（十九）數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入
1．復數(shù)的概念
（1）理解復數(shù)的基本概念.
（2）理解復數(shù)相等的充要條件.
（3）了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
2．復數(shù)的四則運算
（1）會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
（2）了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.
一、復數(shù)的概念
二、復數(shù)的幾何意義
1．復數(shù)的幾何意義
復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應的，復數(shù)集C與復平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應的，即
（1）復數(shù)z=a＋bi復平面內(nèi)的點(a，b∈R)．
（2）復數(shù)z=a＋bi(a，b∈R)平面向量.
2．復數(shù)加、減法的幾何意義
（1）復數(shù)加法的幾何意義：若復數(shù)z1，z2對應的向量不共線，則復數(shù)z1＋z2是以為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數(shù)．
（2）復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)z1?z2是所對應的復數(shù)．
三、復數(shù)的代數(shù)運算
1．復數(shù)的運算
（1）復數(shù)的加、減、乘、除運算法則
設(shè)，則
①加法：；
②減法：；
③乘法：；
④除法：．
（2）復數(shù)加法的運算定律
復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有．
（3）復數(shù)乘法的運算定律
復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有，，.
2．常用結(jié)論
（1）；eq \f(1＋i,1－i)=；eq \f(1－i,1＋i)=.
（2）．
（3）．
（4）．
（5）模的運算性質(zhì)：①；②；③.
考向一 復數(shù)的有關(guān)概念
求解與復數(shù)概念相關(guān)問題的技巧：
復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模，共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答與復數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解.
典例1 已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，復數(shù)的共軛復數(shù).
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若是純虛數(shù)，求.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】.
（1）由已知得.
.
（2）由已知得，
是純虛數(shù)，
,解得，
.
【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的計算和復數(shù)的概念，考查復數(shù)模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.熟記結(jié)論：若z=a＋bi(a，b∈R)，則b=0時，z∈R；b≠0時，z是虛數(shù)；a=0且b≠0時，z是純虛數(shù)．對于本題，（1）先求出，再根據(jù)，求出實數(shù)的值；（2）由已知得，再根據(jù)是純虛數(shù)求出a的值即得解.
1．設(shè)是虛數(shù)單位，如果復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)的值為
A．B．
C．D．
考向二 復數(shù)的幾何意義
復數(shù)的幾何意義及應用：
(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z=a＋bi(a，b∈R)Z(a，b).
(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．
【注意】|z|的幾何意義：令z=x＋yi(x，y∈R)，則|z|=eq \r(x2＋y2)，由此可知表示復數(shù)z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1?z2|的幾何意義是復平面內(nèi)表示復數(shù)z1，z2的兩點之間的距離.
典例2 復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】,對應點為,位于第二象限.
故選B.
典例3 如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，?2＋4i.
試求：
（1）所表示的復數(shù)；
（2）對角線所表示的復數(shù)；
（3）求B點對應的復數(shù)．
【答案】（1）所表示的復數(shù)為?3?2i，所表示的復數(shù)為；（2）5?2i；（3）1＋6i.
【解析】（1）∵，
∴所表示的復數(shù)為.
∵，
∴所表示的復數(shù)為.
（2）∵eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))?eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為.
（3）∵eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(?2＋4i)=1＋6i，即B點對應的復數(shù)為1＋6i.
【名師點睛】結(jié)合圖形和已知點對應的復數(shù)，根據(jù)加減法的幾何意義，即可求解．
2．復數(shù)，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點在
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．如果復數(shù)滿足，那么的最小值是________.
考向三 復數(shù)的四則運算
復數(shù)代數(shù)形式的四則運算是每年高考考查的一個重要考向，常利用復數(shù)的加減乘運算求復數(shù)，利用復數(shù)的相等或除法運算求復數(shù)等，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題，復數(shù)代數(shù)形式的運算問題常見題型及解題策略：
(1)復數(shù)的乘法運算滿足多項式的乘法法則，利用此法則后將實部與虛部分別寫出即可．
(2)復數(shù)的除法運算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)進行運算化簡．
(3)利用復數(shù)的相關(guān)概念解題時，通常是設(shè)出復數(shù)或利用已知聯(lián)立方程求解．
(4)復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義解答．
(5)復數(shù)的綜合運算．分別運用復數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.
典例4
A．1＋i B．1?i
C．?1＋i D．?1?i
【答案】D
【解析】.
故選D.
典例5 已知為虛數(shù)單位，則等于
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，
則的周期為4，且，
所以原式=.
故選D.
【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的計算和的周期性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.對于本題，利用的周期求解即可.
4．若，則
A．?2B．2
C．D．
1．
A．B．
C．?1D．1
2．若，則
A．B．
C．?1D．1
3．設(shè)i為虛數(shù)單位，，“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
4．在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于
A．第一象限B．第二象限
C．第二象限D(zhuǎn)．第四象限
5．已知復數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實數(shù)a等于
A．?2B．2
C．D．?1
6．已知，，則
A．B．
C．2D．
7．已知復數(shù)的實部為1，且的模長為2，則
A．B．
C．D．
8．設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，，若復數(shù)的實部與虛部的和為，則
A．B．
C．D．
9．已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，則a+b=
A．22B．?16
C．9D．?9
10．若復數(shù)（）不是純虛數(shù)，則
A．B．
C．D．且
11．已知，，是關(guān)于的方程的一個根，則
A．B．
C．D．
12．若復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實軸對稱，，則
A．B．
C．D．
13．設(shè)是復數(shù)，則下列命題中的假命題是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
14．下列命題正確的是
A．復數(shù)不是純虛數(shù)
B．若，則復數(shù)為純虛數(shù)
C．若是純虛數(shù)，則實數(shù)
D．若復數(shù)，則當且僅當時，為虛數(shù)
15．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)明的，將指數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)的模為
A．B．
C．D．
16．__________．
17．復數(shù)的虛部為________.
18．已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，若在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，則的取值范圍是___________．
19．若復數(shù)是虛數(shù)單位)，且為純虛數(shù)，則實數(shù)=___________．
20．設(shè)是復數(shù)，表示滿足時的最小正整數(shù)，是虛數(shù)單位，則________.
1．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知復數(shù)，則
A．B．
C．D．
2．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)復數(shù)z滿足，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則
A．B．
C．D．
3．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)z=–3+2i，則在復平面內(nèi)對應的點位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】若，則z=
A．B．
C．D．
5．【2018年高考浙江卷】復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是
A．1+iB．1?i
C．?1+iD．?1?i
6．【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)，則
A．B．
C．D．
7．【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】
A．B．
C．D．
8．【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】
A．B．
C．D．
9．【2018年高考北京卷理數(shù)】在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．【2017年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)有下面四個命題
：若復數(shù)滿足，則；
：若復數(shù)滿足，則；
：若復數(shù)滿足，則；
：若復數(shù)，則．
其中的真命題為
A．B．
C．D．
11．【2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】
A．B．
C．D．
12．【2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)復數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=
A．B．
C．D．2
13．【2017年高考北京卷理數(shù)】若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是
A．B．
C．D．
14．【2019年高考天津卷理數(shù)】是虛數(shù)單位，則的值為______________．
15．【2019年高考浙江卷】復數(shù)（為虛數(shù)單位），則=______________．
16．【2019年高考江蘇卷】已知復數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是______________．
17．【2018年高考天津卷理數(shù)】i是虛數(shù)單位，復數(shù)______________．
18．【2018年高考江蘇卷】若復數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實部為______________．
19．【2017年高考天津卷理數(shù)】已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為______________．
20．【2017年高考浙江卷】已知，（i是虛數(shù)單位），則______________，______________．
21．【2017年高考江蘇卷】已知復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則的模是______________．
變式拓展
1．【答案】D
【解析】==，
∵復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，∴，即a=．
故選D．
【名師點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的實部與虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題．求解時，由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)，再由已知條件列出方程，求解即可得答案．
2．【答案】A
【解析】，在復平面內(nèi)的對應點為，
故選A.
【名師點睛】本題考查復數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.求解時，化簡，寫出共軛復數(shù)即可根據(jù)復平面的定義選出答案.
3．【答案】
【解析】設(shè)，由復數(shù)模的三角不等式可得，
所以復數(shù)在復平面的軌跡是連接點和的線段，的幾何意義為復數(shù)對應的點到點的距離，如下圖所示：
當時，則取得最小值.
故答案為：.
【名師點睛】本題考查與復數(shù)相關(guān)的點的軌跡問題，解本題的關(guān)鍵在于確定出復數(shù)對應的點的軌跡，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查分析問題的和解決問題的能力，屬于中等題.求解本題時，先得出復數(shù)對應的點的軌跡為復平面內(nèi)連接點和的線段，的幾何意義為復數(shù)對應的點到點的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出的最小值.
4．【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以，故選C．
【名師點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質(zhì)，共軛復數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.求解時，根據(jù)共軛復數(shù)的性質(zhì)可知，直接利用復數(shù)模的性質(zhì)即可求解.
專題沖關(guān)
1．【答案】A
【解析】，故選A．
【名師點睛】復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．由題意利用復數(shù)的運算法則計算所給的復數(shù)即可.對于此類問題，要熟記下列公式：設(shè)，則，.
2．【答案】D
【解析】由.
故選D.
【名師點睛】本題考查復數(shù)的基本運算，處理技巧在于變形成除法運算形式.求解時，需對運算公式進行變形，再進行化簡即可.
3．【答案】B
【解析】復數(shù)是純虛數(shù)，則或，所以“復數(shù)是純虛數(shù)”不是“”的充分條件；
當時，復數(shù)為，是純虛數(shù)，“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的必要條件，
所以“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的必要不充分條件．
故選B．
【名師點睛】本題考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題，直接利用復數(shù)的基本概念以及充要條件判斷即可．求解時，先求得“復數(shù)是純虛數(shù)”時的值，再根據(jù)充分、必要條件的判斷依據(jù)，判斷出正確選項.
4．【答案】A
【解析】，所以，故選A．
【名師點睛】本題考查復數(shù)運算，共軛復數(shù)及其坐標表示.屬于基礎(chǔ)題.求解時，化簡計算出，寫出其共軛復數(shù)，即可選出答案.
5．【答案】C
【解析】是純虛數(shù)，所以，故選C．
6．【答案】D
【解析】因為且，
所以，所以，
故選D．
【名師點睛】本題考查了復數(shù)的基本運算，復數(shù)的模，復數(shù)相等的概念，屬基礎(chǔ)題.求解時，先由復數(shù)相等的定義得到，再求值.
7．【答案】D
【解析】設(shè)z＝1+mi（m∈R），則||＝||，解得m．∴z＝1．故選D．
【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的定義以及復數(shù)模的公式應用.求解時，由已知設(shè)z＝1+mi（m∈R），代入，再由模長為2列式求得m值，則z可求．
8．【答案】C
【解析】因為，，復數(shù)的實部與虛部的和為，
所以，故選C．
【名師點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及實部、虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)復數(shù)的乘法運算和復數(shù)的概念求解.
9．【答案】A
【解析】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi，∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi，
∴，解得a＝3，b＝19，
∴a+b＝3+19＝22，
故選A．
【名師點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．求解時，直接利用復數(shù)的乘法運算及復數(shù)相等的條件列式求得a，b的值．
10．【答案】A
【解析】若復數(shù)（）是純虛數(shù)，
根據(jù)純虛數(shù)的定義有：，
則復數(shù)（）不是純虛數(shù)，，
故選A.
【名師點睛】本題考查虛數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先解出復數(shù)（）是純虛數(shù)時的值，即可得出答案.
11．【答案】A
【解析】依題意，復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，
可得，即，
所以，解得，所以，故選A．
【名師點睛】本題主要考查了復數(shù)方程的應用，以及復數(shù)相等的充要條件的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時，由是關(guān)于的方程的一個根，代入方程化簡得，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解.
12．【答案】B
【解析】∵復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實軸對稱，，∴，
則.
本題選擇B選項.
13．【答案】D
【解析】對于A，若，則，所以為真；
對于B，若，則和互為共軛復數(shù)，所以為真；
對于C，設(shè)，若，則，
，所以為真；
對于D，若，則為真，而，所以為假．
故選D．
14．【答案】B
【解析】選項A中，當時，復數(shù)是純虛數(shù)，故錯誤；
選項B中，時，復數(shù)，為純虛數(shù)，故正確；
選項C中，是純虛數(shù)，則，即，得，故錯誤；
選項D中，沒有給出為實數(shù)，當，時，也可以是虛數(shù)，故錯誤.
所以選B項.
【名師點睛】本題考查復數(shù)的定義和純虛數(shù)的概念，判斷命題的正確，屬于簡單題.求解時，分別對四個選項進行判斷，得到正確的選項.
15．【答案】C
【解析】由題意，=cs+isin，
∴，
∴表示的復數(shù)的模為．
故選C．
【名師點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．直接由題意可得，再由復數(shù)模的計算公式得答案．
16．【答案】1
【解析】，即該復數(shù)的模長為1.
故答案為1.
17．【答案】
【解析】，因此，復數(shù)的虛部為.
故答案為：.
【名師點睛】本題考查復數(shù)的虛部的求解，考查復數(shù)的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時，利用復數(shù)的乘法法則將復數(shù)表示為一般形式，可得出該復數(shù)的虛部.
18．【答案】
【解析】由題得，若在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，則且，解得，即的取值范圍為.
19．【答案】
【解析】因為= ，其為純虛數(shù)，所以，解得=1.故答案為.
20．【答案】4
【解析】∵，∴，
∵表示滿足的最小正整數(shù)，∴當時滿足第一次成立，∴，
故答案為.
直通高考
1．【答案】D
【解析】由題，則，故選D．
2．【分析】本題專題為復數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案為C．
【答案】C
【解析】由題可得則．故選C．
3．【答案】C
【解析】由得則對應的點（-3，-2）位于第三象限．故選C．
4．【答案】D
【解析】．故選D．
【名師點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取運算法則法，利用方程思想解題．
5．【答案】B
【解析】，∴共軛復數(shù)為，故選B．
6．【答案】C
【解析】因為，
所以，故選C．
7．【答案】D
【解析】由題可得，故選D．
8．【答案】D
【解析】，故選D．
9．【答案】D
【解析】的共軛復數(shù)為，
對應點為，在第四象限．故選D．
【名師點睛】此題考查復數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導致馬虎丟分．將復數(shù)化為最簡形式，求其共軛復數(shù)，找到共軛復數(shù)在復平面的對應點，判斷其所在象限．
10．【答案】B
【解析】令，
則由得，所以，故正確；
當時，因為，而知，故不正確；
當時，滿足，但，故不正確；
對于，因為實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確．
故選B．
【名師點睛】分式形式的復數(shù)，分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡成的形式進行判斷，共軛復數(shù)只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可．
11．【答案】D
【解析】由復數(shù)除法的運算法則有：，故選D．
【名師點睛】復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．在做復數(shù)的除法時，要注意利用共軛復數(shù)的性質(zhì)：若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z1·z2=|z1|2=|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)將分母實數(shù)化．
12．【答案】C
【解析】由題意可得，由復數(shù)求模的法則可得，
則．故選C．
【名師點睛】共軛與模是復數(shù)的重要性質(zhì)，運算性質(zhì)有：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
13．【答案】B
【解析】，
因為對應的點在第二象限，所以，解得，
故實數(shù)a的取值范圍是，故選B．
14．【分析】先化簡復數(shù)，再利用復數(shù)模的定義求所給復數(shù)的模．
【答案】
【解析】．
15．【分析】本題先計算，而后求其模．或直接利用模的性質(zhì)計算． 容易題，注重基礎(chǔ)知識、運算求解能力的考查．
【答案】
【解析】由題可得．
16．【分析】本題根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)復數(shù)的概念，令實部為0即得a的值．
【答案】
【解析】，
令，解得．
【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則，虛部的定義等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．
17．【答案】4–i
【解析】由復數(shù)的運算法則得：．
【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則及其應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．由題意結(jié)合復數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果．
18．【答案】2
【解析】因為，則，則的實部為．
19．【答案】
【解析】因為為實數(shù)，
所以，解得．
20．【答案】5 2
【解析】由題意可得，
則，解得，
則．
21．【答案】
【解析】，故答案為．
【名師點睛】（1）對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如．
（2）其次要熟悉復數(shù)相關(guān)概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛復數(shù)為．

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