A．a：b：c＝7：25：24B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．（2024秋?惠城區(qū)期中）制作一直角三角板，下列長度可以采用的是（ ）
A．4cm，5cm，6cmB．3cm，4cm，5cm
C．8cm，9cm，10cmD．1cm，2cm，3cm
3．（2024秋?江陰市期中）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為9，短直角邊為4，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（ ）
A．56B．60C．65D．75
4．（2024秋?滎陽市期中）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長為16cm．在容器內壁距離容器底部3cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm的點A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為（ ）cm（不計壁厚）．
A．413B．273C．10D．20
5．（2024秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（ ）
A．100B．80C．48D．24
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?江陰市期中）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，BC＝15，則AB的長為 ．
7．（2024秋?寶安區(qū)期中）如圖，一天傍晚，小方和家人去小區(qū)遛狗，小方觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時，牽繩的手離地面高度為AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗與小方的距離AC＝2.4米．（繩子一直是直的）牽狗繩BD的長 ．
8．（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長為10cm．在容器內壁距離容器底部3cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為 cm（不計壁厚）．
9．（2024秋?杭州期中）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，則BC＝ ．
10．（2024秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，長方體盒子的長、寬、高分別為5cm、4cm、6cm，在AE中點M處有一滴蜜糖，有一只小蟲沿盒子表面（每個面均可爬）從G點爬到M點去吃，則最短路線長為 ．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?寶安區(qū)期中）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經濟的不斷發(fā)展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響．（1）在飛機飛行過程中，求飛機距離著火點C的最短距離；
（2）若該飛機的速度為14m/s，要想撲滅著火點C估計需要15秒，請你通過計算說明著火點C能否被飛機撲滅．
12．（2024秋?江陰市期中）在一條東西走向河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．
（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：CH與AB是否垂直？）請通過計算加以說明；
（2）求原來的路線AC的長．
13．（2024秋?閩侯縣期中）在數(shù)學實驗課上，老師拿出一塊如圖所示的殘缺圓形工件，讓同學們運用已學知識，借助一些實驗器材測出此殘缺圓形工件的半徑，小明的做法是：在工件圓弧上取A，B兩點，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點C，交AB于點D，測出AB＝20cm，CD＝5cm，請你根據(jù)小明的做法，求出圓形工件的半徑．
14．（2024春?宣化區(qū)期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，四邊形ABCD的頂點均在格點上．
（1）求證：△ACD是直角三角形；
（2）求四邊形ABCD的面積．
15．（2023秋?渾南區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是邊AB上一點，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的長；
（2）求△ABC中BC邊上的高．
2024-2025學年上學期初中數(shù)學北師大版八年級期末必刷?？碱}之勾股定理
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?鄞州區(qū)期中）下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝7：25：24B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理和三角形內角和定理即可求解．
【解答】解：A、設a＝7x，b＝25x，c＝24x，則a2+c2＝（7x）2+（24x）2＝625x2＝（25x）2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故本選項不符合題意；
B、b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，則b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故本選項不符合題意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠C+∠B，
∴∠A+∠C+∠B＝2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故本選項不符合題意；
D、設∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題主要考查了勾股定理逆定理和三角形內角和定理，熟練掌握若一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形是解題的關鍵．
2．（2024秋?惠城區(qū)期中）制作一直角三角板，下列長度可以采用的是（ ）
A．4cm，5cm，6cmB．3cm，4cm，5cm
C．8cm，9cm，10cmD．1cm，2cm，3cm
【考點】勾股定理的逆定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】在三角形中，若兩較小邊的長的平方和等于最大邊的長的平方，那么這個三角形是直角三角形，據(jù)此求解即可．
【解答】解：A、∵42+52≠62，
∴4cm，5cm，6cm這三個長度不符合直角三角形三邊關系，不符合題意；
B、∵32+42＝52，
∴3cm，4cm，5cm這三個長度符合直角三角形三邊關系，符合題意；
C、∵82+92≠102，
∴8cm，9cm，10cm這三個長度不符合直角三角形三邊關系，不符合題意；
D、∵12+22≠32，
∴1cm，2cm，3cm這三個長度不符合直角三角形三邊關系，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題主要考查了勾股定理的逆運算，熟練掌握勾股定理的逆定理是關鍵．
3．（2024秋?江陰市期中）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為9，短直角邊為4，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（ ）
A．56B．60C．65D．75
【考點】勾股定理的證明．
【專題】三角形；運算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】如解答圖，易得BD＝5，則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面積公式計算即可．
【解答】解：如圖，
由題意可知，AB＝CD＝4，BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，
則中間小正方形的面積為5×5＝25，
小正方形的外陰影部分的4S△ABD＝4×12×5×4=40，
∴陰影部分的面積為25+40＝65．
故選：C．
【點評】本題主要考查勾股定理中的趙爽弦圖模型、三角形和正方形面積公式，將圖中陰影部分的面積分割成一個正方形的面積加上四個全等三角形的面積是解題關鍵．
4．（2024秋?滎陽市期中）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長為16cm．在容器內壁距離容器底部3cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm的點A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為（ ）cm（不計壁厚）．
A．413B．273C．10D．20
【考點】平面展開﹣最短路徑問題．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力；應用意識．
【答案】A
【分析】將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．
【解答】解：如圖：∵高為12cm，底面周長為16cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一蚊子，
此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與蚊子相對的點A處，
∴A′D＝8cm，BD＝12cm，
∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，
連接A′B，則A′B即為最短距離，
A′B=A′D2+BD2=82+122=413（cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距離為413cm．
故選：A．
【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．
5．（2024秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（ ）
A．100B．80C．48D．24
【考點】勾股定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式即可得到結論．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2＝82+62＝100，
∴正方形的面積＝AB2＝100，
故選：A．
【點評】本題考查了勾股定理、正方形的面積計算等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?江陰市期中）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，BC＝15，則AB的長為 20 ．
【考點】勾股定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】20．
【分析】由勾股定理求出AC2，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的長即可．
【解答】解：如圖，連接AC，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD2＝72+242，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=AC2?BC2=72+242?152=20，
故答案為：20．
【點評】本題考查了勾股定理，熟記勾股定理是解題的關鍵．
7．（2024秋?寶安區(qū)期中）如圖，一天傍晚，小方和家人去小區(qū)遛狗，小方觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時，牽繩的手離地面高度為AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗與小方的距離AC＝2.4米．（繩子一直是直的）牽狗繩BD的長 2.6米 ．
【考點】勾股定理的應用．
【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．
【答案】2.6米．
【分析】過點D作DE⊥AB于點E，可得DE＝AC＝2.4，AE＝CD＝0.3，DE＝1，再根據(jù)勾股定理求解即可
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，
則AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，
∴BE＝AB﹣AE＝1米，
∴BD=BE2+DE2=12+2．42=2.6（米）．
所以此時牽狗繩BD的長為2.6米．
故答案為：2.6米．
【點評】本題考查勾股定理的應用，理解并掌握勾股定理是解決問題的關鍵．
8．（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長為10cm．在容器內壁距離容器底部3cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為 13 cm（不計壁厚）．
【考點】平面展開﹣最短路徑問題．
【答案】見試題解答內容
【分析】將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．
【解答】解：如圖：∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一蚊子，
此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與蚊子相對的點A處，
∴A′D＝5cm，BD＝12cm，
∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，
連接A′B，則A′B即為最短距離，
A′B=A′D2+BD2=52+122=13（Cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距離為13Cm．
故答案為：13．
【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．
9．（2024秋?杭州期中）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，則BC＝ 3或41 ．
【考點】勾股定理．
【專題】分類討論；等腰三角形與直角三角形；運算能力．
【答案】3或41．
【分析】分兩種情況，①當AB為斜邊時，②當AB為直角邊時，分別由勾股定理求出BC的長即可．
【解答】解：分兩種情況：
①當AB為斜邊時，由勾股定理得：BC=AB2?AC2=52?42=3；
②當AB為直角邊時，由勾股定理得：BC=AB2+AC2=52+42=41；
綜上所述，BC的長為3或41，
故答案為：3或41．
【點評】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理和分類討論是解題的關鍵．
10．（2024秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，長方體盒子的長、寬、高分別為5cm、4cm、6cm，在AE中點M處有一滴蜜糖，有一只小蟲沿盒子表面（每個面均可爬）從G點爬到M點去吃，則最短路線長為 74cm ．
【考點】平面展開﹣最短路徑問題．
【專題】等腰三角形與直角三角形；展開與折疊；幾何直觀；運算能力．
【答案】74cm．
【分析】分三種情況將長方體的側面展開，根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：分三種情況展開：
①如圖1，展開前面和右側面，連接GM，
在Rt△GEM中，GE＝GF+EF＝5+4＝9（cm），EM=12AE＝3（cm），
由勾股定理，得GM=GE2+EM2=92+32=310（cm）；
②如圖2，展開下面和后面，連接GM，
在Rt△GFM中，GF＝5cm，F(xiàn)M＝FE+EM＝4+3＝7（cm），
由勾股定理，得GM=GF2+FM2=52+72=74（cm），
③如圖3，展開下面和右側面，連接GM，
在Rt△GFM中，GH＝4cm，HM＝HE+EM＝5+3＝8（cm），
由勾股定理，得GM=GH2+HM2=42+82=45（cm），
∵74＜45＜310，
∴從G處爬到M處的最短路程是74cm，
故答案為：74cm．
【點評】本題考查平面展開﹣最短路徑問題，勾股定理，解答本題的關鍵是分情況畫出圖形，并知道應求出哪一條線段的長．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?寶安區(qū)期中）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經濟的不斷發(fā)展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響．（1）在飛機飛行過程中，求飛機距離著火點C的最短距離；
（2）若該飛機的速度為14m/s，要想撲滅著火點C估計需要15秒，請你通過計算說明著火點C能否被飛機撲滅．
【考點】勾股定理的應用；勾股定理的逆定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；應用意識．
【答案】（1）著火點C受灑水影響，理由見解析；
（2）著火點C能被撲滅，理由見解析．
【分析】（1）過點C作CD⊥AB于點D，先根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的面積計算出CD的長，與500比較即可得出結論；
（2）當EC＝FC＝500m時求出ED的長，進而得出EF的長，再根據(jù)路程、速度、時間之間的關系即可求出時間，從而作出判斷．
【解答】解：（1）如圖，過點C作CD⊥AB于點D，
∵AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，
∴AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12AC?BC=12AB?CD，
∴CD=600×8001000=480（m），
因為飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響，480＜500，
所以著火點C受灑水影響；
（2）如圖，當EC＝FC＝500m時，飛機正好噴到著火點C，
∴ED＝DE，
在Rt△CDE中，ED=CE2?CD2=5002?4802=140（m），
所以EF＝2ED＝280m．
因為飛機的速度為14m/s，
所以280÷14＝20（s），
20秒＞15秒，
答：著火點C能被撲滅．
【點評】本題考查了勾股定理及逆定理的應用，熟練掌握這兩個定理是解題的關鍵．
12．（2024秋?江陰市期中）在一條東西走向河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．
（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：CH與AB是否垂直？）請通過計算加以說明；
（2）求原來的路線AC的長．
【考點】勾股定理的應用．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；應用意識．
【答案】（1）CH是從村莊C到河邊的最近路，理由見解析；
（2）原來的路線AC的長為256千米．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°，則CH⊥AB，然后由垂線段最短即可得出結論；
（2）設AC＝x千米，則AB＝x千米，AH＝AB﹣HB＝（x﹣3）千米，然后在Rt△ACH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）CH是為從村莊C到河邊的最近路，理由如下：
∵42+32＝52，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH是從村莊C到河邊的最近路；
（2）設AC＝x千米，則AB＝x千米，
∴AH＝AB﹣HB＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x=256，
答：原來的路線AC的長為256千米．
【點評】本題考查了勾股定理的應用以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
13．（2024秋?閩侯縣期中）在數(shù)學實驗課上，老師拿出一塊如圖所示的殘缺圓形工件，讓同學們運用已學知識，借助一些實驗器材測出此殘缺圓形工件的半徑，小明的做法是：在工件圓弧上取A，B兩點，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點C，交AB于點D，測出AB＝20cm，CD＝5cm，請你根據(jù)小明的做法，求出圓形工件的半徑．
【考點】勾股定理的應用；線段垂直平分線的性質．
【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力．
【答案】252cm．
【分析】連接OA，設圓的半徑為r cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理進行求解即可．
【解答】解：連接OA，設圓的半徑為r cm，
則：OA＝OC＝r cm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣5）cm，AD=12AB=12×20＝10（cm），
在Rt△AOD中，AO2＝AD2+DO2，
∴r2＝102+（r﹣5）2，
∴r=252cm；
∴圓形工件的半徑為252cm．
【點評】本題主要考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理和勾股定理構造方程是解題關鍵．
14．（2024春?宣化區(qū)期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，四邊形ABCD的頂點均在格點上．
（1）求證：△ACD是直角三角形；
（2）求四邊形ABCD的面積．
【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）見解析；
（2）13．
【分析】（1）由勾股定理得出AC、CD、AD的長，再由勾股定理逆定理進行判斷即可；
（2）根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD計算即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：AC=42+22=25，CD=22+12=5，AD=32+42=5．
∵AC2+CD2=(25)2+(5)2=25=52=AD2．
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形．
（2）S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×4×4+12×5×25=8+5=13．
【點評】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理，三角形面積公式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
15．（2023秋?渾南區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是邊AB上一點，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的長；
（2）求△ABC中BC邊上的高．
【考點】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性質；勾股定理．
【專題】幾何圖形；等腰三角形與直角三角形；運算能力．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，再根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質得出BE＝CE＝10cm，根據(jù)勾股定理求出AE即可．
【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
設AD＝x cm，則AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x=143，
即AD=143cm；
（2）AB＝AC=143+12=503（cm），
過A作AE⊥BC于E，則AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=AB2?BE2=(503)2?102=403（cm），
即△ABC中BC邊上的高是403cm．
【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質和勾股定理的逆定理等知識點，能根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠BDC＝90°是解此題的關鍵．
考點卡片
1．三角形內角和定理
（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
（3）三角形內角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．
（4）三角形內角和定理的應用
主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．
2．線段垂直平分線的性質
（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．
（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段． ②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． ③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．
3．等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a=c2?b2，b=c2?a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
5．勾股定理的證明
（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．
（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．
6．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．
說明：
①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．
注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
7．勾股定理的應用
（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．
（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．
②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．
③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．
④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．
8．平面展開-最短路徑問題
（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．
（2）關于數(shù)形結合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結合，所以我們在解決有關結合問題時的關鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學模型．

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