備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學考點一遍過學案考點32 直線、平面垂直的判定及其性質（附解析）

這是一份備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學考點一遍過學案考點32 直線、平面垂直的判定及其性質（附解析），共55頁。學案主要包含了直線與平面垂直，平面與平面垂直，垂直問題的轉化關系等內容，歡迎下載使用。
（1）以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理.
理解以下判定定理：
·如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.
·如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.
理解以下性質定理，并能夠證明：
·如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.
（2）能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.

一、直線與平面垂直
1．定義
如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下：
【注意】定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．
2．直線與平面垂直的判定定理
【注意】在應用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線.
3．直線與平面垂直的性質定理
4．直線與平面所成的角
（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足．
過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．
（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角等于.因此，直線與平面所成的角α的范圍是.
5．常用結論（熟記）
（1）若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
（2）若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內任何一條直線．
（3）過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
（4）過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
二、平面與平面垂直
1．定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作.圖形表示如下：
2．平面與平面垂直的判定定理
3．平面與平面垂直的性質定理
4．二面角
（1）二面角的定義：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.
（3）二面角的范圍：.
5．常用結論（熟記）
（1）兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直．
（2）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
（3）如果兩個平面互相垂直，那么過第一個平面內的一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．
三、垂直問題的轉化關系
考向一 線面垂直的判定與性質
線面垂直問題的常見類型及解題策略：
(1)與命題真假判斷有關的問題．
解決此類問題的方法是結合圖形進行推理，或者依據條件舉出反例否定．
(2)證明直線和平面垂直的常用方法：
①線面垂直的定義；
②判定定理；
③垂直于平面的傳遞性()；
④面面平行的性質()；
⑤面面垂直的性質．
(3)線面垂直的證明．
證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想．
(4)線面垂直的探索性問題．
①對命題條件的探索常采用以下三種方法：
a．先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；
b．先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；
c．把幾何問題轉化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件．
②對命題結論的探索常采用以下方法：
首先假設結論存在，然后在這個假設下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結論就肯定假設，如果得到了矛盾的結果就否定假設.
典例1 如圖所示，ΔADB和ΔADC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形，且∠BAC=60°，下列說法中錯誤的是
A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADC
C．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD
【答案】D
【解析】易知AD⊥BD,AD⊥DC,所以AD⊥平面BDC,
又與均為以D為直角頂點的等腰直角三角形,所以.
又∠BAC＝60°,所以為等邊三角形,
故BC＝AB＝2BD,
所以∠BDC＝90°,即BD⊥DC.
所以BD⊥平面ADC,
同理DC⊥平面ABD.
故選D .
1．在正方體中，點在側面及其邊界上運動，并且保持，則動點的軌跡為
A．線段
B．線段
C．的中點與的中點連成的線段
D．的中點與的中點連成的線段
典例2 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各個側面均是邊長為2的正方形，D為線段AC的中點．
（1）求證：BD⊥平面ACC1A1；
（2）求證：直線AB1∥平面BC1D；
（3）設M為線段BC1上任意一點，在內的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點E，使CE⊥DM?請說明理由．
【解析】（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各個側面均是邊長為2的正方形，
∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，
∴CC1⊥平面ABC，
又∵BD?平面ABC，
∴CC1⊥BD，
又底面為等邊三角形，D為線段AC的中點，
∴BD⊥AC，
又AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1．
（2）如圖，連接B1C交BC1于點O，連接OD，
則O為B1C的中點，
∵D是AC的中點，∴OD∥AB1，
又OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，
∴直線AB1∥平面BC1D．
（3）在內的平面區(qū)域（包括邊界）存在點E，使CE⊥DM，此時E在線段C1D上，證明如下：
如圖，過C作CE⊥C1D，交線段C1D于點E，
由（1）可知，BD⊥平面ACC1A1，
又CE?平面ACC1A1，∴BD⊥CE，
由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，得CE⊥平面BC1D，
∵DM?平面BC1D，
∴CE⊥DM．
2．如圖，在正方體中，E為棱的中點，F(xiàn)為棱BC的中點．
（1）求證：AE⊥DA1；
（2）在線段AA1上求一點G，使得AE⊥平面DFG？并說明理由．
考向二 面面垂直的判定與性質
判定面面垂直的常見策略：
(1)利用定義(直二面角)．
(2)判定定理：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直．
(3)在運用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直．
典例3 已知在梯形ABCD中，AB//CD，E,F分別為底AB,CD上的點，且EF⊥AB，EF=EB=12FC=2，EA=12FD，沿EF將平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF，如圖.
（1）求證：平面BCD⊥平面BDF；
（2）若AE=2，求多面體ABCDEF的體積．
【解析】（1）由平面AEFD⊥平面EBCF，且DF⊥EF知DF⊥平面EBCF．
而平面BDF，所以平面BDF⊥平面EBCF.
由，可知，即BC⊥BF，
又平面EBCF,
所以BC⊥平面BDF．
又平面BCD，所以平面BCD⊥平面BDF．
（2）依題意知，多面體ABCDEF是三棱臺ABE-DCF，
易得高為EF=2，
兩個底面面積分別是2和8，
故體積為23×2+8+2×8=283．
典例4 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AB=BC.
（1）證明:BC1//平面A1CD;
（2）證明:平面A1EC⊥平面ACC1A1.
【解析】（1）連接AC1,交A1C于點O,連接DO,則O是AC1的中點,
因為D是AB的中點,所以OD//BC1．
因為OD?平面A1CD,BC1?平面A1CD，
所以BC1//平面A1CD．
（2）取AC的中點F,連接EO,OF,FB,
因為O是AC1的中點,
所以OF//AA1且OF=12AA1．
顯然BE//AA1,且BE=12AA1,
所以OF//BE且OF=BE，
則四邊形BEOF是平行四邊形.
所以EO//BF,
因為AB=BC,所以BF⊥AC.
又BF⊥CC1,
所以直線BF⊥平面ACC1A1．
因為EO//BF,所以直線EO⊥平面ACC1A1.
因為EO?平面A1EC,
所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
3．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．
（1）求證：OM∥平面PAB；
（2）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（3）當三棱錐C﹣PBD的體積等于時，求PA的長．
4．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，底面，，點在線段上，平面平面.
（1）請指出點的位置，并給出證明；
（2）若，求點到平面的距離.
考向三 線面角與二面角
求直線與平面所成的角的方法：
(1)求直線和平面所成角的步驟：
①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；
②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；
③把該角歸結在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．
(2)求線面角的技巧：
在上述步驟中，其中作角是關鍵，而確定斜線在平面內的射影是作角的關鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據，射影一般都是一些特殊的點，比如中心、垂心、重心等．
求二面角大小的步驟：
簡稱為“一作二證三求”．作平面角時，一定要注意頂點的選擇．
典例5 正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱長都相等，依據題設條件，可知平面ACD，∴，
故為直角三角形．設棱長為1，則有，
∴.
設A到平面的距離為h，則有，
∴，
∴，∴.
設直線AD與平面所成的角為θ，則.
解法二：在正三棱柱中，由D為中點可證⊥平面，如圖，作，∴.
又，∴AH⊥平面，∴∠為所求的線面角．
設棱長為2，在中由等面積法得，
∴.
故選B.
典例6 如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點.
（1）證明：平面⊥平面；
（2）若直線與平面所成的角為45°，求三棱錐的體積.
【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，
所以，
又是正三角形的邊的中點，
所以，因此平面，
而平面，
所以平面平面.
（2）如圖，設的中點為，連接，
因為是正三角形，
所以，
又三棱柱是直三棱柱，
所以，因此平面，于是是直線與平面所成的角.
由題設知，所以，
在中，，
所以，
故三棱錐的體積.
5．已知三棱柱的側棱與底面垂直，底面是邊長為的正三角形，且該三棱柱外接球的表面積為，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為
A．B．
C．D．
6．已知四棱錐中，底面，，，，.
（1）當變化時，點到平面的距離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
典例7 已知ABCD是正方形，E是AB的中點，將和分別沿DE、CE折起，使AE與BE重合，A、B兩點重合后記為點P，那么二面角的大小為________．
【答案】
【解析】如圖，取CD中點F，連接PF、EF.
∵EP⊥PD，EP⊥PC，∴EP⊥平面PCD，∴EP⊥CD.
∵PC=PD，∴PF⊥CD，
又PF∩PE=P，∴CD⊥平面PEF，
又EF?平面PEF，∴CD⊥EF，
∴∠PFE為二面角的平面角．
設正方形ABCD的邊長為2，
在中，PE=1，EF=2，∴∠PFE=30°.
【名師點睛】（1）二面角的平面角的頂點是二面角棱上任意一點.為了解題方便，可以把其放在某一特殊位置，這要具體問題具體分析.
（2）求二面角的關鍵是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即過二面角的一個半平面內且不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.
典例8 在ΔABC中，AB=4,AC=42,∠BAC=45°，以AC的中線BD為折痕，將ΔABD沿BD折起，如圖所示，構成二面角A'-BD-C,在平面BCD內作CE⊥CD，且CE=2．
（1）求證：CE∥平面A'BD；
（2）如果二面角A'-BD-C的大小為90°，求二面角B-A'C-E的余弦值．
【解析】（1）由AB=4,AC=42,∠BAC=45°得BC=4，
所以ΔABC為等腰直角三角形，
由D為AC的中點得BD⊥AC，
以AC的中線BD為折痕翻折后仍有BD⊥CD.
因為CE⊥CD，所以CE∥BD，
又CE?平面A'BD，BD?平面A'BD，
所以CE∥平面A'BD．
（2）因為二面角A'-BD-C的大小為90°，所以平面A'BD⊥平面BDC，
又平面A'BD∩平面BDC=BD,A'D⊥BD，
所以A'D⊥平面BDC，因此A'D⊥CE，
又CE⊥CD，A'D∩CD=D，
所以CE⊥平面A'CD，從而CE⊥A'C．
由題意A'D=DC=22，
所以在RtΔA'DC中，A'C=4．
如圖，設A'C中點為F，連接BF，
因為A'B=BC=4，所以BF⊥A'C，且BF=23，
如圖，設A'E的中點為G，連接FG，BG，則FG∥CE，
由CE⊥A'C得FG⊥A'C，
所以∠BFG為二面角B-A'C-E的平面角，
如圖，連接BE，在ΔBCE中，因為BC=4,CE=2,∠BCE=135°，所以BE=26．
在RtΔDCE中，DE=(22)2+(2)2=10，
于是在RtΔA'DE中，A'E=(22)2+(10)2=32．
在ΔA'BE中，，
所以在ΔBFG中，．
因此二面角B-A'C-E的余弦值為.
7．已知菱形的邊長為1，，將這個菱形沿折成的二面角，則兩點間的距離為
A．B．
C．D．
8．如圖，多面體，平面平面，，，，是的中點，是上的點.
（1）若平面，證明：是的中點；
（2）若，，求二面角的平面角的余弦值.
1．下列說法錯誤的是
A．垂直于同一個平面的兩條直線平行
B．若兩個平面垂直，則其中一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直
C．一個平面內的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行
D．一條直線與一個平面內的無數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直
2．設a，b，c表示三條直線，α，β表示兩個平面，則下列命題中不正確的是
A．B．
C．D．
3．如圖，三條相交于點P的線段PA，PB，PC兩兩垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是△ABC的
A．外心 B．內心
C．垂心 D．重心
4．若是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
5．如圖,A,B,C,D為空間四點,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等邊三角形ADB以AB為軸旋轉,當平面ADB⊥平面ABC時,CD=
A．3B．2
C．5D．1
6．如圖,在棱長為的正方體中,點、分別是棱、的中點，是底面上（含邊界）一動點，且滿足，則線段長度的取值范圍是
A． B．
C． D．
7．《九章算術》卷五《商功》中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何？問題中“芻甍”指的是底面為矩形的屋脊狀的幾何體，如圖1，該幾何體可由圖2中的八邊形ABCDEFGH沿BG，CF向上折起，使得AH與DE重合而成，設網格紙上每個小正方形的邊長為1，則此“芻甍”中EF與平面BCFG所成角的正弦值為
A． B．
C． D．
8．如圖所示，在直角梯形中，，分別是上的點，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接（如圖②）.在折起的過程中，下列說法中錯誤的個數(shù)是
①平面；
②四點不可能共面；
③若，則平面平面；
④平面與平面可能垂直.
A．0B．1
C．2D．3
9．如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點E為AD的中點,現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,△DCE翻折,使得點A,D重合于點F,此時二面角E-BC-F的余弦值為
（1） （2）
A．B．
C．D．
10．如圖，在正方體中，是棱上的動點，下列說法正確的是
A．對任意動點在平面內不存在與平面平行的直線
B．對任意動點在平面內存在與平面垂直的直線
C．當點從運動到的過程中，二面角的大小不變
D．當點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變大
11．如圖,三棱錐P-ABC,平面PAB⊥平面PBC,若PB⊥BC,則△ABC的形狀為__________.
12．在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=4，AC=3，AD=1，E為棱BC上一點，且平面ADE⊥平面BCD，則DE=__________.
13．如圖，在直三棱柱中，是的中點，，若是正三角形，則直線和平面所成的角的大小是__________.
14．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則________.
15．如圖所示，在四棱錐中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當DM⊥________時，平面MBD⊥平面PCD.
16．如圖所示，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面平面，，，為的中點.
（1）求證：平面；
（2）若為等邊三角形，為線段上的一點，求三棱錐的體積.
17．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，CD=PD=2EA，PD//EA，F(xiàn)，G，H分別為PB，BE，PC的中點.
（1）求證：GH//平面PDAE；
（2）求證：平面FGH⊥平面PCD.
18．如圖，在四棱錐中，，，Q是AD的中點，，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.
19．如圖所示，M，N，P分別是正方體的棱AB，BC，DD1上的點.
（1）若，求證:無論點P在DD1上如何移動，總有BP⊥MN;
（2）棱DD1上是否存在這樣的點P，使得平面⊥平面?證明你的結論.
20．在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝2.沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如圖．
（1）若G為FB的中點，求證：AG⊥平面BCEF；
（2）求二面角C－AB－F的正切值．
21．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF//CE,BF⊥BC,BF