（1）了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
（2）理解數(shù)形結(jié)合的思想.
一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．曲線的交點(diǎn)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩條曲線，已知它們的方程為，求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求方程組的實(shí)數(shù)解.
方程組有幾組實(shí)數(shù)解，這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn).若方程組無實(shí)數(shù)解，則這兩條曲線沒有交點(diǎn).
2．直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定
設(shè)直線，圓錐曲線，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個(gè)關(guān)于的方程.
（1）當(dāng)時(shí)，
方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
方程無實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線無交點(diǎn).
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程為一次方程，若b≠0，方程有一個(gè)解，此時(shí)直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
若b=0,c≠0，方程無解，此時(shí)直線與圓錐曲線沒有交點(diǎn).
3．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線相交時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，與雙曲線、拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn).
（1）直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)相交；直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)相切；直線與橢圓沒有交點(diǎn)相離.
（2）直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)相交.
當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與雙曲線相切外，還有可能是直線與雙曲線相交，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行.
直線與雙曲線沒有交點(diǎn)相離.
（3）直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)相交.
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與拋物線相切外，還有可能是直線與拋物線相交，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.
直線與拋物線沒有交點(diǎn)相離.
二、圓錐曲線中弦的相關(guān)問題
1．弦長(zhǎng)的求解
（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng).
（3）當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).
2．中點(diǎn)弦問題
（1）AB為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.
（2）AB為雙曲線的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.
（3）在拋物線中，以M(x0，y0) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.
考向一 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用
1．判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.
2．依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí)，聯(lián)立方程并消元，得到一元方程，此時(shí)注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，若為0，則方程為一次方程；若不為0，則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.
典例1 已知橢圓x2+4y2=4，直線l:y＝x＋m．
(1)若l與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；
(2)若l與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求m的值．
【解析】(1)聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，即5x2+8mx+4m2-4=0，
由于直線l與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則Δ=80-16m2=0,
所以m=±5.
(2)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2，y2)，
由(1)知：，
則|PQ|==2.
解得：m=±304.
典例2 已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．
（1）若過點(diǎn)的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線的方程；
（2）若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積．
【解析】（1）由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，
所以，，
則拋物線的方程為，拋物線的方程為.
若直線的斜率不存在，則易知直線的方程為；
若直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
當(dāng)時(shí)，，滿足題意，此時(shí)直線的方程為；
當(dāng)時(shí)，，解得，
此時(shí)直線的方程為.
綜上，直線的方程為，或，或.
（2）易得直線MF的方程為，
由得
設(shè)，則，，
從而，
所以的面積為．
1．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線交于兩點(diǎn)，且，則的方程為
A．B．
C．D．
2．已知點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2.
（1）求拋物線的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，求直線與的斜率之積.
考向二 直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題
直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題有三種解法：
（1）過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題，利用圓錐曲線的定義可優(yōu)化解題．
（2）將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)．
（3）它體現(xiàn)了解析幾何中的設(shè)而不求的思想，其實(shí)質(zhì)是利用兩點(diǎn)之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
典例3 已知拋物線C：y2=2px（p>0），焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線C于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，D(x0,y0)為AB的中點(diǎn)，且|AF|+|BF|=1+2x0．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若x1x2+y1y2=-1，求的最小值．
【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x2=2x0，
∵|AF|+|BF|=1+2x0，∴p=1，
∴y2=2x．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+b，
代入拋物線方程，得y2-2my-2b=0，
∵x1x2+y1y2=-1，即，
∴y1y2=-2，
即y1y2=-2b=-2，∴b=1，
∴y1+y2=2m，y1y2=-2，
|AB|=1+m2|y1-y2| =1+m2?(y1+y2)2-4y1y2 =21+m2?m2+2，
，
∴，
令t=m2+1，t∈[1,+∞)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
故的最小值為.
典例4 已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與圓相切于點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率存在的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【解析】（1）∵直線與圓相切于點(diǎn)，且，
∴，
∴直線的方程為，
∴，，即，，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）易知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，
代入橢圓的方程中，
得，
由橢圓定義知，
又，
從而，
設(shè)，，
則，.
∴，
代入并整理得，
∴.
故直線的方程為或.
3．直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．
4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與拋物線交于點(diǎn)，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，試探究：線段與的長(zhǎng)度能否相等？如果相等，求直線的方程，如果不等，說明理由．
考向三 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題
定點(diǎn)、定值問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過定點(diǎn)、定值等問題的證明.解決此類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參變量表示所求問題，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.可以先研究一下特殊情況，找出定點(diǎn)或定值，再視具體情況進(jìn)行研究.同時(shí)，也要掌握巧妙利用特殊值解決相關(guān)的定點(diǎn)、定值問題，如將過焦點(diǎn)的弦特殊化，變成垂直于對(duì)稱軸的弦來研究等.
典例5 如圖，已知點(diǎn)E(m,0)(m＞0)為拋物線y2＝4x內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，過E作斜率分別為k1，k2的兩條直線交拋物線于點(diǎn)A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．
（1）若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面積的最小值；
（2）若k1＋k2＝1，求證：直線MN過定點(diǎn)．
【解析】（1）當(dāng)m=1時(shí)，E為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，
∵k1k2=-1，∴AB⊥CD.
設(shè)直線AB的方程為y=k1x-1，Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=k1x-1y2=4x得k1y2-4y-4k1=0，y1+y2=4k1，y1y2=-4.
則，同理，N2k12+1,-2k1，
∴，
化簡(jiǎn)得，
當(dāng)且僅當(dāng)k1=±1時(shí)等號(hào)成立.
故ΔEMN的面積取得最小值，為4.
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k1x-m，Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=k1x-my2=4x得k1y2-4y-4k1m=0，y1+y2=4k1，y1y2=-4m，
則，
同理，
∴直線MN的方程為，即y=k1k2x-m+2，
∴直線MN恒過定點(diǎn)m,2．
典例6 已知橢圓方程為，射線與橢圓的交點(diǎn)為，過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于兩點(diǎn)（異于）.
（1）求證：直線的斜率為定值；
（2）求面積的最大值.
【解析】（1）由，得，
不妨設(shè)直線，
直線.
由，
得，
設(shè)，
，，
同理得，
，
直線的斜率為定值2.
（2）設(shè)直線，
由，得，
則，
由得，且，
又點(diǎn)到的距離，
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，
所以面積的最大值為1.
5．已知拋物線過點(diǎn)
（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，并加以證明.
6．已知橢圓的離心率為12，右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，左頂點(diǎn)為P，過F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線PA、PB與直線l:x=4交于M、N兩點(diǎn).
（1）求橢圓E的方程；
（2）試計(jì)算PM?PN是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由.
1．直線y=kx-k+1與橢圓x29+y24=1的位置關(guān)系為
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定
2．已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為
A．(0,52) B．[1,52]
C．(-52,52) D．(1,52)
3．直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是
A．B．
C．D．
4．設(shè)F為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，過F作傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點(diǎn)，則AB=
A．323 B．16
C．32 D．43
5．直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若線段AF,BF的長(zhǎng)分別為m,n，則4m+n的最小值是
A．10 B．9
C．8 D．7
6．已知直線與拋物線相切，則雙曲線的離心率為
A．B．
C．D．
7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，則直線的斜率為
A．2B．
C．D．
8．過雙曲線的右頂點(diǎn)A作傾斜角為135°的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B,C,若,則雙曲線的漸近線方程為
A．(2+1)x+y=0B．(2+1)y-x=0
C．(2+1)x±y=0D．(2+1)y±x=0
9．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積與的面積之比為
A．B．
C．D．2
10．若橢圓與直線x-2y+4=0有公共點(diǎn)，則該橢圓離心率的取值范圍是
A． B．
C． D．
11．已知雙曲線的一條漸近線截橢圓x24+y2=1所得弦長(zhǎng)為433，則此雙曲線的離心率為
A．2 B．3
C． D．6
12．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，，為垂足，如果直線的斜率為，那么
A．B．
C．D．2
13．若直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，且成等差數(shù)列，則
A．2或B．
C．2D．
14．已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
A．B．
C．D．不確定
15．如圖,過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為
A．B．
C． D．y2=3x
16．已知橢圓C：，過點(diǎn)M(1,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，若AM=2MB，則直線l的斜率為
A． B．
C． D．
17．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的乘積為，則的最小值為
A．14B．16
C．18D．20
18．直線過拋物線的焦點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則拋物線C的方程為
A．或B．或
C．或D．或
19．如圖，已知斜率為1的直線l過橢圓C：的下焦點(diǎn)，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)等于__________．
20．如果雙曲線C:x2a2-y2b2=1的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為___________.
21．過拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，則等于___________.
22．直線m與橢圓x22+y2=1分別交于點(diǎn)P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1?k2的值為__________．
23．過拋物線C:y2=x上一點(diǎn)A(1,1)作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于P,Q(異于點(diǎn)A)兩點(diǎn),則直線PQ恒過定點(diǎn)_________.
24．過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線在第一、四象限分別交于、兩點(diǎn)，則___________．
25．已知橢圓的離心率，焦距是．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，，求的值．
26．已知拋物線y2=2pxp>0上的點(diǎn)P到點(diǎn)Fp2,0的距離與到直線x=0的距離之差為1，過點(diǎn)Mp,0的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn).
（1）求拋物線的方程；
（2）若?ABO的面積為43，求直線l的方程.
27．設(shè)、分別為雙曲線的左、右項(xiàng)點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)使，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，為拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，，切點(diǎn)分別為，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.
29．已知橢圓過點(diǎn)且離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.
30．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上的射影為，且是邊長(zhǎng)為的正三角形.
（1）求；
（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.
31．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且.
（1）求的值；
（2）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，，是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
32．已知點(diǎn)在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)（2）中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．
33．已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，，求證：為定值．
34．已知圓，拋物線．
（1）若拋物線的焦點(diǎn)在圓上，且為拋物線和圓的一個(gè)交點(diǎn)，求；
（2）若直線與拋物線和圓分別相切于兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最大值．
35．已知橢圓的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線MA、MB交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1、k2，且，證明：直線AB過定點(diǎn)．
36．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積．
1．（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為
A．B．
C．D．
2．（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為
A．B．
C．D．
3．（2019年高考天津卷理數(shù)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為
A．B．
C．D．
4．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，則
A．5B．6
C．7D．8
5．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為
A．B．
C．D．
6．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，．若為直角三角形，則
A．B．3
C．D．4
7．（2019年高考浙江卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．
8．（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為____________．
9．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則________________．
10．（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
11．（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.
12．（2019年高考北京卷理數(shù)）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．
（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．
13．（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率．
14．（2019年高考江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．
已知DF1=．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
15．（2019年高考浙江卷）如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為．
（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
16．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
17．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．
18．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．
（1）證明：；
（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．
19．（2018北京理科）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，且直線交軸于，直線交軸于．
（1）求直線的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)為原點(diǎn)，，，求證：為定值．
20．（2018江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．
（1）求橢圓C及圓O的方程；
（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．
21．（2018天津理科）設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q．
若(O為原點(diǎn))，求k的值．
22．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2，0）的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．
（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（2）設(shè)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程．
23．（2017新課標(biāo)全國(guó)I理科）已知橢圓C：，四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn)．
變式拓展
1．【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，又?br>所以在直角三角形中，，
因?yàn)?，所以?br>所以橢圓的方程為.
故選C.
2．【解析】（1）由已知得，所以
所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)點(diǎn),，由已知得，
由題意直線的斜率存在且不為0.
設(shè)直線的方程為.
由得，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，，
則，
故.
故直線與的斜率之積為2.
3．【解析】由消去y得．
設(shè)，，則，．
（1）
．
當(dāng)時(shí)，．
（2）由題意知，OA⊥OB，則，即，
即，即，解得．
所以當(dāng)以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，a的值為或．
4．【解析】（1）設(shè)直線，代入拋物線方程得：，
，解得：，
拋物線方程為.
（2）由（1）知：，
聯(lián)立，得，
此時(shí)恒成立，
，，
過焦點(diǎn)，，
由，，得，
由得，即，
，，解得：或（舍），
.
當(dāng)直線的方程為時(shí)，.
5．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，
所以拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）設(shè)直線的方程為，
由，消去整理得，
則，即，
設(shè)，則，
且.
直線，
，
，
，
，
即，
所以，直線恒過定點(diǎn).
6．【解析】（1）由題意知ca=12，右焦點(diǎn)F2(1,0)，即c=1，且b2+c2=a2，
解得a=2 , b=3，
所以橢圓E的方程為x24+y23=1.
（2）由（1）知P(-2,0)，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，即直線AB的方程為x=1，
易知A(1,32),B(1,-32)，所以直線PA:y=12(x+2),直線PB:y=-12(x+2).
令x=4，可知：M(4,3),N(4,-3),
此時(shí)PM?PN=27.
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)，
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，直線PA:y=y1x1+2(x+2),直線PB:y=y2x2+2(x+2),
令x=4，可知M(4,6y1x1+2),N(4,6y2x2+2)，
聯(lián)立，消去y整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
∴.
此時(shí).
綜上所述，PM?PN為定值，且.
專題沖關(guān)
1．【答案】A
【解析】由題意得直線y-1=k(x-1)恒過定點(diǎn)(1,1),而點(diǎn)(1,1)在橢圓x29+y24=1的內(nèi)部,所以直線與橢圓相交.選A．
2．【答案】D
【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，∴當(dāng)﹣1＜k≤1時(shí)，直線與雙曲線的右支只有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k≤﹣1時(shí)，直線與雙曲線的右支沒有交點(diǎn).
把代入x2-y2=4得，
令，解得k=52或k=﹣52（舍去）．
∴直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，1＜k＜52．
故選D．
3．【答案】A
【解析】將直線代入，可得，即，
∴x1＝﹣2，x2，
∴y1＝﹣1，y2，
∴直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.
故選A．
4．【答案】C
【解析】由題意知F（2,0），AB所在直線的方程為y=tan30°(x-2)=33(x-2)，聯(lián)立y2=8x消元得y2-83y-16=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=83,y1?y2=-16，
所以|AB|=1+3×64×3+4×16=32，故選C．
5．【答案】B
【解析】由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知：1m+1n=2p=1，
則4m+n=4m+n1m+1n=5+4mn+nm≥5+24mn×nm=9，
當(dāng)且僅當(dāng)m=32,n=3時(shí)等號(hào)成立.
即4m+n的最小值是9.本題選擇B選項(xiàng).
6．【答案】B
【解析】由，得，
直線與拋物線相切，，
雙曲線方程為，
可得，
則雙曲線的離心率.
故選B．
7．【答案】C
【解析】由題得.
設(shè)，由題得，
則，
兩式相減得，
∴，
即，
即.
故選C.
8．【答案】C
【解析】由題意知直線過點(diǎn)A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,
則直線的方程為x+y-a=0.
將該直線方程分別與兩漸近線方程聯(lián)立,解得B(a2a+b,aba+b),C(a2a-b,-aba-b),
則有,.
因?yàn)锳B=22BC,所以,
化簡(jiǎn)得ba=2+1,則雙曲線的漸近線方程為(2+1)x±y=0.
故選C.
9．【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，
將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，
由拋物線的定義得，得，，，，
可得出，，故選D．
10．【答案】B
【解析】聯(lián)立方程得b2x2+4y2=4b2x-2y+4=0，消去y化簡(jiǎn)得(b2+1)x2+8x+16-4b2=0，
由題意得Δ=64-4×b2+116-4b2≥0,∴b2≥3,
∴4-c2≥3,∴c2≤1,∴c≤1,∴ca≤12.
故該橢圓離心率的取值范圍是0,12.
故選B．
11．【答案】B
【解析】雙曲線的一條漸近線不妨設(shè)為：bx-ay=0，
則，可得 .
一條漸近線截橢圓x24+y2=1所得弦長(zhǎng)為433，可得，
即2a2=b2=c2-a2，解得e=ca＝3．
故選B．
12．【答案】B
【解析】拋物線方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線的方程為，
直線的斜率為，∴直線的方程為，
由可得點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，為垂足，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
代入拋物線方程，得點(diǎn)坐標(biāo)為，，
.
故選B.
13．【答案】C
【解析】設(shè)．
由消去，得，
故，解得，且．
由，且成等差數(shù)列，
得，得，
所以，解得或，
又，故，
故選C．
14．【答案】A
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
所以，，
且，，
則直線的斜率，
則直線的方程為，
即，
整理得，
故直線恒過點(diǎn)，而該點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，
所以直線和橢圓相交，即公共點(diǎn)有2個(gè).
故選A．
15．【答案】C
【解析】過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為B1,記準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,則依題意得,所以|BB1|=23|FF1|=,
由拋物線的定義得|BF|=|BB1|=.
令A(yù)(x1,y1)、B(x2,y2),依題意知F(p2,0),可設(shè)直線l的方程為y=k(x-).
聯(lián)立方程,消去y得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,則x1+x2=p(k2+2)k2,x1·x2=p24.
又由拋物線的定義知|AF|=x1+,|BF|=x2+,
則可得1|AF|+1|BF|=2p,于是有13+32p=2p,解得2p=3,
所以此拋物線的方程是.
選C.
16．【答案】C
【解析】由題意可得,直線l的斜率存在且不為0,不妨設(shè)直線l:y=k(x-1),
則由消去y化簡(jiǎn)得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=,x1x2=.
因?yàn)锳M=2MB,所以x1+2x2=3,
所以x2=,x1=2k2-31+2k2,
所以x1x2=2k2-31+2k2·3+2k21+2k2=2k2-81+2k2,化簡(jiǎn)得k2=114,
解得k=±1414.
故選C.
17．【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意可知的斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，
聯(lián)立，消去，整理得，
設(shè)，
則，
故，
同理可求得.
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選B．
18．【答案】B
【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，
可得，
所以，
代入直線的方程，得，
又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，解得或，
∴或，
∴拋物線C的方程為或．
故選B.
19．【答案】
【解析】設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由橢圓方程知，，所以，
所以橢圓的下焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(0，－2)，故直線l的方程為y＝x－2．
將其代入，化簡(jiǎn)整理得，所以，，
所以．
20．【答案】5
【解析】已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程為y=bax，
代入拋物線方程y=x2+1，整理得ax2-bx+a=0，
∵漸近線與拋物線相切，∴ b2-4a2=0，即c2=5a2?e=5.
故答案為5.
21．【答案】
【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)，
則過焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線方程為，
設(shè)，，由得，
∴，，
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則弦AB的垂直平分線方程為，
∵弦AB的中點(diǎn)在該直線上，∴，
解得.
22．【答案】-12
【解析】設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，中點(diǎn)P(x0,y0)，則k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0=y1+y2x1+x2，
把點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入橢圓的方程x22+y2=1，整理得x122+y12=1,x222+y22=1，
兩式相減得，整理得，
即k1k2=-12.
23．【答案】(2,-1)
【解析】由題意可得,這兩條直線的斜率均存在,且不為0,設(shè)AP:y-1=k(x-1),與拋物線C:y2=x聯(lián)立,消去x,得ky2-y+1-k=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得, ,即P((1-kk)2,1-kk),同理可得Q((k+1)2,-k-1),所以直線PQ的斜率kPQ=,所以直線PQ:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通過對(duì)比可知,x=2,y=-1滿足條件,即直線PQ恒過定點(diǎn)(2,-1).
24．【答案】
【解析】設(shè)，，
直線的方程為，
由拋物線的焦點(diǎn)弦公式，得，
∴，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
消去y得，，
故，
聯(lián)立方程組，解得，，
則，
故答案為．
25．【解析】（1）由題意得，所以，
又，所以，，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，
將代入，整理得，
所以 ①，，，
又，，
所以，
又，
代入上式，整理得，即，
解得（舍去）或，即，
經(jīng)驗(yàn)證，能使①成立，
故．
26．【解析】（1）設(shè)Px0,y0，
由定義知PF=x0+p2，∴x0+p2-x0=1，∴p=2，
故拋物線的方程為y2=4x.
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由（1）知M2，0.
若直線l的斜率不存在，則方程為x=2，
此時(shí)AB=42，所以?ABO的面積為42，不滿足題意，所以直線l的斜率存在；
設(shè)直線l的方程為y=kx-2，代入拋物線方程得k2x2-4k2+1x+4k2=0，則?=16k2+12-16k4>0，x1+x2=4+4k2，x1x2=4，
所以AB=1+k242k2+1k2，
點(diǎn)O到直線l的距離為d=2k1+k2，
所以121+k242k2+1k2?2k1+k2=43，解得k=±1.
故直線l的方程為y=x-2或y=-x+2.
27．【解析】（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為，得，漸近線方程為，即，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，
又，
所以雙曲線的方程為．
（2）設(shè)，
則，
由，
所以，所以，
又，所以，
所以，所以．
28．【解析】（1）根據(jù)題意，得，
所以.
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.
由，得.
所以，得.
同理，得，
所以，
分別令，得，，
所以
.
29．【解析】（1）由已知點(diǎn)代入橢圓方程，得，
由得，可轉(zhuǎn)化為，
由以上兩式解得，
所以橢圓C的方程為：.
（2）存在這樣的直線.
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足,
所以設(shè)所求直線方程為，
代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，
設(shè)，
則①，②，
，
由已知條件可得,③
綜合上述①②③，可解得，符合題意,
所以所求直線的方程為：.
30．【解析】（1）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)槭钦切?，且?br>所以在中，，
所以.
（2）設(shè)，直線，
由（1）知，
聯(lián)立方程：，消去得.
因?yàn)?，所以?br>所以，
又原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
同理，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故的最小值為.
31．【解析】（1）設(shè)，由拋物線定義知，
又，，
所以，解得，
將點(diǎn)代入拋物線方程，解得.
（2）由（1）知，的方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，
由 得，.
所以，，
所以
，
解得，
所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)．
【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.
（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后代入拋物線方程，得到的值；
（2），，直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡(jiǎn)整理，得到和的關(guān)系，從而得到直線恒過的定點(diǎn).
32．【解析】（1）由題意知，，解得．
因此，所求雙曲線的方程是，即．
（2）∵直線過點(diǎn)且斜率為，∴直線的方程為．
由得．
∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，
解得．
（3）設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)為，
由（2）可得，
又以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，為坐標(biāo)原點(diǎn)），
于是，，即，
即，即，
解得．
又滿足，且，
所以，所求實(shí)數(shù)的值為．
33．【解析】（1）由的焦點(diǎn)在圓上得，則.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上，可解得，則，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，，則．
由消去，得，
則，.
由，，得，，
整理得，
故.
故為定值.
34．【解析】（1）由題意知，所以.
所以拋物線的方程為.
將與聯(lián)立得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
結(jié)合拋物線的定義得.
（2）由得：，，
所以直線的斜率為，故直線的方程為，
即.
又由得且，
所以
令，，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，
所以，
即的最大值為.
35．【解析】（1）易知等軸雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為，
又直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，則，即，
由，解得.
故橢圓C的方程為．
（2）由（1）可知．
①若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，則．
由已知得，解得，
此時(shí)直線的方程為，顯然過點(diǎn)．
②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，易知．
設(shè)，由得，
則，.（1）
∵，∴，
即，即.
把（1）代入得，則，故.
則直線的方程為，即，
故直線AB過定點(diǎn)．
36．【解析】（1）由題意可得：，，得，
則.
所以橢圓.
（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，不妨取，此時(shí)；
當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立得，
顯然，，.
所以
.
當(dāng)時(shí)，取最大值.此時(shí)直線方程為，
不妨取，所以.
又，所以的面積.
【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，運(yùn)用了設(shè)而不求的思想，將向量和圓錐曲線結(jié)合起來，是典型考題.
（1）由左頂點(diǎn)M坐標(biāo)可得a=2，再由可得c，進(jìn)而求得橢圓方程.
（2）設(shè)l的直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立，可得，由于，可用t表示出兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和，進(jìn)而得到關(guān)于t的一元二次方程，得到取最大值時(shí)t的值，求出直線方程，而后計(jì)算出的面積.
直通高考
1．【答案】B
【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，
由橢圓的定義有．
在中，由余弦定理推論得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為.
故選B．
法二：由已知可設(shè)，則，
由橢圓的定義有．
在和中，由余弦定理得，
又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為.
故選B．
【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
2．【答案】A
【解析】由，
又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，
.
故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．
3．【答案】D
【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，
雙曲線的漸近線方程為，
則有，
∴，，，
∴.
故選D.
【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長(zhǎng)度.解答時(shí)，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.
4．【答案】D
【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，與拋物線聯(lián)立，消去可得，解得，，又，所以，，從而可以求得，故選D．
5．【答案】D
【解析】因?yàn)闉榈妊切?，，所以，由的斜率為可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以?
故選D．
6．【答案】B
【解析】由題可知雙曲線的漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而可得，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，，所以.
故選B．
7．【答案】
【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知，
由中位線定理可得，
設(shè)，可得，
與方程聯(lián)立，可解得（舍），
又點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，
所以.
方法2：（焦半徑公式應(yīng)用）由題意可知，
由中位線定理可得，
即，
從而可求得，
所以.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡(jiǎn)潔.
8．【答案】2
【解析】如圖，由得
又得OA是三角形的中位線，即
由，得∴，，
又OA與OB都是漸近線，得
又，∴
又漸近線OB的斜率為，
∴該雙曲線的離心率為．
【名師點(diǎn)睛】本題結(jié)合平面向量考查雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．解答本題時(shí)，通過向量關(guān)系得到和，從而可以得到，再結(jié)合雙曲線的漸近線可得進(jìn)而得到從而由可求離心率.
9．【答案】2
【解析】設(shè)，，則，所以，所以，取的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以平行于軸，因?yàn)椋?，則，所以．
10．【解析】設(shè)直線．
（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．
由，可得，則．
從而，得．
所以的方程為．
（2）由可得．
由，可得．
所以．從而，故．
代入的方程得．
故．
【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及平面向量、弦長(zhǎng)的求解方法，解題關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等量關(guān)系.
11．【解析】（1）設(shè)，則.
由于，所以切線DA的斜率為，故 .
整理得
設(shè)，同理可得.
故直線AB的方程為.
所以直線AB過定點(diǎn).
（2）由（1）得直線AB的方程為.
由，可得.
于是，
.
設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則.
因此，四邊形ADBE的面積.
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則.
由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.
當(dāng)=0時(shí)，S=3；當(dāng)時(shí)，.
因此，四邊形ADBE的面積為3或.
【名師點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計(jì)算量不小.
12．【解析】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得.
所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.
（2）拋物線的焦點(diǎn)為.
設(shè)直線的方程為.
由得.
設(shè)，則.
直線的方程為.
令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo).
同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo).
設(shè)點(diǎn)，則，
.
令，即，則或.
綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)和.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
13．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．
所以，橢圓的方程為．
（2）由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，
又，則直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立整理得，
可得，代入得，
進(jìn)而直線的斜率．
在中，令，得．
由題意得，所以直線的斜率為．
由，得，化簡(jiǎn)得，從而．
所以，直線的斜率為或．
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．
14．【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因?yàn)镕1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.
由b2=a2?c2，得b2=3.
因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，
因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
將x=1代入圓F2的方程(x?1) 2+y2=16，解得y=±4.
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4).
又F1(?1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.
由，得，解得或.
將代入，得，
因此.
又F2(1，0)，所以直線BF2：.
由，得，解得或.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.
將代入，得.
因此.
解法二：由（1）知，橢圓C：.
如圖，連結(jié)EF1.
因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
從而∠BF1E=∠B.
因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.
因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.
因?yàn)镕1(?1，0)，由，得.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.
因此.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力.
15．【解析】（1）由題意得，即p=2.
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.
（2）設(shè)，重心.令，則.
由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心G在x軸上，故，得.
所以，直線AC方程為，得.
由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故.從而
.
令，則m>0，
.
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G（2，0）．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.
16．【解析】（1）由題意得，l的方程為．
設(shè)，
由得，，故．
所以．
由題設(shè)知，解得（舍去）或，
因此l的方程為．
（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線方程為，即．
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則解得或
因此所求圓的方程為或．
17．【解析】（1）由已知得，l的方程為x=1．
由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，
所以AM的方程為或．
（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，．
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以．
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，，
則，直線MA，MB的斜率之和為．
由得．
將代入得．
所以，則．
從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以．
綜上，．
18．【解析】（1）設(shè)，則．
兩式相減，并由得．
由題設(shè)知，于是．
由題設(shè)得，故．
（2）由題意得，設(shè)，則．
由（1）及題設(shè)得．
又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．
于是，同理，
所以，故，即成等差數(shù)列．
設(shè)該數(shù)列的公差為d，則．①
將代入得，所以l的方程為，
代入C的方程，并整理得，故，
代入①解得，所以該數(shù)列的公差為或．
19．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得，所以拋物線的方程為．
由題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為．
由可得．
依題意，解得或．
又，與軸相交，故直線不過點(diǎn)．從而．
所以直線斜率的取值范圍是．
（2）設(shè)，，由（1）知，．
直線的方程為，
令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
由，得，，
所以，
所以為定值．
20．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為．
又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得
因此橢圓C的方程為．
因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為．
（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，
所以直線l的方程為，即．
由消去y，得．（*）
因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以．
因?yàn)椋裕虼它c(diǎn)P的坐標(biāo)為．
②因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而．
設(shè)，由（*）得，
所以．
因?yàn)?，所以，即?br>解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為．
綜上，直線l的方程為．
21．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．
由已知可得，，，由，可得ab=6，
從而a=3，b=2，所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因?yàn)椋螼AB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．
所以k的值為
22．【解析】（1）設(shè)，．
由可得，則．
又，故．
因此的斜率與的斜率之積為，所以．
故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上．
（2）由（1）可得．
故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑．
由于圓過點(diǎn)，因此，故，
即，
由（1）可得．
所以，解得或．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為．
【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.
23．【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn)．
又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上．
因此，解得，
故C的方程為．
（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，
由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）．
則，得，不符合題設(shè)，
從而可設(shè)l：（）．
將代入得，
由題設(shè)可知．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=，x1x2=．
而．
由題設(shè)，
故，
即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
于是l：，即，
所以l過定點(diǎn)（2，）．
【名師點(diǎn)睛】橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況．另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)．

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