考點(diǎn)一：平面向量的加減數(shù)乘運(yùn)算
1．（2024北京）如圖，四邊形是正方形，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的法則
【分析】由三角形法則即可求解.
【詳解】.
故選：B
2．（2022河北）在中，設(shè)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
【分析】由圖結(jié)合向量加減法可得答案.
【詳解】由圖，，又，.
則.
故選：D
3．（2022河北）在中，設(shè)，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的運(yùn)算律、向量加法的運(yùn)算律
【分析】利用給定條件結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，故D正確.
故選：D.
4．（2024云南）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則
【分析】根據(jù)加法運(yùn)算法則分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：D.
5．（2024天津）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E滿足，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、向量減法的法則
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】由題意知，點(diǎn)滿足，可得，
則.
故選：A.
6．（2023吉林）在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算表示所求向量即可.
【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以.
故選：B.
7．（2023北京）如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、相等向量、平面向量的概念與表示
【分析】根據(jù)向量相等的概念及向量的加法法則判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)樗倪呅问橇庑危?br>所以根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，，
，故C對(duì)D錯(cuò)；
因?yàn)橄蛄糠较虿煌?，，故AB錯(cuò)誤.
故選：C
8．（2023北京）已知平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，滿足，則與（ ）
A．相等B．方向相同C．垂直D．方向相反
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)向量的共線及模的關(guān)系確定選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，滿足，
所以為共線反向向量，且模不相等，
所以ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
9．（2023遼寧）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得結(jié)果.
【詳解】,
故選：B.
10．（2023江蘇）在中，已知為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：B
考點(diǎn)二：平面向量的模
1．（2022河北）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模
【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即，則，
所以.
故選：D
2．（2024新疆）已知向量，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】運(yùn)用模長公式結(jié)合垂直結(jié)論可解.
【詳解】,由于，則，代入計(jì)算得，
．
故選：A.
3．（2023廣東）已知向量滿足 ，，則（ ）
A．B．6C．D．5
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.
【詳解】向量滿足，，
所以.
故選：C
4．（2023浙江）已知平面向量滿足，則的最大值是（ ）
A．B．12C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、已知模求數(shù)量積、已知數(shù)量積求模
【分析】由題意可得，從而可得，令，利用即可求解.
【詳解】由可得，即，
，即，
，即，
，
令，
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值是.
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求的最大值時(shí)，可利用來求解.
5．（2024湖北）已知，且，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模
【分析】根據(jù)，結(jié)合條件求模長.
【詳解】.
故答案為：.
6．（2024安徽）已知單位向量與單位向量的夾角為，則 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模、零向量與單位向量、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及模長轉(zhuǎn)化法求出模長.
【詳解】因?yàn)?的夾角為120°，
所以，
.
故答案為：.
7．（2024浙江）已知向量為互相垂直的兩個(gè)單位向量，若向量，，則當(dāng) 時(shí)，取到最小值；此時(shí)，的最小值是 ．
【答案】 15/0.2 3
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用、已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出，借助二次函數(shù)求解即得；由，結(jié)合向量的三角不等式求解即得.
【詳解】由向量為互相垂直的兩個(gè)單位向量，得，
于是
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，而，
因此
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，
所以時(shí)，取到最小值，的最小值為3.
故答案為：；3
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由數(shù)量積運(yùn)算律化為，再利用向量的三角不等式是解決問題的關(guān)鍵.
8．（2023新疆）已知向量與的夾角為，且，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、用定義求向量的數(shù)量積
【分析】通過，代入條件計(jì)算即可.
【詳解】由已知，
所以.
故答案為：.
9．（2024廣東）已知向量，，，那么 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的定義及辨析、向量的模、已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】利用向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算律分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：由題意，，，，
∴，
解得：，
∴，
又∵，
∴.
故答案為：．
10．（2023·浙江）已知向量，為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模
【分析】由條件求出，設(shè)向量與向量的夾角為，將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的范圍解不等式即可得的取值范圍.
【詳解】由得，
即 ，
又，
則，
設(shè)向量與向量的夾角為，
則，
因?yàn)?，由已知等式可知，所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以，
解得.
故答案為：
考點(diǎn)三：平面向量的數(shù)量積
1．（2024湖南）如圖，是邊長為2的等邊三角形，則（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，
所以.
故選：C
2．（2024云南）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、誘導(dǎo)公式二、三、四
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及定義法求向量數(shù)量積．
【詳解】解：中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，
則，
故選：C．
3．（2023江蘇）在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．1B．4C．6D．7
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：A
4．（2023云南）已知與的夾角為，則（ ）
A．-3B．3C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積
【分析】由數(shù)量積公式求解即可.
【詳解】.
故選：B
5．（2022江蘇）如圖，在邊長為3的正中，D，E分別在AC，AB上，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
【分析】結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算得到，進(jìn)而根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)檎呴L為3，所以，，
故
故選：C.
6．（2024福建）已知，與的夾角為，則
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積
【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，與的夾角為，
所以，
故答案為：.
7．（2024浙江）向量是兩個(gè)單位向量，夾角為，則 ．
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】由向量是兩個(gè)單位向量，夾角為，可得，
則.
故答案為：.
8．（2024廣東）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示
【分析】通過轉(zhuǎn)化的方法求得.
【詳解】∵=，∴，
∵，則，
因此，
.
故答案為：
9．（2023廣東）已知向量和的夾角為，，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積
【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.
【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得.
故答案為：.
考點(diǎn)四：平面向量的夾角
1．（2023新疆）若，，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、垂直關(guān)系的向量表示
【分析】設(shè)與的夾角，通過代入條件計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)與的夾角，
因?yàn)?br>所以
解得，
所以，
故選：B.
2．（2023河北）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算
【分析】由向量垂直，利用數(shù)量積運(yùn)算可得，即，代入已知條件，求得，所以，得解
【詳解】因?yàn)?，所?br>所以
又，，，,
所以，
故選：C．
3．（2023廣東）設(shè)都是單位向量,且,則向量,的夾角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算
【分析】根據(jù)等式將移到另一端,兩邊同時(shí)平方,由都是單位向量可求出,的夾角.
【詳解】解析:由,可知,故,∴.
設(shè),的夾角為,即,又,∴.
故選::A
4．（2024安徽）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算
【分析】根據(jù)垂直條件，得到數(shù)量積為0，結(jié)合及夾角公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?
所以，
即,
所以,
因?yàn)?
所以，
因?yàn)?
所以.
故答案為：.
5．（2023甘肅）已知向量、滿足且，則向量與的夾角為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算
【分析】設(shè)向量與的夾角為，則，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及定義可得出的值，再結(jié)合的取值范圍可得出的值.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，
所以，，可得，
故.
故答案為：.
6．（2023廣東）已知向量滿足，，，則與的夾角的余弦值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，，且，可得，
所以與的夾角的余弦值為.
故答案為：
考點(diǎn)五：平面向量的平行和垂直關(guān)系
1．（2024安徽）已知向量，若，則（ ）
A．9B．C．1D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量平行坐標(biāo)運(yùn)算即可求參.
【詳解】因?yàn)?
所以.
故選：B.
2．（2024云南）已知平面向量.若，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．4B．1C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，且，所?
故選：A.
3．（2024湖南）已知向量，，且，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量共線得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得.
故選：B.
4．（2024湖南）已知，若，則
A．?2B．C．D．0
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量平行得到方程，化簡(jiǎn)求得的值.
【詳解】由于，所以.
故選：A.
5．（2022河北）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式，求得結(jié)果.
【詳解】由，可得，解得.
故選：A.
6．（2023吉林）已知向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】運(yùn)用平面向量的垂直的坐標(biāo)結(jié)論可解．
【詳解】向量與垂直，則，即，解得.
故選：C.
7．（2024浙江）已知，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示
【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示解方程可得.
【詳解】由可得，解得.
故選：B
8．（2024廣東）已知向量，，，則（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示
【分析】運(yùn)用向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.
【詳解】∵，∴，即，解得，
故選：D．
9．（2023浙江）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】已知向量垂直求參數(shù)
【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋遥?br>所以，解得.
故選：A
10．（2023江蘇）已知向量，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．0C．1D．或1
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】已知向量垂直求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
【分析】求出的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，可列方程，即可求得答案.
【詳解】由已知向量，
可得，
由可得，
即，解得，
故選：D
11．（2023安徽）已知向量．若，則 ．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得.
故答案為：2.
12．（2022甘肅）已知向量，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得.
故答案為：.
13．（2023遼寧）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)y的值為 .
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】已知向量垂直求參數(shù)、數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】直接由得到，代入坐標(biāo)計(jì)算即可.
【詳解】由已知平面向量，，，
，
解得.
故答案為：.
考點(diǎn)六：正余弦定理
1．（2022河北）在中，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】易知，在和中分別利用余弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
由，得.
故選：C
2．（2024安徽）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為，且，則邊（ ）
A．7B．3C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】由三角形面積公式求得，再由余弦定理得到.
【詳解】由得，
由余弦定理得，所以.
故選：C.
3．（2023安徽）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，c．若，．，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.
【詳解】由正弦定理可得，解得，
故選：D
4．（2024新疆）在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理求解即可.
【詳解】根據(jù)余弦定理得，，則.
故選：A.
5．（2023吉林）在銳角中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，且，則角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>且角為銳角，則，可得，即，
且角為銳角，所以角為.
故選：D.
6．（多選）（2024浙江）在中，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷AB，根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積定義判斷D.
【詳解】因?yàn)?，而?br>所以，故，故A正確；
由A知，，所以，故B錯(cuò)誤；
，若成立，只需成立，即，所以只需，
即，而，，故成立，故C正確；
因?yàn)椋?，故D正確.
故選：ACD
7．（2023廣西）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則 ．
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算即可.
【詳解】,
故答案為：1.
8．（2024湖南）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，則 .
【答案】/0.25
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再化簡(jiǎn)即可求得.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得?br>因?yàn)?，所以?br>所以，.
故答案為：
9．（2024天津）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>由余弦定理可得.
故答案為：
10．（2024天津）在中，若，，，則為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理即可求解.
【詳解】∵，
，
由正弦定理得：，
∴.
故答案為：
11．（2024浙江）如圖，在平面四邊形中，，，記與的面積分別為， 則的值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】首先得出，然后根據(jù)余弦定理得、，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.
【詳解】，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，得①，
在中，由余弦定理得，
即，得②，
又，
所以③，
由②①，得，由，
得，代入③得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是根據(jù)余弦定理得出，結(jié)合三角形公式即可順利得解.
12．（2024福建）在中，已知
(1)求角
(2)若，求邊的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)條件，利用邊轉(zhuǎn)角及正弦的和角公式，得到，即可求解；
（2）根據(jù)條件，利用正弦定理得到，從而得到，即可求解.
【詳解】（1）由，得到，
所以，又，則，
得到，所以.
（2）由正弦定理知，又，所以，，
由，得到，整理得到，
所以，又，
所以，
得到，其中，，
則，解得，
所以邊的取值范圍為.
13．（2024浙江）已知函數(shù).
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，求的最大值.
【答案】(1)2
(2)
(3)12
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】(1)利用兩角和與差的余弦公式展開，合并，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)即可
(2)化簡(jiǎn)后，利用,即可求出周期.
(3)利用正弦定理由邊化角，化簡(jiǎn)整理得到形式，利用三角函數(shù)求最值.
【詳解】（1），
則;
（2）；
（3）由得，因?yàn)閯t，.
記外接圓半徑為，所以
，
整理可得：
，
.
14．（2024浙江）已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由正切（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可求；
（2）結(jié)合，結(jié)合兩角差正弦，余弦公式，同角關(guān)系化簡(jiǎn)目標(biāo)解析式，可得，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，不等式性質(zhì)可求其范圍.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，
由正弦定理可得，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，又，
所以，即；
因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）知，，
所以
；
因?yàn)?，所以?br>15．（2024廣東）已知在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可得；
（2）由正弦定理計(jì)算即可得.
【詳解】（1），，，由余弦定理可得：
，即；
（2），，，由正弦定理可得：
，故.
16．（2023四川）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大??；
(2)若，，求a.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）由正弦定理及同角三角函數(shù)的關(guān)系得解；
（2）由余弦定理直接求解.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
由知，可得，
即，
由知，.
（2）由余弦定理可得：，
解得.
17．（2023遼寧）已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）由，得，
由余弦定理，得，
因?yàn)?，所以?br>（2）由正弦定理，得，即，
因?yàn)?，所以，即，所以?br>由，得．
考點(diǎn)七：復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算
1．（2024江蘇南京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出即可判斷得解.
【詳解】由在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，設(shè)，
則，顯然，
所以點(diǎn)在第一象限，A正確.
故選：A
2．（2024安徽）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的幾何意義得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.
故選：C
3．（2024安徽）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
【分析】由復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算得到的值，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出.
【詳解】，即，
，
故選：A
4．（2024安徽）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第二象限.
故選：B
5．（2024云南）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解．
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第三象限，
故選：C
6．（2024云南）已知為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運(yùn)算
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的加法計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
7．（2023安徽）已知是虛數(shù)單位，則等于（ ）
A．13B．5C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法即可.
【詳解】.
故選：A.
8．（2024湖南）已知為虛數(shù)單位，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及辨析
【分析】由純虛數(shù)的概念即可得解.
【詳解】由純虛數(shù)的概念：實(shí)部為0，虛部不為0，對(duì)比選項(xiàng)可知，選項(xiàng)中復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是.
故選：D.
9．（2024福建）i為虛數(shù)單位，計(jì)算等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則運(yùn)算即可.
【詳解】.
故選：A.
10．（2024浙江）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的模為（ ）
A．3B．5C．4D．7
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可.
【詳解】.
故選：B.
11．（2024湖南）i為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、求復(fù)數(shù)的模
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
故選：A
12．（2024浙江）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、求復(fù)數(shù)的模
【分析】利用求出模長.
【詳解】.
故選：A
13．（2024湖南）i為虛數(shù)單位，若，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，
故選：C
14．（2024安徽）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再用模長公式求解即可.
【詳解】,
所以.
故答案為：.
15．（2023廣西）設(shè)復(fù)數(shù)，（i是虛數(shù)單位），則 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運(yùn)算
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算求解.
【詳解】.
故答案為：.
16．（2024湖南）已知復(fù)數(shù)，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運(yùn)算
【分析】直接由復(fù)數(shù)加法定義即可求解.
【詳解】若復(fù)數(shù)，，則.
故答案為：.

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