.
【能力提升】
1．（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當，且時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，然后分，，分別討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，證明其單調(diào)性，即可得到證明.
【詳解】（1），，
①當，即時，，在區(qū)間單調(diào)遞增．
②當，即時，
令，得，令，得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．
③當，即時，
若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．
若，令，得，令，得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．
綜上，時，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；
時，在區(qū)間單調(diào)遞增
時，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．
（2）證明：要證，即證，
即證．
令，，則，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時，，
即時，．
令，，則在時恒成立，
所以，且時，單調(diào)遞增，
因為時，，，且，
所以，且時，，即．
所以，且時，．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及用導數(shù)證明不等式問題，難度較難，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，用其單調(diào)性去證明不等式.
2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的極值；
(2)當時，證明：.
【答案】(1)的極小值為，無極大值.
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值點、極值的概念，即可求解；
（2）令，利用單調(diào)性得到，得到，轉(zhuǎn)化為證明不等式，再由，利用導數(shù)得到，進而得到，轉(zhuǎn)化為，令，
設(shè)，利用導數(shù)證得，得到，進而證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
當時，可得，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得極小值；
當時，可得，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得極小值，
綜上可得，函數(shù)的極小值為，無極大值.
（2）證明：因為，所以，解得，即函數(shù)的定義域為，
令，可得，所以在單調(diào)遞增，
所以，即，
要證不等式，
只需證明，
又由函數(shù)，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，即，即，當且僅當時，等號成立，
所以，當時，，
只需證明：，即，
即，即，
令，可得，
設(shè)，可得，令，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，所以，
當且僅當時，等號成立，
又由以上不等式的等號不能同時成立，所以.
【點睛】方法總結(jié)：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3、適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
3．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┮阎瘮?shù)，為的導函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當時，有且只有兩根，（）.
①若，求實數(shù)a的取值范圍；
②證明：.
【答案】(1)答案見解析；
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）先求，設(shè)，再求函數(shù)的導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求其單調(diào)區(qū)間；
（2）①證明時，方程無解，當時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此確定a的取值范圍；
②先證明，再證明當時，，當時，，利用放縮法證明，，由此完成證明.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，
記，則，
當時，，故在上單調(diào)遞增，
當時，記，，
所以時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
的極小值為，故，
故，所以在上單調(diào)遞減.
綜上：故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）①當時，因為，故，此時不滿足條件；
當時，令，所以，
由（1）可知在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增.
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：，；，，
故存在，使得，
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
(i)若，則，不符合題意；
(ii)若，，
當時，，，不符合題意，
當時，，，不符合題意.
(iii)若，則，，所以，
又，；，，
故存在，使得，滿足題意；
綜上：實數(shù)a的取值范圍是.
②方程可化為，
當時，方程在上沒有解，
當時，設(shè)，由①可得，
故存在，使得，
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
因為有且只有兩根，（）.
又，；，，
所以，
又，故
所以，故，所以，
由已知，，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
于是，故；
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故
又，
故，
將上面兩個結(jié)果相加即可得：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：
一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
4．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)求證：.
【答案】(1)的極大值為，沒有極小值
(2)證明見解析
【分析】（1）求導數(shù)得，設(shè)，求導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性即可確定的正負，從而得的取值情況即可確定的極值；
（2）由（1）可知，結(jié)合數(shù)列累加求和即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因為函數(shù)，所以，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增.
又，所以當時，；當時，.
又因為對恒成立，
所以當時，；當時，.
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，沒有極小值.
（2）由（1）可知，
所以當且僅當，取“＝”.
由（1）得，
累加得；
由②得，
累加得.
綜上所述，.
5．（2023·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預(yù)測）已知，有且僅有一條公切線，
(1)求的解析式，并比較與的大小關(guān)系．
(2)證明：，．
【答案】(1)，
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)與切線的關(guān)系得，取，轉(zhuǎn)化為只有1正根，再設(shè)，再求導得其單調(diào)性，再利用隱零點法即可求出的解析式，再設(shè)，利用導數(shù)即可證明其大小關(guān)系；
（2）利用（1）中的結(jié)論得，利用換元法和累加法即可證明.
【詳解】（1）依題意,設(shè)公切線在兩條曲線上的切點橫坐標分別為,,則有
整理得①,此關(guān)于的方程只有一根，
取,則①可化為,
取,
,
令，，其兩根之積為，則其必有一正根，
則在必有零點，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，
只有一個零點，②,
其中滿足③,聯(lián)立②③消去參數(shù)可得④,
取為關(guān)于的遞減函數(shù),
且由④解得,代入③得，此時，
取，
令，得，令，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,,
即當且僅當取等.
（2）由（1）可知,,
即，取,
則,即,
.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第一問的關(guān)鍵是首先通過導數(shù)與切線的關(guān)系得到只有一根，再利用換元法得，再設(shè)新函數(shù)，進行求導，最后再利用隱零點法求出值；第二問的關(guān)鍵是利用第一問的結(jié)論得到，再利用換元法和累加法即可證明.
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？级＃┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,若有兩個實數(shù)根,且.求證:.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導數(shù),對進行分類討論,分別求解出和的解即可;
（2）利用切線放縮,先證明,先求出曲線在和處的切線,再構(gòu)造函數(shù)進行證明,同理證明即可.
【詳解】（1）的定義域為,
.
①若,因為恒成立,所以在上單調(diào)遞減.
②若,令,得;令得,,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
③若,令,得;令,得,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
綜上:
當時,在上單調(diào)遞減;
當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減;
當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
（2）,
先證不等式,
因為,
所以曲線在和處的切線分別為和,
如圖:

令,
,
令,則;令,則;
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,所以在上恒成立,
設(shè)直線與直線交點的橫坐標為,則,
設(shè)直線與直線交點的橫坐標為,同理可證,
因為,
所以(兩個等號不同時成立),
因此.
再證不等式,
函數(shù)圖象上兩點,
設(shè)直線與直線的交點的橫坐標分別為,
易證,且,
所以.
綜上可得成立.
【點睛】導數(shù)證明不等式的常用方法有:（1）最值法:直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),通過求解最值證明;（2）放縮法:通過構(gòu)造切線或割線,利用切線放縮或者割線放縮進行證明.
7．（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考二模）已知函數(shù).
(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求直線的方程；
(2)已知，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導利用導數(shù)值求解斜率，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.
（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導確定單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求解.
【詳解】（1）解：，
因為切線與直線垂直，所以，即，
又，所以直線的方程為.
（2）證明：，
設(shè)，則，即在上是增函數(shù)，
因為，所以，
所以存在，使得，
當時，，則，即在上單調(diào)遞減，
當時，，則，即在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，
則.
又因為，所以，
要證，只需證，
即證.
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
因為，所以，則，
故.
故當時，.
【點睛】思路點睛：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
8．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
【答案】(1)1；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)給定條件可得恒成立，再利用導數(shù)分類討論求解作答.
（2）利用（1）的結(jié)論得當時，，取，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合裂項相消法求和作答.
【詳解】（1）函數(shù)，求導得，
由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立，
令，則，
當時，，當時，，不滿足條件；
當時，，在R上單調(diào)遞增，
又，即，不滿足條件；
當時，令，得，
則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
于是當時，取得最小值，
于是，即，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，因此，則有，
所以單調(diào)遞增時，的值為1.
（2）由（1）知，當時，，即有，當且僅當時取等號，即當時，，
因此當且時，
，
而當時，，
所以，
則，所以，.
【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.
9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)
(1)求在處的切線;
(2)若，證明當時，.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出，根據(jù)在點處的切線求解.
（2）主要是構(gòu)造函數(shù)對進行放縮，找到，所以要證只需證明，變形得，因為，所以只需證明，即
兩邊同取對數(shù)得：，令，
只需要證到在上恒成,.
【詳解】（1）因為，所以，切線斜率為
因為，所以切點為
切線方程為即
（2）法一：令，所以，
所以在單調(diào)遞增，，
所以，所以，
所以要證只需證明
變形得
因為
所以只需證明，即
兩邊同取對數(shù)得：
令，
則
顯然在遞增，
所以存在當時遞減，
當時遞增;
因為
所以在上恒成立，所以原命題成立
法二：設(shè)則，
要證：
需證：
即證：
因為，需證，即證：
①時必然成立
②時，因為所以只需證明，
令，，
令，
∴在上為增函數(shù)
因為
，所以
所以存在，使得
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)
∴
綜上可知，不等式成立
【點睛】此題主要的難點在于構(gòu)造函數(shù)進行放縮，再進行一系列的轉(zhuǎn)換，求導研究函數(shù)的最大值小于0，綜合性較強，屬于難題.
10．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，且，證明：.
【答案】(1)減區(qū)間是，增區(qū)間是.
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，求得和的解集，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1），可設(shè)，則，求得
設(shè)，利用導數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，得到，進而得到，得出，設(shè)，利用導數(shù)求得，得到，進而證得以，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以的減區(qū)間是，增區(qū)間是.
（2）證明：當時，，當時，，
因為且，結(jié)合在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增可得，設(shè)，則，
所以，從而，
又因為，所以，故 ①，
設(shè)，則，
令，可得；令，可得，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又由，所以，故，
所以，
因為，所以，故 ②，
將①②兩式相加可得，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，從而，所以，
，所以，故，
又因為，所以，
綜上所述，.

【點睛】利用導數(shù)證明不等式問題：
（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
【真題感知】
1．（全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當時，．
【答案】(1)a=；增區(qū)間為，減區(qū)間為．(2)證明見解析.
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，利用，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，再解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）方法一：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當時，，之后構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.
【詳解】（1）的定義域為，，則，解得：，故．易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，
由解得：；由解得：，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮法
當時，.
設(shè)，則.
當時，；
當時，.所以是的最小值點.
故當時，.因此，當時，.
［方法二］：【通性通法】隱零點討論
因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當時，，當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以．
設(shè)，則．
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．
［方法三］：分離參數(shù)求最值
要證時，即，則證成立．
令，則．
令，則，由知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
所以，而，所以恒成立，原命題得證．
［方法四］：隱零點討論＋基本不等式
，結(jié)合與的圖像，可知有唯一實數(shù)解，不妨設(shè)，則．易知在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．所以．
由，得．
．
當且僅當，即時，，所以．
［方法五］：異構(gòu)
要證明，即證，
即證明，再證明即可．
令，．
設(shè)，則．
若時，在上恒成立，所以；
若時，當時；當時，．
所以為的極小值點，則．
因為，所以，所以．
令．
當時，；當時，，所以為的極小值點．
則，所以，即．
所以．
［方法六］： 高階函數(shù)借位構(gòu)建有界函數(shù)
．
令，則．
令．顯然為定義域上的增函數(shù)．又，故當時，，得；當時，，得．即在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故．即恒成立，而恒成立．
【整體點評】（2）方法一：利用的范圍放縮，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值，是該題的最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論，求最值，是該類型題的通性通法；
方法三：原不等式可以通過分參轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值，也是不錯的解法；
方法四：同方法二，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論，利用基本不等式求最值，區(qū)別在于最后求最值使用的方式不一樣；
方法五：利用常見的對數(shù)切線不等式異構(gòu)證明，也是很好的解決方法，不過在本題中使用過程稍顯繁瑣；
方法六：基本類似于方法三．
2．（浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)=，．證明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）證明詳見解析．
【詳解】試題分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.第一問，利用放縮法，得到，從而得到結(jié)論；第二問，由得，進行放縮，得到， 再結(jié)合第一問的結(jié)論，得到， 從而得到結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）因為
由于，有即，
所以
（Ⅱ）由得，故
，
所以.
由（Ⅰ）得，
又因為，所以.
綜上，
【考點】函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù).
【思路點睛】（Ⅰ）先用等比數(shù)列前項和公式計算，再用放縮法可得，進而可證；（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論及放縮法可證．
3．（安徽·高考真題）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求證：當且時，．
【答案】(1)見解析；（2）見解析.
【詳解】試題分析：（1）由，知．令，得．列表討論能求出的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．
（2）設(shè)，于是,由（1）知當時，最小值為，于是對任意，都有，所以在內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明．
試題解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），
單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2處取得極小值，
極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．
（2）證明：設(shè)g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，
于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
由（1）知當a＞ln2﹣1時，
g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．
于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）．
而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，
故ex＞x2﹣2ax+1．
考點：1.導數(shù)與單調(diào)性和極值；2.導數(shù)的應(yīng)用.
4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域為．
要證，即證，即證．
（?。┊敃r，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br>[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當時，，單減，故；
當時，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．
（ⅰ）當時，，所以，即，所以．
（ⅱ）當時，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑?，當且時，，即．
【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當時，轉(zhuǎn)化為證明，當時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導數(shù)研究單調(diào)性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當且僅當時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.
6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．
（Ⅰ）當時，
（i）求曲線在點處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當時，求證：對任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】(Ⅰ) (i)首先求得導函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）首先確定導函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(Ⅰ) (i) 當k=6時，，.可得，，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
(ii) 依題意，.
從而可得，
整理可得：，
令，解得.
當x變化時，的變化情況如下表：
所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；
g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.
（Ⅱ）證明：由，得.
對任意的，且，令，則
. ①
令.
當x>1時，，
由此可得在單調(diào)遞增，所以當t>1時，，即.
因為，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，當時，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，當時，任意的，且，有
.
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：
(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7．（2017·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足：，
證明：當時，
（I）；
（II）；
（III）.
【答案】（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）見解析.
【分析】（I）用數(shù)學歸納法可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可證；
（Ⅲ）由及，遞推可得.
【詳解】（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：．
當時，．
假設(shè)時，，那么時，若，
則，矛盾，故．
因此，所以，因此．
（Ⅱ）由得，
．
記函數(shù)，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
因此，故．
（Ⅲ）因為，所以，
由，得，
所以，故．
綜上，．
【名師點睛】本題主要考查利用數(shù)列不等式的證明，常利用以下方法：（1）數(shù)學歸納法；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）利用遞推關(guān)系證明．
8．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：
（?。?；
（ⅱ）．
【答案】（I）證明見解析，（II）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.
【分析】（I）方法一：先利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理證明結(jié)論；
（II）（i）先根據(jù)零點化簡不等式，轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式；
（ii）方法一：先根據(jù)零點條件轉(zhuǎn)化：，再根據(jù)放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式，最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導數(shù)進行證明.
【詳解】（I）[方法一]：單調(diào)性+零點存在定理法
在上單調(diào)遞增，
，
所以由零點存在定理得在上有唯一零點．
[方法二]【最優(yōu)解】：分離常數(shù)法
函數(shù)在內(nèi)有唯一零點等價于方程在內(nèi)有唯一實根，又等價于直線與只有1個交點．
記，由于在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故．
因此，當時，直線與只有1個交點．
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在單調(diào)遞增，，
，
另一方面：，
所以當時，成立，
因此只需證明當時，，
因為
當時，，當時，，
所以，
在單調(diào)遞減，，，
綜上，.
（ii）[方法一]：分析+構(gòu)造函數(shù)法
，
，，
，因為，所以，
，
只需證明，
即只需證明，
令，
則，
，即成立，
因此.
[方法二]【最優(yōu)解】：放縮轉(zhuǎn)化法
．
設(shè)，則由得．
從而只要證．
上式左邊．
使用不等式可得
【整體點評】（Ⅰ）方法一：直接研究函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點存在定理證得結(jié)論，為通性通法；方法二：先分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明水平直線與函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，為最優(yōu)解；
（Ⅱ）（?。┩ㄟ^分析，轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)證得；
（ⅱ）方法一：構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，求得最小值，然后根據(jù)條件放縮轉(zhuǎn)化為證明不等式．利用作差法構(gòu)造關(guān)于實數(shù)的函數(shù)，利用導數(shù)證得此不等式，為該題的通性通法；方法二：利用放縮判定的導函數(shù)大于零，確定單調(diào)性，得到其最小值，轉(zhuǎn)化為，然后利用不等式放縮證明，運算相對簡潔，為最優(yōu)解.
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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