專題01 集合與常用邏輯用語-備戰(zhàn)2025年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格考真題分類匯編（全國通用）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一：集合的概念
1．（2023北京）已知集合，定義函數(shù)則（）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值
【分析】由，結(jié)合分段函數(shù)的解析式可得答案.
【詳解】由題意可知，
所以，
故選：B.
2．（2023黑龍江）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合
【分析】求解一元二次方程的根組成的集合
【詳解】解方程，得或，
方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為.
故選：C
3．（2021廣西）若，則（）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
【分析】由元素與集合的關(guān)系即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，則.
故選：B.
4．（2023河北）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）
A．所有直角三角形B．拋物線上的所有點(diǎn)
C．某中學(xué)高一年級(jí)開設(shè)的所有課程D．充分接近的所有實(shí)數(shù)
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合
【分析】根據(jù)集合所具有的性質(zhì)逐一判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】A，B，C中的對(duì)象具備互異性、無序性、確定性，而D中的對(duì)象不具備確定性．
故選：D．
5．（2022江蘇）已知集合，則A中元素個(gè)數(shù)為（）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)
【分析】由列舉法即可判斷
【詳解】，共有9個(gè)元素.
故選：B
6．（2022廣西）已知M是由1，2，3三個(gè)元素構(gòu)成的集合，則集合M可表示為（）
A．{x|x=1}B．{x|x=2}C．{1，2}D．{1，2，3}
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合
【分析】根據(jù)集合的知識(shí)確定正確選項(xiàng).
【詳解】由于集合是由三個(gè)元素構(gòu)成，
所以.
故選：D
7．（2020廣西）設(shè)M為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合M等于（）
A．{長江，黃河}B． {長江，黑龍江}
C． {長江，珠江}D． {長江，黃河，黑龍江，珠江}
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合
【分析】根據(jù)集合的概念及表示即得.
【詳解】∵M(jìn)為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，
∴M ={長江，黃河，黑龍江，珠江}.
故選：D.
8．（2023河北）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為．
【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)
【分析】求出所有的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)榧现械脑?，，，所以?dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，6，7．當(dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，7，8．
根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個(gè)元素．
故答案為：4．
9．（2023上海）“ntebks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是
【答案】7
【知識(shí)點(diǎn)】集合元素互異性的應(yīng)用、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性知集合中不能出現(xiàn)相同的元素.
【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“ntebks”中的不同字母為“n，，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；
故答案為：7.
10．（2023高北京）已知數(shù)集含有（）個(gè)元素，定義集合．
(1)若，寫出；
(2)寫出一個(gè)集合，使得；
(3)當(dāng)時(shí)，是否存在集合，使得？若存在，寫出一個(gè)符合條件的集合；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見解析.
【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義
【分析】（1）根據(jù)集合的新定義，寫出中元素即可得解；
（2）根據(jù)條件分析集合中元素即可得解；
（3）根據(jù)題意可得不存在，利用反證法證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以為中元素，
故.
（2）取，此時(shí)，
滿足.
（3）當(dāng)時(shí)，不存在集合，使得.
（反證法）
假設(shè)時(shí)，存在集合，使得，
不妨設(shè)，且，
則，
所以為中7個(gè)不同的元素，
所以，
由解得.
此時(shí)，與矛盾，
所以假設(shè)不成立，
故不存在這樣的集合.
考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系
1．（2023重慶）設(shè)，集合，，，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】求出集合、，利用集合的包含關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榛?，?br>又因?yàn)椋瑒t.
故選：C.
2．（2023廣東）已知，設(shè)集合，，則（）
A．?B．?
C． ?D．?
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系
【分析】先求出全集，從而判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，可得答案.
【詳解】由題意，,
得,
故，A錯(cuò)誤；,故B錯(cuò)誤，
，故屬于集合間符號(hào)使用不正確， C錯(cuò)誤，
,D正確，
故選：D
3．（2022浙江）已知集合，若，則（）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)
【分析】依題意可得，且，即可得到和為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而得解；
【詳解】解：因?yàn)榍遥?br>所以，且，
又，
所以和為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以；
故選：D
考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算
1．（2024福建）集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算
【分析】由交集的運(yùn)算求解即可；
【詳解】由題意可得，
故選：B.
2．（2022河北）設(shè)全集，集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算
【分析】直接由補(bǔ)集的定義即可求解.
【詳解】若全集，集合，則.
故選：D.
3．（2024江蘇）已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑
【分析】作出幾何圖形，確定的元素個(gè)數(shù)即可得解.
【詳解】集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的點(diǎn)的集合，
集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)的集合，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出圓及函數(shù)的部分圖象，如圖，

觀察圖象知，圓及函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，
所以有3個(gè)元素，共有個(gè)真子集.
故選：C
4．（2024安徽）已知集合，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】先解一元二次不等式，再結(jié)合交集求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
5．（2024云南）已知集合，若有且僅有3個(gè)不同元素，則的值可以為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解．
【詳解】因?yàn)榧希?br>若有且僅有3個(gè)不同元素，則這3個(gè)元素為3，2，1，
故，即．故可取1，
故選：A．
6．（2024浙江）設(shè)全集，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B
7．（2024湖南）已知集合，，若，則（）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)
【分析】根據(jù)集合的交集求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，故.
故選：A
8．（2024廣東）已知集合，則=（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算
【分析】根據(jù)交集概念求出答案.
【詳解】.
故選：A
9．（2023新疆）設(shè)全集，集合，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算
【分析】確定，再計(jì)算并集得到答案.
【詳解】，，則，
，則.
故答案為：.
10．（2023河北）已知集合，集合，且，則，．
【答案】 1
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】根據(jù)不等式解法可解得集合，再利用交集結(jié)果以及一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系即可求得的值.
【詳解】由可得；
由可得
∵，∴是方程的根，
則，可得
∵，∴，
則．
故答案為：，1
11．（2022廣東）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）解指數(shù)不等式，確定集合B，即可得出答案；
（2）由得出，列式求解即可.
【詳解】（1），
所以，又，
所以.
（2）∵，∴，
由（1）得，又，
∴，解得，
∴的取值范圍為.
12．（2023北京）給定正整數(shù)，設(shè)集合．對(duì)于集合M的子集A，若任取A中兩個(gè)不同元素，，有，且，，…，中有且只有一個(gè)為2，則稱A具有性質(zhì)P．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷是否具有性質(zhì)P；（結(jié)論無需證明）
(2)當(dāng)時(shí)，寫出一個(gè)具有性質(zhì)P的集合A；
(3)當(dāng)時(shí)，求證：若A中的元素個(gè)數(shù)為4，則A不具有性質(zhì)P．
【答案】(1)A不具有性質(zhì)P；
(2)；
(3)證明見解析.
【知識(shí)點(diǎn)】集合的應(yīng)用、集合新定義
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)新定義即可判斷；
（2）根據(jù)定義即可寫出；
（3）若A中的元素個(gè)數(shù)為4，假設(shè)A具有性質(zhì)P，設(shè)，然后根據(jù)條件推出矛盾，進(jìn)而即得.
【詳解】（1）根據(jù)題設(shè)定義可知不具有性質(zhì)P；
（2）當(dāng)時(shí)，，，且，，中有且只有一個(gè)為2，滿足性質(zhì)P；
（3）當(dāng)時(shí)，若A中的元素個(gè)數(shù)為4，假設(shè)A具有性質(zhì)P，
即任取A中兩個(gè)不同元素，，
有，①
，，，中有且只有一個(gè)為2．②
設(shè)；則．
當(dāng)時(shí)，由①得，不滿足②，矛盾．
當(dāng)時(shí)，由①得，
由②得與不同時(shí)在A中；與不同時(shí)在A中；與不同時(shí)在A中，所以A中元素個(gè)數(shù)至多為3，矛盾．
當(dāng)時(shí)，由①得，不滿足②，矛盾．
當(dāng)或時(shí)，不滿足A中的元素個(gè)數(shù)為4，矛盾．
所以假設(shè)不成立，即A不具有性質(zhì)P．
【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.
13．（2023河北）已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）根據(jù)不等式的運(yùn)算得出集合與，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算得出答案；
（2）根據(jù)集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算直接得出答案.
【詳解】（1）由，可得，
所以．
由可得，且，解得，
所以，
所以．
（2）因?yàn)榛颍?br>所以或.
考點(diǎn)四：充分條件與必要條件
1．（2024北京）已知，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件
【分析】判斷兩個(gè)命題的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，是充分條件；當(dāng)時(shí)，是不充分條件；當(dāng)時(shí)，是必要條件；當(dāng)時(shí)，是不必要條件.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴“”是“”充分條件；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足要求，而，故不一定成立，∴“”是“”不必要條件.
故選：A.
2．（2023高三上·廣西）下列命題中，含有存在量詞的是（）
A．存在一個(gè)直角三角形三邊長均為整數(shù)B．所有偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
C．任何梯形都不是平行四邊形D．任意兩個(gè)等邊三角形都相似
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題是否為特稱（存在性）命題
【分析】根據(jù)存在量詞的含義判斷即可.
【詳解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，這些叫做存在量詞.
故選：A.
3．（2023安徽）設(shè)命題，，則的否定是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可求解.
【詳解】的否定是:,
故選：A
4．（2023吉林）“”是“”的（）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件
【分析】根據(jù)題意結(jié)合充分、必要條件分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)榭梢酝瞥?，即充分性成立?br>但不能推出，例如，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
5．（2023浙江）已知為實(shí)數(shù)，則“，”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、充要條件的證明
【分析】利用分離參數(shù)法求出的取值范圍判斷充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.
【詳解】若則
當(dāng)時(shí)，不等式的右邊取得最大值1，故充分性成立；
若則時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
即恒成立，因此，由可以推出，故必要性成立.
綜上所述，是的充要條件.
故選：C.
6．（2024福建）命題“”的否定是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題“”為全稱量詞命題，
其否定為：.
故選：D
7．（2024浙江）命題“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式直接求解即可.
【詳解】全稱量詞命題：，它的否定為：.
所以命題“”的否定是“”.
故選：D.
8．（2024湖南）命題“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題的否定及其真假判斷
【分析】根據(jù)特稱命題的否定形式的相關(guān)知識(shí)直接判斷.
【詳解】命題“，”的否定為“，”，
故選：C.
二、填空題
9．（2024湖南）命題“，”的否定是 .
【答案】，
【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題求解即可.
【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題可知，
命題“，”的否定是，.
故答案為：，
10．（2023河北）已知命題：實(shí)數(shù)滿足，其中，命題：實(shí)數(shù)滿足．
(1)若，則是的什么條件？
(2)若是的必要條件，求的取值范圍．
【答案】(1)是的必要不充分條件
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、必要條件的判定及性質(zhì)
【分析】（1）找到命題、所表示的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的取值集合之間的包含關(guān)系，進(jìn)而得到兩個(gè)命題之間的關(guān)系.
（2）由命題是的必要條件，得到命題、所表示的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的取值集合之間的包含關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.
【詳解】（1）由，得，記集合，
，記集合．
因?yàn)锽是A的真子集，所以是的必要不充分條件．（注：必要條件也正確）
故是的必要不充分條件．
（2），記集合，
，記集合，
因?yàn)槭堑谋匾獥l件，
所以，即所以．
所以a的取值范圍為.

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