能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.
對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
考向一 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系：
（1）如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來(lái)，研究這些項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系；
（2）如果兩個(gè)數(shù)列是通過(guò)運(yùn)算綜合在一起的，就要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解．
典例1 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若數(shù)列成等比數(shù)列，則
A．27B．81
C．D．
【答案】D
【解析】由成等比數(shù)列，得，又因?yàn)檎龜?shù)的數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，解得或（舍去），所以，
因?yàn)閿?shù)列成等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，
所以，所以.故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由成等比數(shù)列，結(jié)合是公差為2的等差數(shù)列，得，進(jìn)而求出，即可得答案.
典例2 已知等差數(shù)列中，.
（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求的前項(xiàng)和.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，即.
又由，可得.
故，
依題意，，
因?yàn)椋ǔ?shù)），
故是首項(xiàng)為4，公比的等比數(shù)列.
（2）因?yàn)榈那绊?xiàng)和為，
的前項(xiàng)和為，
故的前項(xiàng)和為.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差、等比數(shù)列的求和的應(yīng)用，其中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解本題時(shí)，（1）設(shè)的公差為，由題意求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得的前項(xiàng)和和的前項(xiàng)和，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和.
1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，．
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
考向二 數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用
1．?dāng)?shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，所以我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)列．
解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)：
（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn)．
（2）轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問(wèn)題．
（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化．
2．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)．考查方式主要有三種：
（1）判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系；
（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題；
（3）考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．
在解決這些問(wèn)題時(shí)，要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn)，例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性的時(shí)候，可以通過(guò)比較相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷．在與不等式的證明相結(jié)合時(shí)，注意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式．
典例3 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，又為等比數(shù)列，.
（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析.
【解析】（1）函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
.
又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，從而，即，
∴
公比
.
（2），
，
.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出函數(shù)解析式、以及考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
考向三 等差、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型
①等差模型：增加或減少的量是一個(gè)固定的常數(shù)，是公差；
②等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的常數(shù)，是公比；
③遞推數(shù)列模型：題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，由此列遞推關(guān)系式．
2．解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的步驟
①審題：仔細(xì)閱讀題干，認(rèn)真理解題意；
②建模：將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；
③求解：求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解；
④還原：將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中．
在實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般有兩種途徑：①?gòu)奶乩胧?，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；②從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．
典例4 某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元,以后每年比上一年增加4萬(wàn)美元,每年銷售蔬菜收入50萬(wàn)美元,設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額).
（1）從第幾年開(kāi)始獲得純利潤(rùn)?
（2）若五年后,該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目,決定出售該廠,現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí),以48萬(wàn)美元出售該廠；②純利潤(rùn)總和最大時(shí),以16萬(wàn)美元出售該廠.問(wèn)哪種方案較合算?
【解析】由題意,知每年的經(jīng)費(fèi)構(gòu)成了以12為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,
則f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）獲得純利潤(rùn)就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2

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