（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.
（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.
一、基本事件
在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果叫做基本事件.
基本事件有如下特點(diǎn)：
（1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的.
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
二、古典概型的概念及特點(diǎn)
把具有特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.
三、古典概型的概率計(jì)算公式
.
四、必記結(jié)論
（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．
（2）在計(jì)算古典概型中基本事件數(shù)和事件發(fā)生數(shù)時(shí)，易忽視它們是否是等可能的．
考向一 古典概型的概率求解
1.求古典概型的基本步驟：
(1)算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.
(3)代入公式，求出P(A)．
2.求解古典概型的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件.
基本事件的表示方法有列舉法、列表法、樹狀圖法和計(jì)數(shù)原理法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.
3.對(duì)于求較復(fù)雜事件的古典概型的概率問題，可以將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求對(duì)立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕?
4.解決與古典概型交匯命題的問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.
典例1 一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閺募现腥〕鋈齻€(gè)不相同的數(shù)共有個(gè),
由題意知,凸數(shù)有132,231,143,341,243,342,342,243，共8個(gè),
所以這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為.選B．
典例2 某校高一、高二、高三分別有400人、350人、350人.為調(diào)査該校學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本.已知從高一的同學(xué)中抽取8人.
(1)求樣本容量的值和從高二抽取的人數(shù)；
(2)若從高二抽取的同學(xué)中選出2人參加某活動(dòng),已知高二被抽取的同學(xué)中有2名女生,求至少有1名女同學(xué)被選中的概率.
【解析】(1)由題意可得,解得,
從高二抽取人.
(2)由(1)知,從高二抽取7人,
其中2位女生記為,5位男生記為,
則從這7位同學(xué)中任選2人,不同的結(jié)果有,,,,,，共21種.
從這7位同學(xué)中任選2人,有女生的有:,共 11 種,
故至少有1名女同學(xué)被選中的概率為.
1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，，則滿足的概率為
A．B．
C．D．
2．智能手機(jī)的出現(xiàn)，改變了我們的生活，同時(shí)也占用了我們大量的學(xué)習(xí)時(shí)間.某市教育機(jī)構(gòu)從名手機(jī)使用者中隨機(jī)抽取名，得到每天使用手機(jī)時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖(如圖所示)，其分組是： ，.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是多少分鐘? (精確到整數(shù))
（2）估計(jì)手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)多少分鐘? (同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)
（3）在抽取的名手機(jī)使用者中在和中按比例分別抽取人和人組成研究小組，然后再?gòu)难芯啃〗M中選出名組長(zhǎng)，求這名組長(zhǎng)分別選自和的概率是多少？
考向二 用隨機(jī)模擬估計(jì)概率
用隨機(jī)模擬估計(jì)概率的關(guān)鍵是用相應(yīng)的整數(shù)表示試驗(yàn)的結(jié)果，然后按實(shí)際需要將所得的隨機(jī)數(shù)分為若干個(gè)一組（比如試驗(yàn)要求隨機(jī)抽取三個(gè)球就三個(gè)數(shù)據(jù)一組），明晰所求事件的特點(diǎn)后去找符合要求的數(shù)據(jù)組，即可求解概率.
典例3 袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“美、麗、中、國(guó)”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“國(guó)”兩個(gè)字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“中、國(guó)、美、麗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止的概率為
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)殡S機(jī)模擬產(chǎn)生18組隨機(jī)數(shù)，
由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知，恰好第三次就停止的有：
，，，，共4個(gè)基本事件，
根據(jù)古典概型的概率公式可得，
恰好第三次就停止的概率為，故選C．
3．若采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊擊中目標(biāo)的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù):
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．
1．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個(gè)小組的概率為
A． B．
C． D．
2．現(xiàn)有2個(gè)正方體,3個(gè)三棱柱,4個(gè)球和1個(gè)圓臺(tái),從中任取一個(gè)幾何體,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為
A． B．
C． D．
3．從2017年到2019年的3年高考中，針對(duì)地區(qū)差異，理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷每年都命了套卷，即：全國(guó)I卷，全國(guó)II卷，全國(guó)III卷.小明同學(xué)馬上進(jìn)入高三了，打算從這套題中選出套體驗(yàn)一下，則選出的3套題年份和編號(hào)都各不相同的概率為
A．B．
C．D．
4．袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫有“和”、“諧”、“校”、“園”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“和”、“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用，，，代表“和”、“諧”、“校”、“園”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下組隨機(jī)數(shù)：
由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為
A．B．
C．D．
5．某商場(chǎng)對(duì)某一商品搞活動(dòng),已知該商品的進(jìn)價(jià)為3元/個(gè),售價(jià)為8元/個(gè),每天銷售的第20個(gè)及之后的商品按半價(jià)出售,該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷售量,如圖所示,則從這10天中隨機(jī)抽取一天,其日利潤(rùn)不少于96元的概率為
A．B．
C．D．
6．如圖所示的圖形中，每個(gè)三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字之和為，則稱該圖形是“和諧圖形”.已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為，現(xiàn)從、、、、中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為
A．B．
C．D．
7．運(yùn)行如圖所示的程序框圖,設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為,從集合中任取一個(gè)元素,則函數(shù)是增函數(shù)的概率為
A． B．
C． D．
8．在某學(xué)校圖書館的書架上隨意放著編號(hào)為1，2，3，4，5的五本書，若某同學(xué)從中任意選出2本書，則選出的2本書編號(hào)相連的概率為___________.
9．某單位要在5名工人中安排2名分別到兩地出差(每人被安排是等可能的),則甲、乙兩人中恰巧有一人被安排的概率為___________.
10．已知集合A={-2,3,5,7},從A中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b,作為復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部.則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為___________.
11．某中學(xué)有一調(diào)查小組為了解假期期間本校學(xué)生白天在家的時(shí)間情況,從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計(jì)他們平均每天在家的時(shí)間(在家時(shí)間超過4小時(shí)的就認(rèn)為具有“宅”屬性,否則就認(rèn)為不具有“宅”屬性).
采用分層抽樣的方法從具有“宅”屬性的學(xué)生中抽取一個(gè)6人的樣本,若從這6人中隨機(jī)選取3人做進(jìn)一步的調(diào)查,則選取的3人中至少有1名女生的概率為___________.
12．有編號(hào)為A1,A2,?,A10的10個(gè)零件,測(cè)量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):
其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品.
(1)從上述10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率;
(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個(gè).
(i)用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)求這個(gè)零件直徑相等的概率.
13．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)方法是:從裝有2個(gè)紅球A1,A2 和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1,a2 和2個(gè)白球b1,b2 的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng),否則不中獎(jiǎng).
(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果;
(2)有人認(rèn)為:兩個(gè)箱子中的紅球比白球多,所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率,你認(rèn)為這種說法正確嗎?請(qǐng)說明理由.
14．某科研單位積極推進(jìn)科學(xué)創(chuàng)新，在解決某一技術(shù)難題的過程中，需要組建在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和系統(tǒng)程序兩方面強(qiáng)的人才小隊(duì)，相關(guān)研究小組所有人員分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和系統(tǒng)程序兩項(xiàng)綜合考核，構(gòu)成的頻率分布直方圖如圖所示，單項(xiàng)綜合成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的評(píng)為“優(yōu)A”，且結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)綜合成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的人員有10人.
(1)求系統(tǒng)程序綜合成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”的人數(shù);
(2)在兩項(xiàng)綜合考核中,恰有2人的兩項(xiàng)綜合考核成績(jī)均為“優(yōu)A”,在至少一項(xiàng)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”的人員中,隨機(jī)抽取2人進(jìn)行組隊(duì)(項(xiàng)目負(fù)責(zé)人),求這2人的兩項(xiàng)綜合成績(jī)均為“優(yōu)A”的概率.
15．某校團(tuán)委會(huì)組織某班以小組為單位利用周末時(shí)間進(jìn)行一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組有5名同學(xué)，在活動(dòng)結(jié)束后，學(xué)校團(tuán)委會(huì)對(duì)該班的所有同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試，該班的A，B兩個(gè)小組所有同學(xué)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高一分．
（1）若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過86分的概率；
（2）現(xiàn)從A、B兩組學(xué)生中分別隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m、n，求的概率．
16．某種零件的質(zhì)量指標(biāo)值以分?jǐn)?shù)(滿分100分)衡量，并根據(jù)分?jǐn)?shù)的高低劃分三個(gè)等級(jí)，如下表：
為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員隨機(jī)抽取了100件零件，進(jìn)行質(zhì)量指標(biāo)值檢查，將檢查結(jié)果進(jìn)行整理得到如下的頻率分布直方圖：
(1)若該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值要求為:
第一條:生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格和優(yōu)秀的零件至少要占全部零件的75％；
第二條:生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值平均分不低于95分；
如果同時(shí)滿足以上兩條就認(rèn)定生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格，否則為不合格，請(qǐng)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值是否合格?
(2)在樣本中，按質(zhì)量指標(biāo)值的等級(jí)用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)值不合格和優(yōu)秀的零件中抽取5件，再?gòu)倪@5件中隨機(jī)抽取2件，求這兩件的質(zhì)量指標(biāo)值恰好一個(gè)不合格一個(gè)優(yōu)秀的概率.
17．甲，乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分：指標(biāo)大于或等于100為優(yōu)品，大于等于90且小于100為合格品，小于90為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩臺(tái)車床生產(chǎn)的零件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
（1）試分別估計(jì)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率；
（2）甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件，若是優(yōu)品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品則虧損20元.假設(shè)甲機(jī)床某天生產(chǎn)50件零件，請(qǐng)估計(jì)甲機(jī)床該天的日利潤(rùn)（單位：元）；
（3）從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件指標(biāo)在90,95內(nèi)的零件中，采用分層抽樣的方法抽取5件，從這5件中任選2件進(jìn)行質(zhì)量分析，求這2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的概率.
18．2020年將在日本東京舉辦第屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，簡(jiǎn)稱為“奧運(yùn)會(huì)”，為了解不同年齡的人對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”的關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在歲之間的人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，“年輕人”與“中老年人”的人數(shù)之比為.
(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為是否關(guān)注“奧運(yùn)會(huì)”與年齡段有關(guān)；
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中老年人中選取人進(jìn)行問卷調(diào)查.若再?gòu)倪@人中選取人進(jìn)行面對(duì)面詢問，求事件“選取的人中至少有人關(guān)注奧運(yùn)會(huì)”的概率.
附參考公式:，其中
臨界值表:
1．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是
A．B．
C．D．
2．（2017山東理科）從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是
A． B．
C． D．
3．（2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為______________．
4．（2018江蘇）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為 ▲ ．
變式拓展
1．【答案】B
【解析】先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，，易知基本事件的總數(shù)為36，
由，有，得或，
則滿足條件的為，，，，，，，，，共9個(gè)，
故所求概率為．
故選B．
2．【解析】（1）設(shè)中位數(shù)為，則，
解得：（分鐘）.
這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是分鐘.
（2）平均每天使用手機(jī)時(shí)間為：（分鐘），
即手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)時(shí)間為分鐘.
（3）設(shè)在內(nèi)抽取的兩人分別為，在內(nèi)抽取的三人分別為，
則從五人中選出兩人共有以下種情況：
，
2名組長(zhǎng)分別選自和的共有以下種情況：，
所求概率.
3．【答案】
【解析】由隨機(jī)數(shù)表可知,共有20個(gè)隨機(jī)事件,
其中該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7個(gè)隨機(jī)事件,
因此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為.
專題沖關(guān)
1．【答案】A
【解析】甲、乙兩人參加三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組共包含個(gè)基本事件,
其中兩人參加同一個(gè)小組包含個(gè)基本事件,
則所求概率為.故選A．
2．【答案】C
【解析】共有10個(gè)幾何體,其中旋轉(zhuǎn)體有5個(gè),所以從中任取一個(gè)幾何體,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為.
3．【答案】D
【解析】通過題意，可知從這套題中選出套試卷共有種可能，而3套題年份和編號(hào)都各不相同共有種可能，于是所求概率為.選D．
4．【答案】B
【解析】隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
其中第三次就停止摸球的隨機(jī)數(shù)有：142，112，241，142，共4個(gè)，
由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為P．
故選B．
5．【答案】A
【解析】由題意得當(dāng)日銷售量不少于20個(gè)時(shí),日利潤(rùn)不少于96元，其中當(dāng)日銷售量為20個(gè)時(shí),日利潤(rùn)為96元,當(dāng)日銷售量為21個(gè)時(shí),日利潤(rùn)為97元.
從條形統(tǒng)計(jì)圖可以看出,日銷售量為20個(gè)的有3天,日銷售量為21個(gè)的有2天,
故從這10天中隨機(jī)抽取一天,其日利潤(rùn)不少于96元的概率為.
6．【答案】B
【解析】由題意可知，若該圖形為“和諧圖形”，
則另外兩個(gè)三角形上的數(shù)字之和恰為.
從、、、、中任取兩個(gè)數(shù)字的所有情況有、、、、、、、、、，共種，
而其中數(shù)字之和為的情況有、，共種，
因此，該圖形為“和諧圖形”的概率為，
故選B．
7．【答案】C
【解析】該程序的運(yùn)行過程如下:x=-3,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出y=15,程序結(jié)束,
故A={3,0,-1,8,15},
其中有3個(gè)元素可使得函數(shù)是增函數(shù),
故所求概率為.
8．【答案】
【解析】從五本書中任意選出2本書的所有可能情況為，共10種，
滿足2本書編號(hào)相連的所有可能情況為，共4種，
故選出的2本書編號(hào)相連的概率為.
9．【答案】
【解析】記5名工人中除甲、乙兩人以外的工人為a,b,c,則從5名工人中隨機(jī)選2名的情況如下:(甲,乙),(甲,a),(甲,b),(甲,c),(乙,a),(乙,b),(乙,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10種,
其中“甲、乙兩人中恰巧有一人被安排”包含的基本事件有6種,
故所求的概率為.
10．【答案】
【解析】從集合A={-2,3,5,7}中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b,
組成復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12種，
其中位于第一象限的點(diǎn)有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6種.
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為P=.故填.
11．【答案】
【解析】記事件M為“選取的3人中至少有1名女生”,則事件為“選取的3人都是男生”.
采用分層抽樣的方法從具有“宅”屬性的學(xué)生中抽取一個(gè)6人的樣本,其中男生有4人,編號(hào)分別為a,b,c,d,女生有2人,編號(hào)分別為A,B．
從6人中隨機(jī)選取3人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},
{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共20個(gè).
事件所含的基本事件分別為{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4個(gè),
所以事件的概率為P()=,
所以事件M的概率為P(M)=1-P()=1-.
12．【解析】(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個(gè).
設(shè)“從10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A,則.
(2) (i)一等品零件的編號(hào)為A1,A2,A3,A4,A5,A6,從這6個(gè)一等品零件隨機(jī)抽取2個(gè),所有可能的結(jié)果有:
{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15種.
(ii)“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:
{A1,A4},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},{A4,A6},共有6種.
所以.
13．【解析】(1)所有可能的摸出結(jié)果是:{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2 },{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2 },{B,a1},
{B,a2},{B,b1},{B,b2 }.
(2)不正確.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出結(jié)果共12種,
其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為{A1,a1},{A1,a2},{A2,a2},{A2,a1},共4種,
所以中獎(jiǎng)的概率為,
不中獎(jiǎng)的概率為,
故這種說法不正確.
14．【解析】(1)該單位相關(guān)研究小組所有人員的人數(shù)為10÷0.25=40.
則系統(tǒng)程序綜合成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”的人數(shù)為40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3.
(2)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)程序綜合成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”的各有3人,其中有2人的兩項(xiàng)綜合成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”,所以還有2人只有一項(xiàng)綜合成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”.
設(shè)這4人為甲、乙、丙、丁,其中甲、乙的兩項(xiàng)綜合成績(jī)均為“優(yōu)A”,則在至少一項(xiàng)綜合成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)A”的人員中,隨機(jī)抽取2人進(jìn)行組隊(duì)(項(xiàng)目負(fù)責(zé)人),其基本事件為{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁}, {丙,丁},共6個(gè),
設(shè)“隨機(jī)抽取2人,這2人的兩項(xiàng)綜合成績(jī)均為‘優(yōu)A’”為事件M,
則事件M包含的基本事件為{甲,乙},共1個(gè),
故P(M)=.
15．【解析】（1）A組學(xué)生的平均分為，所以B組學(xué)生的平均分為86分.
設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為，則，解得.
所以B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，其中有3人分?jǐn)?shù)超過86分，
在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，其得分超過86分的概率為.
（2）A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94、80、86、88、77，B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，
在A、B兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件（m，n），有
（94,91），（94,93），（94,83），（94,88），（94,75），
（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），
（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），
（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），
（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25個(gè)，
隨機(jī)各抽取1名學(xué)生的分?jǐn)?shù)，滿足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10個(gè)，
∴的概率為.
16．【解析】(1)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格和優(yōu)秀的零件所占比例的估計(jì)值為:
(0.100+0.150+0.125+0.025)×2=0.80,
因?yàn)?.80＞0.75，所以滿足生產(chǎn)線質(zhì)量指標(biāo)值要求的第一條;
生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值平均分約為:
(89×0.025+91×0.075+93×0.100+95×0.150+97×0.125+99×0.025)×2=94.4,
因?yàn)?4.4＜95，所以不滿足生產(chǎn)線質(zhì)量指標(biāo)值要求的第二條.
綜上，可以判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值是不合格的.
(2)由頻率分布直方圖可知，不合格、優(yōu)秀的頻率分別為0.2，0.3，
故在樣本中用分層抽樣方法從質(zhì)量指標(biāo)值不合格和優(yōu)秀的零件中抽取5件零件，質(zhì)量指標(biāo)值不合格的有2件，設(shè)為甲、乙，優(yōu)秀的有3件，設(shè)為A，B，C，
從這5件零件中隨機(jī)抽取2件，有:
甲乙，甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，AB，AC，BC，共10種，
其中恰好一個(gè)不合格一個(gè)優(yōu)秀的有:甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，共6種，
所以這兩件的質(zhì)量指標(biāo)值恰好一個(gè)不合格一個(gè)優(yōu)秀的概率為P＝.
17．【解析】（1）因?yàn)榧讬C(jī)床為優(yōu)品的頻率為，
乙機(jī)床為優(yōu)品的頻率為，
所以估計(jì)甲、乙兩機(jī)床為優(yōu)品的概率分別為.
（2）甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的平均利潤(rùn)為元，
所以估計(jì)甲機(jī)床每生產(chǎn)一件零件的利潤(rùn)為114.4元,
所以甲機(jī)床某天生產(chǎn)50件零件的利潤(rùn)為元.
（3）由題意知，甲機(jī)床應(yīng)抽取，乙機(jī)床應(yīng)抽取，
記甲機(jī)床的2個(gè)零件為，乙機(jī)床的3個(gè)零件為，
若從5件中選取2件，有，共10種取法，
這2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的共有3種，分別為，
所以，這2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的概率.
18．【解析】(1)年輕人共有人，中老年人共有人.
所以.
故有的把握認(rèn)為是否關(guān)注“奧運(yùn)會(huì)”與年齡段有關(guān).
(2)抽取的位中老年人中有人不關(guān)注，記為人關(guān)注，記為，
設(shè)“選取的人中至少有人關(guān)注奧運(yùn)會(huì)”為事件.
從送人中選人的選法有 共種.
其中選取的人中至少有人關(guān)注奧運(yùn)會(huì)有：
共種情況，
故.
直通高考
1．【答案】C
【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，
隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C102=45種方法，
因?yàn)?+23=11+19=13+17=30，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，
故所求概率為，選C.
【名師點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.
2．【答案】C
【解析】標(biāo)有的張卡片中，標(biāo)奇數(shù)的有張，標(biāo)偶數(shù)的有張，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是,選C．
【名師點(diǎn)睛】概率問題的考查，側(cè)重于對(duì)古典概型和對(duì)立事件的概率考查，屬于簡(jiǎn)單題.
3．【答案】
【分析】本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．
【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．
4．【答案】
【解析】從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，
其中恰好選中2名女生的方法有3種，
因此所求概率為.
具有“宅”屬性
不具有“宅”屬性
男生
20
50
女生
10
40
編號(hào)
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直徑
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
測(cè)試指標(biāo)
85,90
90,95
95,100
100,105
105,110
機(jī)床甲
8
12
40
32
8
機(jī)床乙
7
18
40
29
6
關(guān)注
不關(guān)注
合計(jì)
年輕人
中老年人
合計(jì)
關(guān)注
不關(guān)注
合計(jì)
年輕人
中老年人
合計(jì)

相關(guān)學(xué)案

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)36 圓的方程（附解析）：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)36 圓的方程（附解析），共21頁。學(xué)案主要包含了圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，必記結(jié)論等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)38 橢圓（附解析）：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)38 橢圓（附解析），共35頁。學(xué)案主要包含了橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的圖形及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，必記結(jié)論等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)39 雙曲線（附解析）：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)39 雙曲線（附解析），共36頁。學(xué)案主要包含了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)40 拋物線（附解析）

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)40 拋物線（附解析）
備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)48 排列與組合（附解析）

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)48 排列與組合（附解析）
備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)55 正態(tài)分布（附解析）

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)55 正態(tài)分布（附解析）
備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)56 算法初步（附解析）

備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過學(xué)案考點(diǎn)56 算法初步（附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部