1．（2024秋?濰坊期中）若1a?1b=4，則aba?b的值為（ ）
A．14B．?14C．4D．﹣4
2．（2024秋?金湖縣期中）某校組織了師生共a人來到荷花蕩景區(qū)游玩，已知租用的每輛觀光車可乘坐b人，師生全部上車后還剩一個位置，由此可知租用的觀光車的輛數(shù)為（ ）
A．a(chǎn)+1bB．a(chǎn)b+1C．a(chǎn)?1bD．a(chǎn)b?1
3．（2024秋?長安區(qū)校級期中）若a為正整數(shù)，則化簡a+1a2?a÷a+1a2?2a+1的結(jié)果可以是（ ）
A．0B．12C．32D．2
4．（2024?莘縣一模）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代數(shù)式(4a?a)?a2a+2的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
5．（2024秋?新邵縣期中）已知A=x2?9x2+6x+9÷xx+3，關(guān)于甲、乙、丙的說法，下列判斷正確的是（ ）
甲：A的計算結(jié)果為x?3x；
乙：當(dāng)x＝﹣3時，A＝2；
丙：當(dāng)0＜x＜3時，A的值為正數(shù)．
A．乙錯，丙對B．甲和乙都對
C．甲對，丙錯D．甲錯，丙對
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?房山區(qū)期中）計算：3x2y3?yx= ．
7．（2024秋?墊江縣校級期中）計算：(?15)?2+20= ．
8．（2024?倉山區(qū)校級模擬）若1a+1b=3，則a+b2a?ab+2b的值為 ．
9．（2024秋?昌平區(qū)期中）計算xx+1+1x+1的結(jié)果是 ．
10．（2023秋?濰坊期末）對于代數(shù)式m，n，定義運算“?”：m?n=m+n?6mn，例如：4?2=4+2?64×2，若（x﹣1）?（x+2）=Ax?1+Bx+2，則A+2B＝ ．
三．解答題（共5小題）
11．（2024?忠縣一模）計算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）x2?xx+1÷(2?2xx+1+x?1)．
12．（2024秋?濰坊期中）先化簡(x2x+1?x)÷x2?1x2+2x+1，再從1，﹣1，﹣2中選擇合適的x值代入求值．
13．（2024秋?房山區(qū)期中）已知a2+3a﹣1＝0，求代數(shù)式(a+2?5a?2)÷a?3a2?2a的值．
14．（2024秋?欒城區(qū)期中）（1）計算：(14)?1?38+|?5|；
（2）下面是某同學(xué)計算1m?1?2m2?1的解題過程：
解：1m?1?2m2?1=m+1(m+1)(m?1)?2(m+1)(m?1)①
＝（m+1）﹣2②
＝m﹣1③
上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
15．（2024秋?正定縣期中）先化簡x2?4x2?9÷(1+1x?3)，再從不等式2x﹣3＜5的正整數(shù)解中選一個使原式有意義的數(shù)作為x的值代入求值．
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版八年級期末必刷?？碱}之分式的運算
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?濰坊期中）若1a?1b=4，則aba?b的值為（ ）
A．14B．?14C．4D．﹣4
【考點】分式的加減法；分式的值．
【專題】分式；運算能力．
【答案】B
【分析】把1a?1b=4，整理得b﹣a＝4ab，則a﹣b＝﹣4ab，再代入所求代數(shù)式計算即可．
【解答】解：1a?1b=4，
∴a≠0，b≠0，
整理得：b﹣a＝4ab，
∴a﹣b＝﹣4ab，
∴aba?b=ab?4ab=?14，
故選：B．
【點評】本題考查了分?jǐn)?shù)的加減法以及分式的值，求出a﹣b＝﹣4ab是解題的關(guān)鍵．
2．（2024秋?金湖縣期中）某校組織了師生共a人來到荷花蕩景區(qū)游玩，已知租用的每輛觀光車可乘坐b人，師生全部上車后還剩一個位置，由此可知租用的觀光車的輛數(shù)為（ ）
A．a(chǎn)+1bB．a(chǎn)b+1C．a(chǎn)?1bD．a(chǎn)b?1
【考點】列代數(shù)式（分式）．
【專題】分式；運算能力．
【答案】A
【分析】先計算出租用的觀光車坐滿的人數(shù)，即可列出代數(shù)式．
【解答】解：由題意可知，租用的觀光車坐滿的人數(shù)為（a+1）人，租用的每輛觀光車可乘坐b人，
故租用的觀光車的輛數(shù)為a+1b．
故選：A．
【點評】本題考查列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
3．（2024秋?長安區(qū)校級期中）若a為正整數(shù)，則化簡a+1a2?a÷a+1a2?2a+1的結(jié)果可以是（ ）
A．0B．12C．32D．2
【考點】分式的化簡求值．
【專題】計算題；分式；運算能力．
【答案】B
【分析】將原式中分母進(jìn)行因式分解，然后把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計算，最后根據(jù)a為正整數(shù)進(jìn)行判斷．
【解答】解：原式=a+1a(a?1)÷a+1(a?1)2
=a+1a(a?1)?(a?1)2a+1
=a?1a，
∵a≠0，a+1≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0且a≠﹣1且a≠1，
又∵a為正整數(shù)，
∴a﹣1＜a，
即a?1a＜1且a?1a≠0，
∴選項A、C、D均不符合題意，
當(dāng)a＝2時，
原式=2?12=12，故選項B符合題意，
故選：B．
【點評】本題考查分式的除法運算，理解分式有意義的條件，掌握因式分解和約分的技巧是解題關(guān)鍵．
4．（2024?莘縣一模）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代數(shù)式(4a?a)?a2a+2的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【考點】分式的化簡求值．
【專題】分式；運算能力．
【答案】B
【分析】先化簡所求的式子，再根據(jù)a2﹣2a﹣1＝0，可以得到2a﹣a2＝﹣1，然后代入化簡后的式子即可．
【解答】解：(4a?a)?a2a+2
=4?a2a?a2a+2
=(2+a)(2?a)a?a2a+2
＝a（2﹣a）
＝2a﹣a2，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴2a﹣a2＝﹣1，
∴原式＝﹣1，
故選：B．
【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2024秋?新邵縣期中）已知A=x2?9x2+6x+9÷xx+3，關(guān)于甲、乙、丙的說法，下列判斷正確的是（ ）
甲：A的計算結(jié)果為x?3x；
乙：當(dāng)x＝﹣3時，A＝2；
丙：當(dāng)0＜x＜3時，A的值為正數(shù)．
A．乙錯，丙對B．甲和乙都對
C．甲對，丙錯D．甲錯，丙對
【考點】分式的化簡求值．
【專題】分式；運算能力．
【答案】C
【分析】首先將分式化簡即可判定甲，然后將x＝﹣3代入求解即可判斷乙，然后根據(jù)x的范圍即可判定A的正負(fù)，
【解答】解：A=x2?9x2+6x+9÷xx+3
=(x+3)(x?3)(x+3)2?x+3x
=x?3x，故甲對；
當(dāng)x＝﹣3時，x+3＝0，故分式無意義，故乙錯；
當(dāng)0＜x＜3時，
x﹣3＜0，
∴A=x?3x＜0，故丙錯．
故選：C．
【點評】此題考查了分式的乘除運算，分式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的乘除運算法則．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?房山區(qū)期中）計算：3x2y3?yx= 3xy2 ．
【考點】分式的乘除法．
【專題】分式；運算能力．
【答案】3xy2．
【分析】根據(jù)分式的乘法法則計算即可．
【解答】解：3x2y3?yx=3xy2，
故答案為：3xy2．
【點評】本題考查的是分式的乘除法，分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．
7．（2024秋?墊江縣校級期中）計算：(?15)?2+20= 26 ．
【考點】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪．
【專題】實數(shù)；運算能力．
【答案】26．
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的計算法則求解即可．
【解答】解：(?15)?2+20=25+1=26，
故答案為：26．
【點評】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．
8．（2024?倉山區(qū)校級模擬）若1a+1b=3，則a+b2a?ab+2b的值為 35 ．
【考點】分式的加減法；分式的值．
【專題】分式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】變形已知為a+b＝n的形式，然后整體代入得結(jié)果．
【解答】解：∵1a+1b=3，
∴b+aab=3，即b+a＝3ab，
則a+b2a?ab+2b=3ab2(a+b)?ab=3ab6ab?ab=35，
故答案為：35．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是利用整體代入．
9．（2024秋?昌平區(qū)期中）計算xx+1+1x+1的結(jié)果是 1 ．
【考點】分式的加減法．
【專題】分式；運算能力．
【答案】1．
【分析】根據(jù)同分母的分式的加法法則，分母不變，分子相加，據(jù)此計算即可．
【解答】解：原式=x+1x+1=1．
故答案為：1．
【點評】此題主要考查了分式的加減法運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確同分母分式的加法運算法則．
10．（2023秋?濰坊期末）對于代數(shù)式m，n，定義運算“?”：m?n=m+n?6mn，例如：4?2=4+2?64×2，若（x﹣1）?（x+2）=Ax?1+Bx+2，則A+2B＝ 5 ．
【考點】分式的加減法．
【專題】新定義；運算能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)定義運算表示出（x﹣1）?（x+2）的式子，再將Ax?1+Bx+2進(jìn)行運算，便得到A和B的值，最后代入A+2B中，求出結(jié)果即可．
【解答】解：（x﹣1）?（x+2）=x?1+x+2?6(x?1)(x+2)=2x?5(x?1)(x+2)，
Ax?1+Bx+2
=A(x+2)(x?1)(x+2)+B(x?1)(x?1)(x+2)
=A(x+2)+B(x?1)(x?1)(x+2)
=Ax+2A+Bx?B(x?1)(x+2)
=(A+B)x+2A?B(x?1)(x+2)，
∵2x?5(x?1)(x+2)=(A+B)x+2A?B(x?1)(x+2)，
∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5，
解得A＝﹣1，B＝3，
∴A+2B＝﹣1+2×3＝5，
故答案為：5．
【點評】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是運用計算法則正確地進(jìn)行計算．
三．解答題（共5小題）
11．（2024?忠縣一模）計算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）x2?xx+1÷(2?2xx+1+x?1)．
【考點】分式的混合運算；單項式乘多項式；完全平方公式．
【專題】整式；分式；運算能力．
【答案】（1）2a2+b2；
（2）xx?1．
【分析】（1）先展開，再合并同類項即可；
（2）先通分算括號內(nèi)的，再把除化為乘，最后分解因式約分即可．
【解答】解：（1）原式＝a2+2ab+b2+a2﹣2ab
＝2a2+b2；
（2）原式=x(x?1)x+1÷2?2x+x2?1x+1
=x(x?1)x+1?x+1(x?1)2
=xx?1．
【點評】本題考查整式混合運算和分式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握整式，分式相關(guān)運算的法則．
12．（2024秋?濰坊期中）先化簡(x2x+1?x)÷x2?1x2+2x+1，再從1，﹣1，﹣2中選擇合適的x值代入求值．
【考點】分式的化簡求值．
【專題】分式；運算能力．
【答案】?xx?1，當(dāng)x＝﹣2時，原式=?23．
【分析】先把括號內(nèi)通分，再進(jìn)行同分母的減法運算，接著約分得到原式=?xx?1，然后根據(jù)分式有意義的條件把x＝﹣2代入計算即可．
【解答】解：原式=x2?x(x+1)x+1?(x+1)2(x+1)(x?1)
=?xx+1?(x+1)2(x+1)(x?1)
=?xx?1，
∵x+1≠0且x﹣1≠0，
∴x可以取﹣2，
當(dāng)x＝﹣2時，原式=??2?2?1=?23．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
13．（2024秋?房山區(qū)期中）已知a2+3a﹣1＝0，求代數(shù)式(a+2?5a?2)÷a?3a2?2a的值．
【考點】分式的化簡求值．
【專題】分式；運算能力．
【答案】a2+3a，1．
【分析】由已知條件得到a2+3a＝1，然后將其代入化簡后的分式求值即可．
【解答】解：由a2+3a﹣1＝0得到a2+3a＝1，
(a+2?5a?2)÷a?3a2?2a
=a2?4?5a?2?a(a?2)a?3
=(a+3)(a?3)a?2?a(a?2)a?3
＝a（a+3）．
＝a2+3a
所以，原式＝1．
【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入求值；轉(zhuǎn)化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問題，然后再代入求值．
14．（2024秋?欒城區(qū)期中）（1）計算：(14)?1?38+|?5|；
（2）下面是某同學(xué)計算1m?1?2m2?1的解題過程：
解：1m?1?2m2?1=m+1(m+1)(m?1)?2(m+1)(m?1)①
＝（m+1）﹣2②
＝m﹣1③
上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
【考點】分式的加減法；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；實數(shù)的運算．
【專題】實數(shù)；分式；運算能力．
【答案】（1）7；
（2）②，解題過程見解析．
【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、立方根的定義，先算乘方和開方，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，最后算加減即可；
（2）先觀察已知條件中的解題過程，根據(jù)同分母分式相加減法則判斷錯誤的步驟，然后寫出正確的解題過程即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+5
＝4+5﹣2
＝9﹣2
＝7；
（2）解題過程從②步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解題過程如下：
1m?1?2m2?1
=m+1(m+1)(m?1)?2(m+1)(m?1)
=m?1(m+1)(m?1)
=1m+1．
【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算和分式的加減運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)、立方根的定義、絕對值的性質(zhì)和分式的通分與約分．
15．（2024秋?正定縣期中）先化簡x2?4x2?9÷(1+1x?3)，再從不等式2x﹣3＜5的正整數(shù)解中選一個使原式有意義的數(shù)作為x的值代入求值．
【考點】分式的化簡求值．
【專題】分式；運算能力．
【答案】x+2x+3，34．
【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，解不等式求出x的范圍，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計算即可．
【解答】解：原式=(x+2)(x?2)(x+3)(x?3)÷（x?3x?3+1x?3）
=(x+2)(x?2)(x+3)(x?3)÷x?2x?3
=(x+2)(x?2)(x+3)(x?3)?x?3x?2
=x+2x+3，
解不等式2x﹣3＜5，得x＜4，其中正整數(shù)有1、2、3，
由題意可知：x≠2、±3，
當(dāng)x＝1時，原式=1+21+3=34．
【點評】本題考查的是分式的混合運算﹣化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
考點卡片
1．實數(shù)的運算
（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進(jìn)行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．
（2）在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．
【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”
1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．
2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．
3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度．
2．單項式乘多項式
（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）單項式與多項式相乘時，應(yīng)注意以下幾個問題：
①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．
3．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．
（3）應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
4．分式的值
分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應(yīng)從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃巍⑥D(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．
5．分式的乘除法
（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．
（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．
（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合運算．運算順序應(yīng)先把各個分式進(jìn)行乘方運算，再進(jìn)行分式的乘除運算，即“先乘方，再乘除”．
（5）規(guī)律方法總結(jié)：
①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當(dāng)分子和分母是多項式時，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．
②整式和分式進(jìn)行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．
③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運算，切不可打亂這個運算順序．
6．分式的加減法
（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．
說明：
①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．
②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．
7．分式的混合運算
（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進(jìn)行靈活運算．
【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題
1．注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
2．注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．
3．注意運算律的應(yīng)用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程．
8．分式的化簡求值
先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．
在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題
1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式＝…”．
2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
9．零指數(shù)冪
零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
10．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p=1ap（a≠0，p為正整數(shù)）
注意：①a≠0；
②計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．
③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．
④在混合運算中，始終要注意運算的順序．
11．列代數(shù)式（分式）
（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．
（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義． ②分清數(shù)量關(guān)系． ③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．
注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)線代替．

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