A．58°B．48°C．26°D．32°
2．（2024秋?長沙期中）如圖，直線AB∥CD，且AC⊥CB于點C，若∠BAC＝25°，則∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
3．（2024春?天津期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，則∠4等于（ ）
A．108°B．82°C．80°D．72°
4．（2024?東莞市校級三模）電動曲臂式高空作業(yè)車在高空作業(yè)時只需一個人就可操作機器連續(xù)完成升降、前進、后退、轉向等動作，極大地減少了操作人員的數(shù)量和勞動強度．如圖所示是一輛正在工作的電動曲臂式高空作業(yè)車，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
5．（2024秋?廣南縣校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，交AB于點E，DF∥AB，交AC于點F，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?武進區(qū)期中）如圖，點F是∠ABC的平分線BM上一點，E在AC上，且EF∥AB．若∠CEF＝40°，則∠BFE的大小為 °．
7．（2024秋?江南區(qū)期中）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1＝145°，∠3＝60°，則∠2的度數(shù)為 ．
8．（2024秋?金牛區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABF，∠DCF＝∠ECF，已知∠F﹣∠E＝15°，則∠ABE+∠DCF＝ 度．
9．（2024春?湛江期中）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在D'、C'的位置上，若∠EFB＝65°，則∠AED'＝ °．
10．（2024?太平區(qū)二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE過點C且平行于AB，若∠BCE＝35°，則∠A的度數(shù)為 度．
三．解答題（共5小題）
11．（2024春?魚臺縣期末）如圖，AB∥DC，AC和BD相交于點O，E是CD上一點，F(xiàn)是OD上一點，且∠1＝∠A．
（1）求證：FE∥OC；
（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度數(shù)．
12．（2024秋?市南區(qū)校級期中）如圖，∠A+∠D＝180°，CD∥EF．若∠CFE＝75°，求∠B的度數(shù)．
13．（2024秋?市南區(qū)校級期中）如圖，DB⊥BC于點B，EF⊥BC于點F，∠1＝∠2，試說明AB∥DC．請補充完整下面的說理過程：
解：AB∥DC，理由如下：因為DB⊥BC，EF⊥BC，
所以∠DBC＝∠EFB＝90°（① ），
所以∠DBC+∠EFB＝180°，所以DB∥EF（② ），
所以∠BDC＝∠2（③ ），
又因為∠1＝∠2（已知）所以④ （等量代換），
所以AB∥DC（⑤ ）．
14．（2024秋?和靜縣校級期中）已知：如圖所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA＝52°，求∠BEF的度數(shù)．
15．（2024秋?吳忠期中）（1）如圖1，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求證：∠BFE＝∠FEC；
（2）如圖2，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求證：∠AFC=34∠AEC．
2024-2025學年上學期初中數(shù)學北師大版八年級期末必刷?？碱}之平行線的性質(zhì)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?深圳校級期中）光從空氣斜射入水中，傳播方向會發(fā)生變化．如圖，表示水面的直線AB與表示水底的直線CD平行，光線EF從空氣射入水中，改變方向后射到水底G處，F(xiàn)H是EF的延長線，若∠1＝42°，∠2＝16°，則∠CGF的度數(shù)是（ ）
A．58°B．48°C．26°D．32°
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】A
【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定義得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故選：A．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠CGF+∠AFG＝180°．
2．（2024秋?長沙期中）如圖，直線AB∥CD，且AC⊥CB于點C，若∠BAC＝25°，則∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【考點】平行線的性質(zhì)；垂線．
【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．
【答案】B
【分析】因為AC⊥CB，所以∠ACB＝90°，由三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABC，再由平行線的性質(zhì)可知∠BCD＝∠ABC．
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝65°．
故選：B．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關鍵是結合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的轉化和計算．
3．（2024春?天津期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，則∠4等于（ ）
A．108°B．82°C．80°D．72°
【考點】平行線的判定與性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】D
【分析】由已知和鄰補角互補易得∠5＝∠2，則a∥b，所以∠6+∠4＝180°，再根據(jù)對頂角相等可得∠6的度數(shù)，即可求出∠4的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
∵∠5+∠1＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠5＝∠2，
∴a∥b，
∴∠6+∠4＝180°，
∵∠6＝∠3＝108°，
∴∠4＝180°﹣108°＝72°．
故選：D．
【點評】此題考查平行線的判定和性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．要靈活應用，同時考查了鄰補角與對頂角的性質(zhì)．
4．（2024?東莞市校級三模）電動曲臂式高空作業(yè)車在高空作業(yè)時只需一個人就可操作機器連續(xù)完成升降、前進、后退、轉向等動作，極大地減少了操作人員的數(shù)量和勞動強度．如圖所示是一輛正在工作的電動曲臂式高空作業(yè)車，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】B
【分析】先利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABC＝∠C＝60°，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠D＝120°，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DEF＝∠D＝120°，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∵BC∥DE，
∴∠D＝180°﹣∠C＝120°，
∵EF∥CD，
∴∠DEF＝∠D＝120°，
故選：B．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
5．（2024秋?廣南縣校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，交AB于點E，DF∥AB，交AC于點F，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】C
【分析】由題意得∠1＝∠CAD，∠2＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴由平行線的性質(zhì)得，∠1＝∠CAD，∠2＝∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠2＝∠1＝50°，
所以∠2的度數(shù)為50°．
故選：C．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，關鍵是平行線性質(zhì)定理的應用．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?武進區(qū)期中）如圖，點F是∠ABC的平分線BM上一點，E在AC上，且EF∥AB．若∠CEF＝40°，則∠BFE的大小為 20 °．
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】20．
【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠ABC＝∠CEF＝40°，∠BFE＝∠ABM，由角平分線定義求出∠ABM=12∠ABC＝20°，得到∠BFE＝20°．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠ABC＝∠CEF＝40°，∠BFE＝∠ABM，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABM=12∠ABC＝20°，
∴∠BFE＝20°．
故答案為：20．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠ABC＝∠CEF，∠BFE＝∠ABM．
7．（2024秋?江南區(qū)期中）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1＝145°，∠3＝60°，則∠2的度數(shù)為 25° ．
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】25°．
【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠1+∠PFO＝180°，求出∠PFO＝35°，由三角形的外角性質(zhì)得到∠POF＝∠3﹣∠PFO＝25°，由對頂角的性質(zhì)得到∠2＝∠POF＝25°．
【解答】解：∵光線與主光軸平行，
∴∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝145°，
∴∠PFO＝35°，
∵∠3＝60°，
∴∠POF＝∠3﹣∠PFO＝25°，
∴∠2＝∠POF＝25°．
故答案為：25°．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠1+∠PFO＝180°．
8．（2024秋?金牛區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABF，∠DCF＝∠ECF，已知∠F﹣∠E＝15°，則∠ABE+∠DCF＝ 115 度．
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】115．
【分析】首先根據(jù)已知條件證明∴∠ABE＝∠EBF=12∠ABF=12∠CDF，在△CDF中，得到∠F+∠2+∠CDF＝180°，在四邊形中得到∠E+∠EBF+∠F+（360°﹣∠1）＝360°，再根據(jù)∠1＝∠2和∠F﹣∠E＝15°，求出∠ABE與∠E，∠DCF與∠E的關系，進而求出∠ABE+∠DCF的度數(shù)．
【解答】解：如圖所示：
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE＝∠EBF=12∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDF，
∴∠ABE=12∠CDF，即∠CDF＝2∠ABE，
在△CDF中，∠F+∠2+∠CDF＝180°，
∴∠F+∠2+2∠ABE＝180°①，
在四邊形BFCE中，∠E+∠EBF+∠F+（360°﹣∠1）＝360°，
∴∠E+∠ABE+∠F﹣∠1＝0°②，
∵∠1＝∠2，
∴①+②得：2∠F+∠E+3∠ABE＝180°③，
①﹣②×2得：∠2+2∠1﹣2∠E﹣∠F＝180°④，
∵∠F﹣∠E＝15°，
∴③為2（15°+∠E）+∠E+3∠ABE＝180°，
∴3∠E+3∠ABE＝150°⑤，
④為3∠2﹣2∠E﹣（15°+∠E）＝180°，
∴3∠2﹣3∠E＝195°⑥，
∴⑤+⑥得：3∠ABE+3∠2＝345°，
∴∠ABE+∠2＝115°，即∠ABE+∠DCF＝115°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確的識別圖形，找出角與角之間的關系．
9．（2024春?湛江期中）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在D'、C'的位置上，若∠EFB＝65°，則∠AED'＝ 50 °．
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】50．
【分析】根據(jù)矩形的對邊平行知AD∥BC，據(jù)此得∠DEF＝∠EFB＝65°，再根據(jù)折疊變換的性質(zhì)知∠D′EF＝∠DEF＝65°，繼而由∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠D′EF可得答案．
【解答】解：由題意知AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
根據(jù)折疊變換的性質(zhì)知∠D′EF＝∠DEF＝65°，
則∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠D′EF＝50°，
故答案為：50．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)．
10．（2024?太平區(qū)二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE過點C且平行于AB，若∠BCE＝35°，則∠A的度數(shù)為 55 度．
【考點】平行線的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求∠A；或根據(jù)平角的定義先求∠ACD的度數(shù)，再運用平行線的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵AB∥DE，∠BCE＝35°，
∴∠B＝∠BCE＝35°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°．（直角三角形兩銳角互余）
故答案為：55．
【點評】此題考查平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，屬基礎題．
三．解答題（共5小題）
11．（2024春?魚臺縣期末）如圖，AB∥DC，AC和BD相交于點O，E是CD上一點，F(xiàn)是OD上一點，且∠1＝∠A．
（1）求證：FE∥OC；
（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度數(shù)．
【考點】平行線的判定與性質(zhì)．
【專題】計算題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；
（2）由EF與OC平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到一對角互補，利用等角的補角相等得到∠BOC+∠DFE＝180°，結合∠BOC+∠DFE＝180°，求出∠OFE的度數(shù)即可．
【解答】（1）證明：∵AB∥DC，
∴∠C＝∠A，
∵∠1＝∠A，
∴∠1＝∠C，
∴FE∥OC；
（2）解：∵FE∥OC，
∴∠FOC+∠OFE＝180°，
∵∠FOC+∠BOC＝180°，∠DFE+∠OFE＝180°，
∴∠BOC+∠DFE＝180°，
∵∠BOC﹣∠DFE＝20°，
∴∠BOC+∠DFE＝180°，
解得：∠DFE＝80°，
∴∠OFE＝100°．
【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．
12．（2024秋?市南區(qū)校級期中）如圖，∠A+∠D＝180°，CD∥EF．若∠CFE＝75°，求∠B的度數(shù)．
【考點】平行線的判定與性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】75°．
【分析】由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行推出DC∥AB，而CD∥EF．推出FE∥AB，得到∠B＝∠CFE＝75°．
【解答】解：∵∠A+∠D＝180°，
∴DC∥AB，
∵CD∥EF．
∴FE∥AB，
∴∠B＝∠CFE＝75°．
【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，關鍵是判定FE∥AB，由平行線的性質(zhì)推出∠B＝∠CFE．
13．（2024秋?市南區(qū)校級期中）如圖，DB⊥BC于點B，EF⊥BC于點F，∠1＝∠2，試說明AB∥DC．請補充完整下面的說理過程：
解：AB∥DC，理由如下：因為DB⊥BC，EF⊥BC，
所以∠DBC＝∠EFB＝90°（① 垂直定義 ），
所以∠DBC+∠EFB＝180°，所以DB∥EF（② 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ），
所以∠BDC＝∠2（③ 兩直線平行，同位角相等 ），
又因為∠1＝∠2（已知）所以④ ∠BDC＝∠1 （等量代換），
所以AB∥DC（⑤ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）．
【考點】平行線的判定與性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】垂直定義；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BDC＝∠1；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
【分析】根據(jù)垂直的定義，平行線的判定方法判斷出DB∥EF，再利用平行線的性質(zhì)找到相等的角，最后等量代換利用平行線的判定方法證明即可．
【解答】解：分別填空為：垂直定義；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BDC＝∠1；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
故答案為：垂直定義；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BDC＝∠1；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
【點評】本題考查了垂直的意義，平行線的判定和性質(zhì)，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握平行線的判定方法．
14．（2024秋?和靜縣校級期中）已知：如圖所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA＝52°，求∠BEF的度數(shù)．
【考點】平行線的性質(zhì)；角平分線的定義；對頂角、鄰補角．
【專題】計算題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由于AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可知∠BEF＝180°﹣∠EFD；而EF平分∠GFD，由角平分線定義，可知∠EFD=12∠GFD；又根據(jù)鄰補角定義，可知∠GFD＝180°﹣∠GFC；而由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得出∠GFC＝∠GMA＝52°．
【解答】解：∵AB∥CD，（已知）
∴∠GFC＝∠GMA．（兩直線平行，同位角相等）
∵∠GMA＝52°，（已知）
∴∠GFC＝52°．（等量代換）
∵CD是直線，（已知）
∴∠GFC+∠GFD＝180°．（鄰補角定義）
∴∠GFD＝180°﹣52°＝128°．（等式性質(zhì)）
∵EF平分∠GFD，（已知）
∴∠EFD=12∠GFD＝64°．（角平分線定義）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠BEF+∠EFD＝180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°．（等式性質(zhì)）
答：∠BEF＝116°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線定義及鄰補角定義．
15．（2024秋?吳忠期中）（1）如圖1，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求證：∠BFE＝∠FEC；
（2）如圖2，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求證：∠AFC=34∠AEC．
【考點】平行線的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；運算能力；推理能力．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【分析】（1）如圖：延長BF、DC相較于E，由AB//CD可得∠ABF＝∠E，再結合∠ABF＝∠DCE，可得∠DCE＝∠E，即可得當BE//DE，最后運用兩直線平行、內(nèi)錯角相等即可證明結論；
（2）如圖2：連接AC，設∠EAF＝x，∠ECF＝y(tǒng)，∠EAB＝4x，∠ECD＝4y，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比較即可得到結論．
【解答】證明：（1）如圖1，延長BF、DC相交于G，
∵AB//CD，
∴∠ABF＝∠G．
∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠G．
∴BG//CE．
∴∠BFE＝∠FEC；
（2）如圖2：連接AC，
設∠EAF＝x，∠ECF＝y(tǒng)，∠EAB＝4x，∠ECD＝4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y＝180°．
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x+4y），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x+3y）．
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[80°﹣（4x+4y）]
＝4x+4y
＝4（x+y）．
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（3x+3y））]
＝3x+3y
＝3（x+y），
∴∠AFC=34∠AEC．
【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應用等知識點，靈活應用平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理正確的表示角成為解答本題的關鍵．
考點卡片
1．角平分線的定義
（1）角平分線的定義
從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．
（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線
則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐．
2．對頂角、鄰補角
（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．
（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．
（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．
（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°．
（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．
3．垂線
（1）垂線的定義
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
（2）垂線的性質(zhì)
在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“過一點”的點在直線上或直線外都可以．
4．平行線的性質(zhì)
1、平行線性質(zhì)定理
定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．
定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
2、兩條平行線之間的距離處處相等．
5．平行線的判定與性質(zhì)
（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質(zhì)是由平行關系來尋找角的數(shù)量關系．
（2）應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．
（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別
區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導角的關系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．
聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結論正好相反，都是角的關系與平行線相關．
（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構造出三類角．
6．三角形內(nèi)角和定理
（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
（3）三角形內(nèi)角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．
（4）三角形內(nèi)角和定理的應用
主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．

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