備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學考點一遍過學案考點54 二項分布及其應(yīng)用（附解析）

這是一份備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學考點一遍過學案考點54 二項分布及其應(yīng)用（附解析），共46頁。學案主要包含了條件概率與相互獨立事件的概率，獨立重復(fù)試驗與二項分布等內(nèi)容，歡迎下載使用。
了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.
一、條件概率與相互獨立事件的概率
1．條件概率及其性質(zhì)
（1）對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為()．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則(n(AB)表示A，B共同發(fā)生的基本事件的個數(shù))．
（2）條件概率具有的性質(zhì)
①；
②如果B和C是兩個互斥事件，則.
2．相互獨立事件
（1）對于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A，B是相互獨立事件．
（2）若A與B相互獨立，則．
（3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．
（4）若，則A與B相互獨立．
【注】①中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；
②都發(fā)生的事件為AB；
③都不發(fā)生的事件為；
④恰有一個發(fā)生的事件為；
⑤至多有一個發(fā)生的事件為.
二、獨立重復(fù)試驗與二項分布
1．獨立重復(fù)試驗
在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗．
若表示第i次試驗結(jié)果，則.
【注】獨立重復(fù)試驗是各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中各事件發(fā)生的概率都是一樣的．
2．二項分布
在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.
在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為．
考向一 條件概率
條件概率的兩種解法：
(1)定義法：先求和，再由求．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)，再求事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件數(shù)，得.
典例1 從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：，，
由條件概率公式，得，故選B．
解法二：∵，n(AB)=1，∴P(B|A)=，故選B．
1．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數(shù)，事件：取到兩數(shù)之和為偶數(shù)，事件：取到兩數(shù)均為偶數(shù)，則
A．B．
C．D．
考向二 相互獨立事件的概率
求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
典例2 已知A學校有15個數(shù)學老師，其中9個男老師，6個女老師，B學校有10個數(shù)學老師，其中3個男老師，7個女老師，為了實現(xiàn)師資均衡，現(xiàn)從A學校任意抽取一個數(shù)學老師到B學校，然后從B學校任意抽取一個數(shù)學老師到縣里上公開課，則兩次都抽到男老師的的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A學校任意抽取一個數(shù)學老師到B學校，抽到男老師的的概率是，
然后從B學校任意抽取一個老師，抽到男老師的的概率是，
則兩個事件同時發(fā)生的概率是.故選B.
典例3 在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是，甲、乙兩人都回答錯誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.設(shè)每人回答問題正確與否相互獨立.
（1）求乙答對這道題的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率.
【解析】（1）記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件,
設(shè)乙答對這道題的概率，
由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此是相互獨立事件.
由題意，并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，
得，
解得，
所以，乙答對這道題的概率為.
（2）設(shè)“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”為事件,丙答對這道題的概率.
由（1），并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，
得,
解得
則甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為
因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”是對立事件，
所以，所求事件的概率為
2．“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”，這是我們常說的口頭禪，主要是說集體智慧的強大.假設(shè)李某智商較高，他獨自一人解決項目的概率為；同時，有個水平相同的人也在研究項目，他們各自獨立的解決項目的概率都是0.5.現(xiàn)在李某單獨研究項目，且這個人組成的團隊也同時研究項目，且這個人研究項目的結(jié)果相互獨立.設(shè)這個人團隊解決項目的概率為，若，則的最小值是__________.
3．改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月對甲、乙兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人作為樣本，發(fā)現(xiàn)樣本中甲、乙兩種支付方式都不使用的有10人，樣本中僅使用甲種支付方式和僅使用乙種支付方式的學生的支付金額分布情況如下：
（1）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月甲、乙兩種支付方式都使用的概率；
（2）從樣本中僅使用甲種支付方式和僅使用乙種支付方式的學生中各隨機抽取1人，以表示這2人中上個月支付金額大于500元的人數(shù)，用頻率近似代替概率，求的分布列和數(shù)學期望.
考向三 獨立重復(fù)試驗與二項分布
獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略：
(1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率即可．
(2)根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率．
典例4 設(shè)隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)=eq \f(5,9)，則P(η≥2)的值為
A．eq \f(32,81) B．eq \f(11,27)
C．eq \f(65,81) D．eq \f(16,81)
【答案】B
【解析】由P(ξ≥1)=eq \f(5,9)，得，即9p2?18p＋5=0，解得p=eq \f(1,3)或p=eq \f(5,3)(舍去)，
∴.
典例5 2018年9月16日下午5時左右，今年第22號臺風“山竹”在廣東江門川島鎮(zhèn)附近正面登陸，給當?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失，某記者調(diào)查了當?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）.
（1）臺風后居委會號召小區(qū)居民為臺風重災(zāi)區(qū)捐款，記者調(diào)查的100戶居民的捐款情況如下表格，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過4000元的戶數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求ξ的分布列，期望E(ξ)和方差D(ξ).

圖1 圖2
參考公式：，其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù)：
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100戶居民中，經(jīng)濟損失不超過4000元的有0.7×100=70（戶），則經(jīng)濟損失超過4000元的有100-70=30（戶），
補充表格如下：
計算得，
由于4.762>3.841，
所以有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)．
（2）由頻率分布直方圖可知抽到經(jīng)濟損失超過4000元的頻率為0.3，將頻率視為概率.
由題意知的取值可能為，，
；
；
；
，
從而ξ的分布列為
則E(ξ)=np=3×310=0.9，
D(ξ)=np(1-p)=3×310×710=0.63.
4．從裝有除顏色外，其他完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則
A．B．
C．D．
5．高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.
（1）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？
（2）一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.
1．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲5次，記正面向上的次數(shù)為X，則
A．X～B(5,1) B．X～B(0.5,5)
C．X～B(2,0.5) D．X～B(5,0.5)
2．已知隨機變量服從二項分布，則等于
A． B．
C． D．
3．某射擊選手每次射擊擊中目標的概率是0.8，這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為
A．B．
C．D．
4．設(shè)同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次.記事件{第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)}；事件{第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)}；{兩個四面體向下的一面或者同時出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時出現(xiàn)偶數(shù)}.給出下列結(jié)論:①；②；③，其中正確的結(jié)論個數(shù)為
A．0B．1
C．2D．3
5．同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是
A．B．
C．D．
6．設(shè)隨機變量服從二項分布，且期望，，則方差等于
A． B．
C． D．
7．設(shè)隨機變量，若，則
A．B．
C．D．
8．集裝箱有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是
A． B．
C． D．
9．袋中有大小完全相同的2個紅球和2個黑球，不放回地依次摸出兩球，設(shè)“第一次摸得黑球”為事件，“摸得的兩球不同色”為事件，則概率為
A．B．
C．D．
10．在4次獨立重復(fù)試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不小于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率P的范圍是
A．0,0.6 B．0.6,1
C．0.4,1 D．0,0.4
11．設(shè)隨機變量X服從二項分布，則函數(shù)存在零點的概率是
A． B．
C． D．
12．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為
A． B．
C． D．
13．一個盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個球，其中黃球5個，藍球4個，綠球3個.現(xiàn)從盒子中隨機取出兩個球，記事件A為“取出的兩個球顏色不同”，事件B為“取出一個黃球，一個綠球”，則P(B|A)=
A． B．
C． D．
14．某學校對高三學生進行體能測試,若每名學生測試達標的概率都是(相互獨立),經(jīng)計算,5名學生中恰有k名學生同時達標的概率是,則k的值為
A．2 B．3
C．4 D．3或4
15．甲、乙、丙三位學生用計算機聯(lián)網(wǎng)學習數(shù)學，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為，乙及格的概率為，丙及格的概率為，三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為
A． B．
C． D．以上都不對
16．如圖所示，在邊長為1的正方形內(nèi)任取一點，用表示事件“點恰好取自由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，表示事件“點恰好取自陰影部分內(nèi)”，則等于
A． B．
C． D．
17．為了響應(yīng)國家發(fā)展足球的戰(zhàn)略，某校在秋季運動會中，安排了足球射門比賽.現(xiàn)有10名同學參加足球射門比賽，已知每名同學踢進的概率均為0.6，每名同學有2次射門機會，且各同學射門之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：踢進兩個得10分，踢進一個得5分，一個未進得0分，記X為10個同學的得分總和，則X的數(shù)學期望為
A．30 B．40
C．60 D．80
18．隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)購早已融入人們的日常生活.網(wǎng)購的蘋果在運輸過程中容易出現(xiàn)碰傷，假設(shè)在運輸中每箱蘋果出現(xiàn)碰傷的概率為0.7，每箱蘋果在運輸中互不影響，則網(wǎng)購2箱蘋果恰有1箱在運輸中出現(xiàn)碰傷的概率為_________.
19．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學競賽（每人被選中的機會均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是__________．
20．如圖所示的電路有，，三個開關(guān)，每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為___________．
21．設(shè)隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥1)＝__________．
22．學生李明上學要經(jīng)過個路口,前三個路口遇到紅燈的概率均為,第四個路口遇到紅燈的概率為,設(shè)在各個路口是否遇到紅燈互不影響,則李明從家到學校恰好遇到一次紅燈的概率為__________．
23．2019年高考剛過，為了解考生對全國2卷數(shù)學試卷難度的評價，隨機抽取了某學校50名男考生與50名女考生，得到下面的列聯(lián)表：
（1）分別估計該學校男考生、女考生覺得全國2卷數(shù)學試卷非常困難的概率；
（2）從該學校隨機抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生覺得全國2卷數(shù)學試卷非常困難的概率.
24．某省數(shù)學學會為選拔一批學生代表該省參加全國高中數(shù)學聯(lián)賽，在省內(nèi)組織了一次預(yù)選賽，該省各校學生均可報名參加.現(xiàn)從所有參賽學生中隨機抽取人的成績進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)這名學生中本次預(yù)選賽成績優(yōu)秀的男、女生人數(shù)之比為，成績一般的男、女生人數(shù)之比為.已知從這名學生中隨機抽取一名學生，抽到男生的概率是
（1）請將下表補充完整，并判斷是否有的把握認為在本次預(yù)選賽中學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？
（2）以樣本估計總體，視樣本頻率為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，從所有本次預(yù)選賽成績優(yōu)秀的學生中隨機抽取人代表該省參加全國聯(lián)賽，記抽到的女生人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
參考公式：，其中.
臨界值表供參考：
25．互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.
（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；
（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折. 已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.
26．某進修學校為全市教師提供心理學和計算機兩個項目的培訓(xùn)，以促進教師的專業(yè)發(fā)展，每位教師可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)．已知全市教師中，有選擇心理學培訓(xùn)，有選擇計算機培訓(xùn)，每位教師對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．
（1）任選名教師，求該教師只選擇參加一項培訓(xùn)的概率；
（2）任選名教師，記為名教師中選擇不參加培訓(xùn)的人數(shù)，求隨機變量的分布列和期望．
27．為調(diào)查某小區(qū)居民的“幸福度”，現(xiàn)從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉），若幸福度分數(shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸?！?
（1）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸?！钡母怕?；
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個小區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該小區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“幸福”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望和方差.
28．某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗．
（1）求圖中a的值；
（2）根據(jù)已知條件完成下面2?2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？
（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取3人進行約談，記這3人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望E(X)．
(參考公式：，其中n=a+b+c+d)
29．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：
（1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
（2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．
30．甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是，乙猜對歌名的概率是，丙猜對歌名的概率是，甲、乙、丙猜對與否互不影響．
（1）求該小組未能進入第二輪的概率；
（2）記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．
31．統(tǒng)計全國高三學生的視力情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻率成等比數(shù)列，后6組的頻率成等差數(shù)列.
（1）求出視力在[4.7，4.8)的頻率；
（2）現(xiàn)從全國的高三學生中隨機地抽取4人，用表示視力在[4.3，4.7)的學生人數(shù)，寫出的分布列，并求出的期望與方差.
32．某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果．某采購商從采購的一批水果中隨機抽取個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）若將頻率是為概率，從這個水果中有放回地隨機抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率；（結(jié)果用分數(shù)表示）
（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考，
方案：不分類賣出，單價為元．
方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：
從采購單的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？
（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機抽取個，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學期望．
1．(2018新課標全國Ⅲ理科)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則
A．0.7B．0.6
C．0.4D．0.3
2．(2015新課標全國Ⅰ理科)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為
A．0.648 B．0.432
C．0.36D．0.312
3．（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是______________．
4．(2017新課標全國Ⅱ理科)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________．
5．(2016四川理科)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 .
6．(2015廣東理科)已知隨機變量X服從二項分布，若，則 .
7．（2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．
8．（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．
（1）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；
（2）設(shè)為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．
9．(2018新課標全國Ⅰ理科)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．
（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．
（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？
10．（2018北京理科）電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；
（Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．
11．（2016新課標全國Ⅱ理科）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：
（1）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；
（2）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；
（3）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.
12．（2016山東理科）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：
（1）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（2）“星隊”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學期望.
變式拓展
1．【答案】D
【解析】事件分為兩種情況：兩個均為奇數(shù)和兩個數(shù)均為偶數(shù)，
所以，，
由條件概率可得：，
故選D．
2．【答案】4
【解析】依題意，這個人組成的團隊不能解決項目的概率為，
所以，
所以，即，
解得，
故答案為4.
3．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用甲種支付方式的學生有人，僅使用乙種支付方式的學生有人，甲、乙兩種支付方式都不使用的學生有10人.
故樣本中甲、乙兩種支付方式都使用的學生有人，
所以從全校學生中隨機抽取1人，
該學生上個月甲、乙兩種支付方式都使用的概率估計為.
（2）的所有可能值為0,1,2.
記事件為“從樣本僅使用甲種支付方式的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于500元”，事件為“從樣本僅使用乙種支付方式的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于500元”，
由題設(shè)知，事件A，B相互獨立，
且，
所以，
，
，
所以的分布列為
故的數(shù)學期望.
4．【答案】B
【解析】由題意知，X～B（5，），
∴E(X)＝53，解得m＝2，
∴X～B（5，），
∴D（X）＝5（1）．
故選B．
5．【解析】（1）記“小球落入4號容器”為事件，
若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，
∴理論上，小球落入4號容器的概率.
（2）落入4號容器的小球個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列為：
∴.
專題沖關(guān)
1．【答案】D
【解析】將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)X～B(5,0.5).
故選D．
2．【答案】C
【解析】由二項分布可知PX=2，選C.
3．【答案】A
【解析】設(shè)為擊中目標的次數(shù)，則，從而這名射手在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為．選A．
4．【答案】C
【解析】由古典概型知：，則①正確；
，，則②正確；
事件與事件為互斥事件，，則③錯誤.
故選C.
5．【答案】A
【分析】先計算依次同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好出現(xiàn)2枚正面向上的概率，進而利用二項分布求數(shù)學期望即可．
【解析】∵一次同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好出現(xiàn)2枚正面向上的概率為，
∴，∴．故選A．
【名師點睛】求離散型隨機變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望．如果離散型隨機變量服從二項分布，也可以直接利用公式求數(shù)學期望．
6．【答案】C
【解析】由于二項分布的數(shù)學期望，
所以二項分布的方差，應(yīng)選C.
7．【答案】A
【解析】，，
即，所以，則，故選A.
8．【答案】B
【解析】獲獎的概率為，記獲獎的人數(shù)為ξ，則ξ~B(4，25)，所以4人中恰好有3人獲獎的概率為，故選B.
9．【答案】B
【解析】依題意，，，
則條件概率．故答案選B.
10．【答案】D
【解析】事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為P，
∵隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不小于其恰好發(fā)生2次的概率，
∴ C41P1-P3≥C42P21-P2，
解得P≤0.4，
即P的范圍是0,0.4.
故選D．
11．【答案】C
【解析】∵函數(shù)存在零點，
∵隨機變量服從二項分布，．
故選C．
12．【答案】B
【解析】由題意，甲獲得冠軍的概率為，
其中比賽進行了3局的概率為，
∴所求概率為 .故選B．
13．【答案】D
【解析】記事件為“取出的兩個球顏色不同”，事件為“取出一個黃球，一個綠球”，
則，
，
.故選D．
14．【答案】D
【解析】設(shè)表示這5名學生中達標的人數(shù),則,.
由已知,得,即,解得或.
故選D.
15．【答案】C
【解析】甲及格的概率為，乙及格的概率為，丙及格的概率為，
僅甲及格的概率為：；
僅乙及格的概率為：；
僅丙及格的概率為：，
則三人中只有一人及格的概率為：.
故選C．
16．【答案】A
【解析】根據(jù)題意，正方形的面積為1×1=1，而與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積為，
而陰影部分的面積為，
∴在正方形中任取一點，點取自陰影部分的概率為，∴，
，故選A．
17．【答案】C
【解析】由題意知每個學生的進球個數(shù)服從二項分布，即，其中n=2，p=0.6，所以由二項分布的數(shù)學期望公式可得每個學生進球個數(shù)的數(shù)學期望為，因此10個同學得分的數(shù)學期望是，應(yīng)選C.
18．【答案】0.42
【解析】題目可轉(zhuǎn)化為獨立重復(fù)試驗，即重復(fù)做2次試驗，每次事件發(fā)生的概率為0.7，
則恰有1次發(fā)生的概率為.
19．【答案】
【解析】男生甲被選中記作事件A，男生乙和女生丙至少一個被選中記作事件B，則，，由條件概率公式可得：.
20．【答案】
【解析】設(shè)“閉合”為事件，“閉合”為事件，“閉合”為事件，
則燈泡甲亮應(yīng)為事件，且，，之間彼此獨立，
因為，
所以．
21．【答案】
【解析】隨機變量服從，
，
解得，
，故答案為.
22．【答案】
【解析】分兩種情況求解：
①前三個路口恰有一次紅燈，且第四個路口為綠燈的概率為；
②前三個路口都是綠燈，第四個路口為紅燈的概率為．
由互斥事件的概率加法公式可得所求概率為．
23．【解析】（1）由題可知男考生覺得全國2卷數(shù)學試卷非常困難的概率為，
女考生覺得全國2卷數(shù)學試卷非常困難的概率為.
（2）由題設(shè)男考生、女考生覺得全國2卷數(shù)學試卷非常困難的人數(shù)分別為，，
，.
記事件“恰有4名考生覺得全國2卷數(shù)學試卷非常困難”，
，
則
.
24．【解析】（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)計算可得：
計算得，
故有的把握認為在本次預(yù)選賽中學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān).
（2）由題知，
故的分布列為：
則.
25．【解析】（1）設(shè)事件表示至少有1人的年齡低于45歲，
則.
（2）由題意知，以手機支付作為首選支付方式的概率為.
設(shè)表示銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)，則，
設(shè)表示銷售額，則，
所以銷售額的數(shù)學期望（元）.
26．【解析】任選名教師，記“該教師選擇心理學培訓(xùn)”為事件，
“該教師選擇計算機培訓(xùn)”為事件，
由題設(shè)知，事件與相互獨立，且，．
（1）任選名教師，該教師只選擇參加一項培訓(xùn)的概率是
．
（2）任選名教師，該教師選擇不參加培訓(xùn)的概率是
．
因為每名教師的選擇是相互獨立的，
所以名教師中選擇不參加培訓(xùn)的人數(shù)服從二項分布，
且，，，，，
即的分布列是
所以， 的期望是．
（或的期望是．）
27．【解析】（1）由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人，其他的有4人，
記從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”為事件，
由題意得.
（2）由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，的可能取值為0,1,2,3,
顯然，
則；；
；，
所以的分布列為
則，
.
28．【解析】（1）由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，
可知(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1，解得a=0.005；
（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25，
所以晉級成功的人數(shù)為100×0.25=25，填表如下：
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算可得，
所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；
（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75，
將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，
這人晉級失敗的概率為，所以X可視為服從二項分布，即，
，
故，，
，，
所以X的分布列為
數(shù)學期望為，或
29．【解析】（1）設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，
由題設(shè)知，，
因為利潤=產(chǎn)量×市場價格?成本，所以X所有可能的取值情況為：
，.
則，
，
，
所以X的分布列為
（2）設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”()，
由題意知相互獨立，
由（1）知，，
則3季的利潤均不少于2000元的概率為；
3季中有2季的利潤不少于2000元的概率為
，
所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為.
30．【解析】分別將甲、乙、丙第次猜對歌名記為事件，，，則易知，，相互獨立.
（1）該小組未能進入第二輪的概率
.
（2）乙猜歌曲次數(shù)的可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
∴的分布列為
.
【思路點睛】（1）分別將甲、乙、丙第次猜對歌名記為事件，，，則，，相互獨立，由此可得出該小組未能進入第二輪的概率.
（2）利用相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出．
31．【解析】（1）前四組的頻率分別為：0.01，0.03，0.09，0.27，所以后六組數(shù)據(jù)的首項為0.27，后六組的頻率之和為，
設(shè)公差為，則有：，
所以，視力在[4.7，4.8)的頻率為.
（2）視力在[4.3，4.7)的頻率為：，則，即
，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列為：
，
.
【思路點睛】（1）結(jié)合頻率分布直方圖和題意，分別求出前4組的頻率以及后6組的頻率之和，由等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再算出視力在[4.7，4.8)內(nèi)的頻率；
（2）求出視力在[4.3，4.7)內(nèi)的頻率，學生人數(shù)服從二項分布，由二項分布的概率計算公式求出分布列，再算出期望與方差.
32．【分析】（1）計算出從個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果的概率；則可利用二項分布的概率公式求得所求概率；（2）計算出方案單價的數(shù)學期望，與方案的單價進行比較，選擇單價較低的方案；（3）根據(jù)分層抽樣原則確定抽取的個水果中，精品果個，非精品果個；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計算公式可得到每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；再利用數(shù)學期望的計算公式求得結(jié)果．
【解析】（1）設(shè)從個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果的事件為，則，
現(xiàn)有放回地隨機抽取個，設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為，則，
所以恰好抽到個禮品果的概率為，
（2）設(shè)方案的單價為，則單價的期望值為
，
因為，所以從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案．
（3）用分層抽樣的方法從個水果中抽取個，則其中精品果個，非精品果個，
現(xiàn)從中抽取個，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為，
則；；
；，
所以的分布列如下：
所以
【名師點睛】本題考查二項分布求解概率、數(shù)學期望的實際應(yīng)用、超幾何分布的分布列與數(shù)學期望的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽取方式確定隨機變量所服從的分布類型，從而可利用對應(yīng)的概率公式求解出概率．
直通高考
1．【答案】B
【解析】∵，∴或，，
，可知，故.
故選B.
2．【答案】A
【解析】根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得，該同學通過測試的概率為=0.648.
故選A.
3．【答案】
【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力及分類討論思想的考查．
【解析】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝的概率是
【名師點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準確計算．
4．【答案】
【解析】由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即，由二項分布的期望公式可得．
【名師點睛】判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：
①是否為n次獨立重復(fù)試驗，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均為p；
②隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率．
5．【答案】
【解析】由題意知，試驗成功的概率，故，.
6．【答案】
【解析】依題意可得且，解得.
7．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，
則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，
且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．
因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
8．【分析】本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分．
【解析】（1）因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．
所以，隨機變量的分布列為
隨機變量的數(shù)學期望．
（2）設(shè)乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，
則，且．
由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨立，
從而由（1）知
．
9．【解析】（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此
.
令，得.
當時，；當時，.
所以的最大值點為.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.
所以.
（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.
由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.
10．【解析】（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50．
故所求概率為．
（Ⅱ）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，
事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”．
故所求概率為P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由題意知：P（A）估計為0.25，P（B）估計為0.2．
故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
11．【解析】（1）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故
（2）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，
則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，
故
又，
故
因此所求概率為
（3）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為
因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為
【名師點睛】條件概率的求法：
(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求出P(B|A)；
(2)基本事件法：當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝.
求離散型隨機變量均值的步驟：
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；
(2)求X取每個值時的概率；
(3)寫出X的分布列；
(4)由均值定義求出EX．
12．【解析】（1）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，
記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，
記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.
由題意，
由事件的獨立性與互斥性，得


，
所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.
（2）由題意，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，6.
由事件的獨立性與互斥性，得
，
，
，
，
，
.
可得隨機變量的分布列為
所以數(shù)學期望.
【名師點睛】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好地考查考生的數(shù)學應(yīng)用意識、基本運算求解能力等.
支付金額（元）
支付方式
大于1000
僅使用甲
15人
8人
2人
僅使用乙
10人
9人
1人
PK2≥k
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
經(jīng)濟損失不超過4000元
經(jīng)濟損失超過4000元
合計
捐款超過500元
60
20
80
捐款不超過500元
10
10
20
合計
70
30
100
ξ
0
1
2
3
P
非常困難
一般
男考生
20
30
女考生
40
10
成績優(yōu)秀
成績一般
總計
男生
女生
總計
晉級成功
晉級失敗
合計
男
16
女
50
合計
P(K2≥k0)
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
作物產(chǎn)量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市場價格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
等級
標準果
優(yōu)質(zhì)果
精品果
禮品果
個數(shù)
10
30
40
20
等級
標準果
優(yōu)質(zhì)果
精品果
禮品果
售價(元/kg）
16
18
22
24
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
上年度出險次數(shù)
0
1
2
3
4
5
保 費
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
一年內(nèi)出險次數(shù)
0
1
2
3
4
5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
0
1
2
0.3
0.5
0.2
0
1
2
3
成績優(yōu)秀
成績一般
總計
男生
女生
總計
0
1
2
3
晉級成功
晉級失敗
合計
男
16
34
50
女
9
41
50
合計
25
75
100
X
0
1
2
3
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
6
P