（1）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.
（2）理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
（3）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.
一、離散型隨機(jī)變量的分布列
1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念
隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母，…表示．
離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)
（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的概念
設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個(gè)值 (i＝1，2，…，n)的概率，則下表稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列.
有時(shí)也用等式表示X的分布列．
（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必記結(jié)論
（1）隨機(jī)變量的線性關(guān)系
若X是隨機(jī)變量，，a，b是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．
（2）分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用
①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．
②隨機(jī)變量ξ所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．
二、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型
1．兩點(diǎn)分布
若隨機(jī)變量X的分布列為
稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，而稱(chēng)為成功概率．
2．超幾何分布
在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為，k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱(chēng)分布列
為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
3．必記結(jié)論
（1）兩點(diǎn)分布實(shí)際上是n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布．
（2）某指定范圍的概率等于本范圍內(nèi)所有隨機(jī)變量的概率和．
三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差
一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
（1）稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
（2）稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
2．均值與方差的性質(zhì)
若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，
且E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
D(aX＋b)＝a2D(X)．
考向一 離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用
分布列的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分布列的性質(zhì)上的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用：
（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；
（2）利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.
典例1 隨機(jī)變量X的分布列為
其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=,
所以P(|X|=1)=a+c=.
典例2 已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
其中n∈N*,則x的值為
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由分布列的性質(zhì),得++…++x=1,
即(1-)+(-)+…+(-)+x=1-+x=1,所以x=.
1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則常數(shù)C為
A．B．
C．或D．
2．已知隨機(jī)變量的分布列為
若，則的值為
A．B．
C．D．
考向二 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差
1．求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：
（1）理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；
（2）求X取每個(gè)值的概率；
（3）寫(xiě)出X的分布列.
2．（1）與排列、組合有關(guān)分布列的求法．可由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列．
（2）與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列．
（3）與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
（4）與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列．
3．求解離散型隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求即可.
典例3 某省電視臺(tái)舉行歌唱大賽,大賽依次設(shè)初賽,復(fù)賽,決賽三個(gè)輪次的比賽.已知某歌手通過(guò)初賽,復(fù)賽,決賽的概率分別為且各輪次通過(guò)與否相互獨(dú)立.記該歌手參賽的輪次為
(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)記“函數(shù)是偶函數(shù)”為事件,求發(fā)生的概率;
【解析】(1的可能取值為
,
.
則的分布列為
.
(2)因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以或
故=.
典例4 某高校進(jìn)行自主招生考試,有A、B、C 3個(gè)專(zhuān)業(yè)可供選報(bào),每名考生必須選報(bào)且只能報(bào)其中1個(gè)專(zhuān)業(yè),且選報(bào)每個(gè)專(zhuān)業(yè)的概率相等.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名同學(xué)決定參加該校的自主招生考試,且每名同學(xué)對(duì)專(zhuān)業(yè)的選報(bào)是相互獨(dú)立的.
(1)求甲、乙2名同學(xué)都選報(bào)A專(zhuān)業(yè)的概率;
(2)已知甲、乙2名同學(xué)沒(méi)有選報(bào)同一專(zhuān)業(yè),
(i)求這3個(gè)專(zhuān)業(yè)恰有1個(gè)專(zhuān)業(yè)沒(méi)人選報(bào)的概率;
(ii)這4名同學(xué)中選A專(zhuān)業(yè)的人數(shù)記為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
【解析】(1)每名同學(xué)的不同選報(bào)方法有3種,因而4名同學(xué)的不同選報(bào)方法總數(shù)為34,
記“甲、乙2名同學(xué)都選報(bào)A專(zhuān)業(yè)”為事件M,不同的選報(bào)方法數(shù)為32,
則所求概率為P(M)=.
(2)甲、乙2名同學(xué)沒(méi)有選報(bào)同一專(zhuān)業(yè),則不同的選報(bào)方法總數(shù)為×32=54.
(i)記“這3個(gè)專(zhuān)業(yè)恰有1個(gè)專(zhuān)業(yè)沒(méi)人選報(bào)”為事件N,其選報(bào)方法數(shù)為×22=24,
則所求概率為P(N)=.
(ii)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
因而ξ的分布列為
E(ξ)=0×+1×+2×+3×,
D(ξ)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×.
3．某“雙一流”大學(xué)專(zhuān)業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金是以所學(xué)專(zhuān)業(yè)各科考試成績(jī)作為評(píng)選依據(jù)，分為專(zhuān)業(yè)一等獎(jiǎng)學(xué)金（獎(jiǎng)金額元）、專(zhuān)業(yè)二等獎(jiǎng)學(xué)金（獎(jiǎng)金額元）及專(zhuān)業(yè)三等獎(jiǎng)學(xué)金（獎(jiǎng)金額元），且專(zhuān)業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金每個(gè)學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖（1）是統(tǒng)計(jì)了該校年名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間頻率分布直方圖，圖（2）是這名學(xué)生在年周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間段獲得專(zhuān)業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金的頻率柱狀圖.
（1）求這名學(xué)生中獲得專(zhuān)業(yè)三等獎(jiǎng)學(xué)金的人數(shù)；
（2）若周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)小時(shí)稱(chēng)為“努力型”學(xué)生，否則稱(chēng)為“非努力型”學(xué)生，列列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專(zhuān)業(yè)一、二等獎(jiǎng)學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)？
（3）若以頻率作為概率，從該校任選一名學(xué)生，記該學(xué)生2018年獲得的專(zhuān)業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金額為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和期望.
參考公式：，.
4．我市準(zhǔn)備實(shí)施天然氣價(jià)格階梯制，現(xiàn)提前調(diào)查市民對(duì)天然氣價(jià)格階梯制的態(tài)度，隨機(jī)抽查了名市民，現(xiàn)將調(diào)查情況整理成被調(diào)查者的頻率分布直方圖（如圖）和贊成者的頻數(shù)表如下：
（1）若從年齡在，的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查，求所選取的人中至少有人對(duì)天然氣價(jià)格階梯制持贊成態(tài)度的概率；
（2）若從年齡在，的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查，記選取的人中對(duì)天然氣價(jià)格實(shí)施階梯制持不贊成態(tài)度的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
考向三 超幾何分布
超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：
①考察對(duì)象分兩類(lèi)；
②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類(lèi)個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布．
超幾何分布是一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型，要熟記公式，正確運(yùn)用.
典例5 為參加全國(guó)第二屆“登峰杯”科技創(chuàng)新大賽,某市重點(diǎn)中學(xué)準(zhǔn)備舉辦一次選拔賽,共有60名高二學(xué)生報(bào)名參加,按照不同班級(jí)統(tǒng)計(jì)參賽人數(shù),如表所示:
(1)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人,求這2人在同一班級(jí)的概率;
(2)現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人作為代表,進(jìn)行大賽前的發(fā)言,設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】(1)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2名的基本事件總數(shù)為=1770,
且這2人在同一班級(jí)的基本事件個(gè)數(shù)為+++=445,
故所求概率P=.
(2)由題意得X的所有可能取值為0,1,2,
則P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
E(X)=0×+1×+2×.
典例6 為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友2017年的“雙十一”在某淘寶店的網(wǎng)購(gòu)情況,隨機(jī)抽查了該市60名網(wǎng)友當(dāng)天的網(wǎng)購(gòu)金額情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表:
網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2千元與不超過(guò)2千元的顧客的人數(shù)比恰為2∶3.
(1)求p,q的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);
(2)從網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2千元與不超過(guò)2千元的顧客中用分層抽樣的方法抽取15人,若需從這15人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,設(shè)ξ為選取的3人中網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2千元的人數(shù),求ξ的分布列和期望.
【解析】(1)由題意得,解得,
所以p==0.15,q==0.10.
如圖所示,補(bǔ)全頻率分布直方圖.
(2)用分層抽樣的方法,從中選取15人,則其中網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2千元的顧客有15×=6(人),網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò)2千元的顧客有15×=9(人),故ξ的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列為
E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
5．已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過(guò)分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：
（1）求該單位乙部門(mén)的員工人數(shù)？
（2）從甲部門(mén)和乙部門(mén)抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，甲部門(mén)選出的員工記為A，乙部門(mén)選出的員工記為B，假設(shè)所有員工睡眠的時(shí)間相互獨(dú)立，求A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間的概率；
（3）若將每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門(mén)抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
6．重慶近年來(lái)旅游業(yè)高速發(fā)展，有很多著名景點(diǎn)，如洪崖洞、磁器口、朝天門(mén)、李子壩等.為了解端午節(jié)當(dāng)日朝天門(mén)景點(diǎn)游客年齡的分布情況，從年齡在22～52歲之間的旅游客中隨機(jī)抽取了1000人，制作了如圖的頻率分布直方圖.
（1）求抽取的1000人的年齡的平均數(shù)、中位數(shù)；（每一組的年齡取中間值）
（2）現(xiàn)從中按照分層抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在的人數(shù)為，求的分布列及.
考向四 利用均值、方差進(jìn)行決策
均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分曉，由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷；若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.
典例7 某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì),基地收益如下表所示:
若基地額外聘請(qǐng)工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無(wú)雨時(shí)收益為20萬(wàn)元;有雨時(shí)收益為10萬(wàn)元.額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬(wàn)元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬(wàn)元的概率為0.36.
(1)若不額外聘請(qǐng)工人,寫(xiě)出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;
(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(1)設(shè)下周一無(wú)雨的概率為p,由題意得p2=0.36,p=0.6.
基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5,
則P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,
所以基地收益X的分布列為
基地的預(yù)期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,
所以基地的預(yù)期收益為14.4萬(wàn)元.
(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元,
則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a,
E(Y)-E(X)=1.6- a．
綜上,當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬(wàn)元時(shí),不外聘工人;成本低于1.6萬(wàn)元時(shí),外聘工人;成本恰為1.6萬(wàn)元時(shí),是否外聘工人均可以.
典例8 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大,表明質(zhì)量越好.記其質(zhì)量指標(biāo)值為k,當(dāng)k≥85時(shí),產(chǎn)品為一級(jí)品;當(dāng)75≤k

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