A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)
2．（2024秋?秦淮區(qū)期中）已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的平均數(shù)是x1，方差是s12，另一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，6的平均數(shù)是x2，方差是s22，則下列說法正確的是（ ）
A．x1=x2，s12=s22
B．x1≠x2，s12=s22
C．x1=x2，s12≠s22
D．x1≠x2，s12≠s22
3．（2023秋?寶豐縣期末）對甲、乙、丙、丁四名射擊選手進(jìn)行射擊測試，每人射擊10次，平均成績均為9.5環(huán)，方差如表所示：則四名選手中成績最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．兩D．丁
4．（2024秋?長沙期中）如圖是長沙市一中現(xiàn)代舞蹈社團(tuán)20名成員的年齡分布統(tǒng)計(jì)表，數(shù)據(jù)不小心被撕掉一塊，仍能夠分析得出關(guān)于這20名成員年齡的統(tǒng)計(jì)量是（ ）
A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)
5．（2024秋?南京期中）小明在處理一組數(shù)據(jù)“12，12，28，15，■”時(shí)，不小心將其中一個(gè)數(shù)據(jù)污染了，只記得該數(shù)據(jù)在20～30之間，則“■”在范圍內(nèi)無論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?阜寧縣期中）數(shù)據(jù)﹣1、0、1、2、3、7的極差是 ．
7．（2024秋?歷下區(qū)期中）“科學(xué)用眼，保護(hù)視力”是青少年珍愛生命的具體表現(xiàn)．某班50名同學(xué)的視力檢查數(shù)據(jù)如表所示，其中有兩個(gè)數(shù)據(jù)被墨汁遮蓋了，以下關(guān)于視力的統(tǒng)計(jì)量中可以確定的是 （填寫正確的序號）．
①平均數(shù)
②眾數(shù)
③方差
8．（2024?朝陽區(qū)校級一模）農(nóng)科院計(jì)劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時(shí)，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題．為了解甲、乙兩種玉米的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如圖．則甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的方差大小關(guān)系為S甲2 S乙2．（填“＜”或“＞”）
9．（2024秋?建鄴區(qū)期中）某校國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)原來有5名學(xué)生，身高（單位：cm）分別為173，174，174，174，175，若增加一位身高為174的學(xué)生，則國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)學(xué)生身高的方差會 ．（填“變大”“變小”或“不變”）
10．（2024?淅川縣二模）為迎接全市的禁毒知識競賽，某校進(jìn)行了相關(guān)知識測試，經(jīng)過層層預(yù)賽，小洋和小亮進(jìn)入了最后的決賽．如圖，是他們6次的測試成績，若要從中選一名測試成績穩(wěn)定的同學(xué)去參加競賽，則應(yīng)選 ．（填“小洋”或“小亮”）．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?吳江區(qū)期中）某種零件的標(biāo)準(zhǔn)直徑為10mm，從甲、乙兩臺機(jī)床加工的這種零件中各抽取5件，對其直徑進(jìn)行檢測，結(jié)果如下（單位：mm）：
甲機(jī)床：10.05，10.02，9.97，9.96，10.00；
乙機(jī)床：10.00，10.01，10.02，9.97，10.00．
（1）分別求這兩個(gè)樣本的方差；
（2）估計(jì)哪一臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量比較穩(wěn)定．
12．（2024秋?南京期中）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射靶10次，其中9環(huán)以上（含9環(huán)）為優(yōu)秀，將射擊結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：
（1）補(bǔ)充完成下面的統(tǒng)計(jì)表：
（2）甲同學(xué)說：“我的優(yōu)秀率比乙高，所以我的成績比乙好”；乙同學(xué)說：“我的成績比甲好”．寫出兩條支持乙同學(xué)觀點(diǎn)的理由．
13．（2024秋?昆山市期中）甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下：
（1）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是 環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是 環(huán)；
（2）求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；
（3）經(jīng)過計(jì)算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán)2．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，從集中趨勢和穩(wěn)定性兩個(gè)方面來考查兩人的成績，請你對甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平給出評價(jià)．
14．（2024秋?桃城區(qū)校級期中）某校從九年級男生中任意選取40人，隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)小組進(jìn)行“引體向上”體能測試，根據(jù)測試成績繪制出統(tǒng)計(jì)表和如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．
甲組成績統(tǒng)計(jì)表
（1）甲組成績的眾數(shù) 乙組成績的眾數(shù)（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求乙組的平均成績；
（3）這40個(gè)學(xué)生成績的中位數(shù)是 ；
（4）經(jīng)計(jì)算甲組成績的方差為0.81，乙組成績的方差為0.75，請你判斷哪個(gè)小組的成績比較整齊．
15．（2024秋?歷下區(qū)期中）某中學(xué)為選拔“校園形象代言人”，先后進(jìn)行了筆試和面試．在筆試中，甲、乙、丙三位同學(xué)脫穎而出，他們的筆試成績（滿分為100分）分別是87，85，90．在面試中，十位評委對甲、乙、丙三位同學(xué)的表現(xiàn)進(jìn)行打分，每位評委最高打10分，面試成績等于各位評委打分之和．對三位同學(xué)的面試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，并給出了相關(guān)信息．
c．甲、乙、丙三位同學(xué)面試情況統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求丙同學(xué)的面試成績p；
（3）通過比較方差，可判斷評委對學(xué)生面試表現(xiàn)評價(jià)的一致性程度．據(jù)此推斷評委對 同學(xué)的評價(jià)更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按筆試成績占40%，面試成績占60%選出綜合成績最高的同學(xué)是 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版八年級期末必刷常考題之?dāng)?shù)據(jù)的離散程度
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?昆山市期中）已知一組數(shù)據(jù)26，36，36，3■，41，其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字被墨水涂污，則下列統(tǒng)計(jì)量中仍能計(jì)算結(jié)果的是（ ）
A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；方差．
【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】D
【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和眾數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和中位數(shù)都與被涂污數(shù)字有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與被涂污數(shù)字無關(guān)，即36是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)或其中一個(gè)眾數(shù)．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查統(tǒng)計(jì)量的選擇，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2024秋?秦淮區(qū)期中）已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的平均數(shù)是x1，方差是s12，另一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，6的平均數(shù)是x2，方差是s22，則下列說法正確的是（ ）
A．x1=x2，s12=s22
B．x1≠x2，s12=s22
C．x1=x2，s12≠s22
D．x1≠x2，s12≠s22
【考點(diǎn)】方差；算術(shù)平均數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】分別計(jì)算出平均數(shù)和方差即可得出答案．
【解答】解：∵x1=1+2+3+4+55=3，
x2=2+3+4+5+65=4，
s12=15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
s 22=15[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2，
∴x1≠x2，s 12=s22．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了方差和算術(shù)平均數(shù)，熟練掌握方差和算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．
3．（2023秋?寶豐縣期末）對甲、乙、丙、丁四名射擊選手進(jìn)行射擊測試，每人射擊10次，平均成績均為9.5環(huán)，方差如表所示：則四名選手中成績最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．兩D．丁
【考點(diǎn)】方差；算術(shù)平均數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】B
【分析】根據(jù)方差越小越穩(wěn)定判斷即可．
【解答】解：因?yàn)橐业姆讲钭钚?，所以乙的成績最穩(wěn)定；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了方差的意義，解題關(guān)鍵是明確方差越小，波動越小．
4．（2024秋?長沙期中）如圖是長沙市一中現(xiàn)代舞蹈社團(tuán)20名成員的年齡分布統(tǒng)計(jì)表，數(shù)據(jù)不小心被撕掉一塊，仍能夠分析得出關(guān)于這20名成員年齡的統(tǒng)計(jì)量是（ ）
A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；方差．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可得出答案．
【解答】解：由于17歲和18歲的人數(shù)不確定，所以平均數(shù)、方差和眾數(shù)就不確定，
因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)有20個(gè)，中位數(shù)為第10個(gè)和11個(gè)的平均數(shù)：16+162=16，
所以仍能夠分析得出關(guān)于這20名成員年齡的統(tǒng)計(jì)量是中位數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計(jì)量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2024秋?南京期中）小明在處理一組數(shù)據(jù)“12，12，28，15，■”時(shí)，不小心將其中一個(gè)數(shù)據(jù)污染了，只記得該數(shù)據(jù)在20～30之間，則“■”在范圍內(nèi)無論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
【考點(diǎn)】方差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】B
【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差定義，判斷四個(gè)數(shù)據(jù)中只改變一個(gè)數(shù)據(jù)，各統(tǒng)計(jì)量的是否變化．
【解答】解：一組數(shù)據(jù)“12，12，28，15，■”，該數(shù)據(jù)■在20～30之間，
五個(gè)數(shù)據(jù)的和隨數(shù)據(jù)■的變化而變化，所以平均數(shù)是變化的，故選項(xiàng)A不符合題意；
中位數(shù)是15，不變，故選項(xiàng)B符合題意；
眾數(shù)也可能變化，故選項(xiàng)C不符合題意；
因?yàn)槠骄鶖?shù)改變，方差隨著改變，故選項(xiàng)D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義，比較各量是否變化．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?阜寧縣期中）數(shù)據(jù)﹣1、0、1、2、3、7的極差是 8 ．
【考點(diǎn)】極差．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】8．
【分析】根據(jù)極差的定義，用最大數(shù)減去最小數(shù)即可
【解答】解：根據(jù)題意可知，這組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是7，最小的數(shù)是﹣1，
∴這組數(shù)據(jù)的極差為：7﹣（﹣1）＝7+1＝8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查了極差，掌握極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差是關(guān)鍵．
7．（2024秋?歷下區(qū)期中）“科學(xué)用眼，保護(hù)視力”是青少年珍愛生命的具體表現(xiàn)．某班50名同學(xué)的視力檢查數(shù)據(jù)如表所示，其中有兩個(gè)數(shù)據(jù)被墨汁遮蓋了，以下關(guān)于視力的統(tǒng)計(jì)量中可以確定的是 ② （填寫正確的序號）．
①平均數(shù)
②眾數(shù)
③方差
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇；加權(quán)平均數(shù)；眾數(shù)；方差．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】②．
【分析】通過計(jì)算視力為4.9、5.0的人數(shù)，進(jìn)行判斷，不影響視力出現(xiàn)次數(shù)最多的結(jié)果，因此不影響眾數(shù)，同時(shí)不影響找第25、26位數(shù)據(jù)，因此不影響中位數(shù)的計(jì)算，進(jìn)而進(jìn)行選擇．
【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可知，成績?yōu)?.9、5.0的人數(shù)為50﹣（3+3+6+9+12+10）＝7（人），
視力為4.7出現(xiàn)次數(shù)最多，因此視力的眾數(shù)是4.7，
視力從小到大排列后處在第25、26位的兩個(gè)數(shù)都是4.7，因此中位數(shù)是4.7，
因此中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)，即關(guān)于視力的統(tǒng)計(jì)量中可以確定的是中位數(shù)和眾數(shù)．
故答案為：②．
【點(diǎn)評】考查中位數(shù)、眾數(shù)、方差、平均數(shù)的意義和計(jì)算方法，理解各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際意義，以及每個(gè)統(tǒng)計(jì)量所反應(yīng)數(shù)據(jù)的特征，是正確判斷的前提．
8．（2024?朝陽區(qū)校級一模）農(nóng)科院計(jì)劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時(shí)，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題．為了解甲、乙兩種玉米的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如圖．則甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的方差大小關(guān)系為S甲2 ＞ S乙2．（填“＜”或“＞”）
【考點(diǎn)】方差．
【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】＞．
【分析】據(jù)從圖中數(shù)據(jù)的波動情況分析．
【解答】解：從圖中看到，甲種甜玉米產(chǎn)量的波動比乙的波動大，故甲的方差比乙大，即S甲2＞S乙2．
故答案為：＞．
【點(diǎn)評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
9．（2024秋?建鄴區(qū)期中）某校國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)原來有5名學(xué)生，身高（單位：cm）分別為173，174，174，174，175，若增加一位身高為174的學(xué)生，則國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)學(xué)生身高的方差會 變小 ．（填“變大”“變小”或“不變”）
【考點(diǎn)】方差．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】變小．
【分析】先求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算，最后比較即可．
【解答】解：原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：15×（173+174+174+174+175）＝174（cm），
則這5名學(xué)生身高的方差為15×[（173﹣174）2+3×（174﹣174）2+（175﹣174）2]＝0.4（cm2），
增加學(xué)生后的數(shù)據(jù)平均數(shù)為：16×（173+174+174+174+175+174）＝174（cm），
則這6名學(xué)生身高的方差為16×[（173﹣174）2+4×（174﹣174）2+（175﹣174）2]=13（cm2），
∵13＜0.4，
∴國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)學(xué)生身高的方差會變小．
故答案為：變?。?br>【點(diǎn)評】此題考查了方差，熟練掌握方差公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?淅川縣二模）為迎接全市的禁毒知識競賽，某校進(jìn)行了相關(guān)知識測試，經(jīng)過層層預(yù)賽，小洋和小亮進(jìn)入了最后的決賽．如圖，是他們6次的測試成績，若要從中選一名測試成績穩(wěn)定的同學(xué)去參加競賽，則應(yīng)選 小亮 ．（填“小洋”或“小亮”）．
【考點(diǎn)】方差．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；幾何直觀；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】小亮．
【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖的波動情況可判斷兩名同學(xué)誰的成績更加穩(wěn)定．
【解答】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可得，
小洋的波動大，小亮的波動小，
∴小亮的成績更加穩(wěn)定，
∴應(yīng)選小亮．
故答案為：小亮．
【點(diǎn)評】本題考查方差與折線統(tǒng)計(jì)圖，掌握折線統(tǒng)計(jì)圖的意義是解答本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?吳江區(qū)期中）某種零件的標(biāo)準(zhǔn)直徑為10mm，從甲、乙兩臺機(jī)床加工的這種零件中各抽取5件，對其直徑進(jìn)行檢測，結(jié)果如下（單位：mm）：
甲機(jī)床：10.05，10.02，9.97，9.96，10.00；
乙機(jī)床：10.00，10.01，10.02，9.97，10.00．
（1）分別求這兩個(gè)樣本的方差；
（2）估計(jì)哪一臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量比較穩(wěn)定．
【考點(diǎn)】方差．
【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】（1）甲的方差為0.00108；乙的方差為0.00028；
（2）乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量比較穩(wěn)定．
【分析】（1）根據(jù)所給的兩組數(shù)據(jù)，分別求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式求兩組數(shù)據(jù)的方差，根據(jù)極差的定義用最大值減去最小值即可．
（2）根據(jù)甲的方差大于乙的方差，即可得出乙機(jī)床生產(chǎn)的零件穩(wěn)定性更好一些．
【解答】解：（1）甲機(jī)床的平均數(shù)為：15×（10.05+10.02+9.97+9.96+10.00）＝10；
甲機(jī)床的方差為s2甲=15×[（10.05﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（9.96﹣10）2+（10.00﹣10）2]＝0.00108；
乙機(jī)床的平均數(shù)是：15×（10.00+10.01+10.02+9.97+10.00）＝10，
乙機(jī)床的方差為s2乙=15×[（10.00﹣10）2+（10.01﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（10.00﹣10）2]＝0.00028．
（2）∵s2甲＞s2乙，
∴乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量比較穩(wěn)定．
【點(diǎn)評】本題考查方差，解題關(guān)鍵是正確記憶一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為x，則方差S2=1n[（x1?x）2+（x2?x）2+…+（xn?x）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
12．（2024秋?南京期中）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射靶10次，其中9環(huán)以上（含9環(huán)）為優(yōu)秀，將射擊結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：
（1）補(bǔ)充完成下面的統(tǒng)計(jì)表：
（2）甲同學(xué)說：“我的優(yōu)秀率比乙高，所以我的成績比乙好”；乙同學(xué)說：“我的成績比甲好”．寫出兩條支持乙同學(xué)觀點(diǎn)的理由．
【考點(diǎn)】方差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】（1）7，2.2，7；
（2）答案見解析．
【分析】（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)、方差、中位數(shù)的定義解答即可；
（2）從優(yōu)秀率、中位數(shù)和方差的意義解答即可．
【解答】解：（1）乙命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：5×1+6×2+7×4+8×2+9×110=7，
甲命中環(huán)數(shù)的方差為：110×[（5﹣7）2+4×（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝2.2，
∵乙射靶10次射中的環(huán)數(shù)中處于中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)為7，7，
∴乙命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)為：7+72=7．
故答案為：7，2.2，7；
（2）①乙同學(xué)的方差小于甲同學(xué)，則乙同學(xué)的成績比較穩(wěn)定；
②乙同學(xué)的中位數(shù)大于甲同學(xué)，則乙同學(xué)命中環(huán)數(shù)的高分較多．
【點(diǎn)評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)、方差、中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練加權(quán)平均數(shù)、方差、中位數(shù)的定義和意義．
13．（2024秋?昆山市期中）甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下：
（1）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是 7 環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是 6 環(huán)；
（2）求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；
（3）經(jīng)過計(jì)算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán)2．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，從集中趨勢和穩(wěn)定性兩個(gè)方面來考查兩人的成績，請你對甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平給出評價(jià)．
【考點(diǎn)】方差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】（1）7；6；（2）7；2；（3）甲的射擊水平更好一些，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義即可得出答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算即可得出答案；
（3）從集中趨勢和穩(wěn)定性兩個(gè)方面來考查兩人的成績．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，把甲學(xué)生10次射擊命中的環(huán)數(shù)從小到大排列后，第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)都是7，
所以甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是7+72=7，
乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)最多的是6環(huán)，所以眾數(shù)是6；
故答案為：7；6；
（2）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：110×（5×2+6+7×4+8×2+10）＝7，
甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的方差為：
S甲^2110×[2×（7﹣5）2+（7﹣6）2+4×（7﹣7）2+2×（7﹣8）2+（7﹣10）2]＝2；
（3）從平均水平看，甲、乙兩名學(xué)生射擊的環(huán)數(shù)平均數(shù)均為7環(huán)，成績一樣；
從離散程度看，S2甲＜S2乙，甲的成績比乙更加穩(wěn)定；
從集中趨勢看，甲的眾數(shù)比乙大，甲的中位數(shù)也比乙大；
所以甲的射擊水平更好一些．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，掌握相應(yīng)的定義是關(guān)鍵．
14．（2024秋?桃城區(qū)校級期中）某校從九年級男生中任意選取40人，隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)小組進(jìn)行“引體向上”體能測試，根據(jù)測試成績繪制出統(tǒng)計(jì)表和如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．
甲組成績統(tǒng)計(jì)表
（1）甲組成績的眾數(shù) ＝ 乙組成績的眾數(shù)（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求乙組的平均成績；
（3）這40個(gè)學(xué)生成績的中位數(shù)是 8 ；
（4）經(jīng)計(jì)算甲組成績的方差為0.81，乙組成績的方差為0.75，請你判斷哪個(gè)小組的成績比較整齊．
【考點(diǎn)】方差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）＝；
（2）8.5分；
（3）8；
（4）乙組．
【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)是所給數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)分別求解甲乙兩組的眾數(shù)即可解答；
（2）根據(jù)平均數(shù)的求解方法求解即可；
（3）將40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第20個(gè)和21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)；
（4）根據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，成績越整齊求解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)，甲組成績的眾數(shù)為8分，乙組成績的眾數(shù)為8分，
∴甲組成績的眾數(shù)＝乙組成績的眾數(shù)；
故答案為：＝；
（2）7×2+8×9+9×6+10×32+9+6+3=8.5（分），
∴乙組的平均成績?yōu)?.5分；
（3）將甲乙兩組成績的40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人，
∴第20個(gè)和21個(gè)數(shù)據(jù)都是8分，
∴這40個(gè)學(xué)生成績的中位數(shù)是8+82=8；
（4）∵甲組成績的方差為0.81，乙組成績的方差為0.75，0.81＞0.75，
∴乙組的成績比較整齊．
【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表、眾數(shù)、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)以及方差，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取有用數(shù)據(jù)是解答的關(guān)鍵．
15．（2024秋?歷下區(qū)期中）某中學(xué)為選拔“校園形象代言人”，先后進(jìn)行了筆試和面試．在筆試中，甲、乙、丙三位同學(xué)脫穎而出，他們的筆試成績（滿分為100分）分別是87，85，90．在面試中，十位評委對甲、乙、丙三位同學(xué)的表現(xiàn)進(jìn)行打分，每位評委最高打10分，面試成績等于各位評委打分之和．對三位同學(xué)的面試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，并給出了相關(guān)信息．
c．甲、乙、丙三位同學(xué)面試情況統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）m＝ 9 ，n＝ 8 ；
（2）求丙同學(xué)的面試成績p；
（3）通過比較方差，可判斷評委對學(xué)生面試表現(xiàn)評價(jià)的一致性程度．據(jù)此推斷評委對 乙 同學(xué)的評價(jià)更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按筆試成績占40%，面試成績占60%選出綜合成績最高的同學(xué)是 乙 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【考點(diǎn)】方差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；運(yùn)算能力．
【答案】（1）9，8；（2）83；（3）乙；（4）乙．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案；
（2）把十位評委的打分相加可得答案；
（3）根據(jù)方差的意義解答即可；
（4）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）把甲的得分從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是9，9，故中位數(shù)m=9+92=9，
由扇形圖可知丙的得分8分的最多，故眾數(shù)n＝8；
故答案為：9，8；
（2）6×10×20%+8×10×40%+9×10×10%+10×10×30%＝83，
答：丙同學(xué)的面試成績p為83；
（3）由題意可知，甲的方差比丙的小，由折線統(tǒng)計(jì)圖可知乙的得分的波動比甲小，所以評委對乙同學(xué)的評價(jià)更一致；
故答案為：乙；
（4）甲的綜合成績?yōu)椋?7×40%+85×60%＝85.8（分），
乙的綜合成績?yōu)椋?5×40%+87×60%＝86.2（分），
丙的綜合成績?yōu)椋?0×40%+83×60%＝85.8（分），
86.2＞85.8，
所以綜合成績最高的是乙．
故答案為：乙．
【點(diǎn)評】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)、眾數(shù)、方差以及加權(quán)平均數(shù)，理解中位數(shù)、方差的意義和計(jì)算方法是正確解答的前提．
考點(diǎn)卡片
1．算術(shù)平均數(shù)
（1）平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo)．
（2）算術(shù)平均數(shù)：對于n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，則x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．
（3）算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)．
2．加權(quán)平均數(shù)
（1）加權(quán)平均數(shù)：若n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，w3，…，wn，則x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)．
（2）權(quán)的表現(xiàn)形式，一種是比的形式，如4：3：2，另一種是百分比的形式，如創(chuàng)新占50%，綜合知識占30%，語言占20%，權(quán)的大小直接影響結(jié)果．
（3）數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，要突出某個(gè)數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”，權(quán)的差異對結(jié)果會產(chǎn)生直接的影響．
（4）對于一組不同權(quán)重的數(shù)據(jù)，加權(quán)平均數(shù)更能反映數(shù)據(jù)的真實(shí)信息．
3．中位數(shù)
（1）中位數(shù)：
將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息．
（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其趨勢．
4．眾數(shù)
（1）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
（2）求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù)．
（3）眾數(shù)不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響．眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，眾數(shù)可作為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量．．
5．極差
（1）極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差．
極差＝最大值﹣?zhàn)钚≈担?br>（2）極差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量．它只能反映數(shù)據(jù)的波動范圍，不能衡量每個(gè)數(shù)據(jù)的變化情況．
（3）極差的優(yōu)勢在于計(jì)算簡單，但它受極端值的影響較大．
6．方差
（1）方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差，通常用s2來表示，計(jì)算公式是：
s2=1n[（x1?x）2+（x2?x）2+…+（xn?x）2]（可簡單記憶為“方差等于差方的平均數(shù)”）
（3）方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
7．統(tǒng)計(jì)量的選擇
（1）一般而言，一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定．但這并不是絕對的，有時(shí)多數(shù)數(shù)據(jù)相對集中，整體波動水平較小，但個(gè)別數(shù)據(jù)的偏離仍可能極大地影響極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差的值．從而導(dǎo)致這些量度數(shù)值較大，因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體問題情景進(jìn)行具體分析，選用適當(dāng)?shù)牧慷瓤坍嫈?shù)據(jù)的波動情況，一般來說，只有在兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近時(shí)，才用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小．
（2）平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和極差、方差在描述數(shù)據(jù)時(shí)的區(qū)別：①數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征量，極差、方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小（即波動大?。┑奶卣鲾?shù)，描述了數(shù)據(jù)的離散程度．②極差和方差的不同點(diǎn)：極差表示一組數(shù)據(jù)波動范圍的大小，一組數(shù)據(jù)極差越大，則它的波動范圍越大；方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度的大?。讲睿ɑ驑?biāo)準(zhǔn)差）越大，數(shù)據(jù)的歷算程度越大，穩(wěn)定性越小；反之，則離散程度越小，穩(wěn)定性越好．選手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
視力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人數(shù)
3
3
6
9
12
10


命中環(huán)數(shù)
5
6
7
8
9
10
甲命中環(huán)數(shù)的次數(shù)
1
4
2
1
1
1
乙命中環(huán)數(shù)的次數(shù)
1
2
4
2
1
0
平均分
方差
中位數(shù)
優(yōu)秀率
甲
7

6.5
20%
乙

1.2

10%
命中的環(huán)數(shù)/環(huán)
5
6
7
8
9
10
甲命中次數(shù)
2
1
4
2
0
1
乙命中次數(shù)
1
4
2
1
1
1
成績/分
7
8
9
10
人數(shù)/人
1
9
5
5
同學(xué)
評委打分的中位數(shù)
評委打分的眾數(shù)
面試成績
方差
甲
m
9和10
85
1.85
乙
8.5
8
87
s2
丙
8
n
p
2.01
選手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
視力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人數(shù)
3
3
6
9
12
10


命中環(huán)數(shù)
5
6
7
8
9
10
甲命中環(huán)數(shù)的次數(shù)
1
4
2
1
1
1
乙命中環(huán)數(shù)的次數(shù)
1
2
4
2
1
0
平均分
方差
中位數(shù)
優(yōu)秀率
甲
7
2.2
6.5
20%
乙
7
1.2
7
10%
命中的環(huán)數(shù)/環(huán)
5
6
7
8
9
10
甲命中次數(shù)
2
1
4
2
0
1
乙命中次數(shù)
1
4
2
1
1
1
成績/分
7
8
9
10
人數(shù)/人
1
9
5
5
同學(xué)
評委打分的中位數(shù)
評委打分的眾數(shù)
面試成績
方差
甲
m
9和10
85
1.85
乙
8.5
8
87
s2
丙
8
n
p
2.01

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