1．（2024秋?長寧區(qū)校級期中）下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解（ ）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
B．x2+5x?3=x(x+5?3x)
C．3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2）
D．3x2+6x+4＝3（x+1）2+1
2．（2024秋?越秀區(qū)校級期中）如果4x﹣3是4x2+5x+m的一個因式，則m的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
3．（2024秋?寶山區(qū)期中）下列整式中不含有x+1這個因式的是（ ）
A．x2﹣1B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1D．x4﹣x3﹣x2﹣1
4．（2024秋?西城區(qū)校級期中）下列因式分解正確的是（ ）
A．a(chǎn)b+ac+a＝a（b+c）B．a(chǎn)2﹣2a﹣3＝（a+3）（a﹣1）
C．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2D．a(chǎn)4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）
5．（2024秋?榆樹市校級期中）若a+b＝4，ab＝5，則a2b+ab2的值為（ ）
A．9B．16C．20D．25
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?長寧區(qū)校級期中）因式分解：ax2y+axy2﹣axy＝ ．
7．（2024秋?西山區(qū)校級期中）4x2﹣y2因式分解的結(jié)果為 ．
8．（2024秋?南安市期中）已知x﹣y＝6，xy＝16，則x2y﹣xy2＝ ．
9．（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)膯雾検?，使多項式x2﹣y2+x+（ ）能因式分解，共有 種填法．
10．（2024秋?楊浦區(qū)期中）多項式a2﹣b2+2a形加一個單項式后能用分組的方法進(jìn)行因式分解．如果將a2和+2a分成一組，﹣b2和此單項式分成一組，那么這個單項式為 .（寫出一個正確的單項式即可）
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?如東縣期中）分解因式：
（1）2x（a﹣2）+y（2﹣a）；
（2）（x﹣2）（x﹣4）+1．
12．（2024秋?普陀區(qū)校級期中）已知a+b＝4，ab＝3，求代數(shù)式2a3b+2ab3﹣6ab的值．
13．（2024秋?宿城區(qū)校級期中）何老師安排喜歡探究問題的小明解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
為什么要對2n2進(jìn)行了拆項呢？
聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．
解決問題：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+12b﹣61，c是△ABC中最短邊的邊長，且c為整數(shù)，那么c可能是哪幾個數(shù)？
14．（2024秋?西城區(qū)校級期中）在學(xué)習(xí)整式乘法一章時，小明發(fā)現(xiàn)：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”．例如：5是“智慧數(shù)”，因為5＝22+12；再如：
M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數(shù)），所以M也是“智慧數(shù)”．
（1）請你再寫一個小于10的（5除外）“智慧數(shù)” ，并判斷29是否為“智慧數(shù)” （填“是”或者“否”）；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)），k是常數(shù)，要使S為“智慧數(shù)”，試求出符合條件的一個k值．
15．（2024秋?萊蕪區(qū)期中）把幾個圖形拼成一個新的圖形．再通過圖形面積的計算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫男畔?，如圖1所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，若圖中①②都是剪成邊長為a的大正方形，③④都是剪成邊長為b的小正方形，剩下的都是剪成邊長分別為a、b的小長方形．
（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)多項式2a2+5ab+2b2因式分解為 ；
（2）若每塊小長方形的面積為4，四個正方形的面積之和為34，試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和；
（3）類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．如圖2表示的是一個棱長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式： .（因式分解形式）
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參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?長寧區(qū)校級期中）下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解（ ）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
B．x2+5x?3=x(x+5?3x)
C．3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2）
D．3x2+6x+4＝3（x+1）2+1
【考點】因式分解的意義；因式分解﹣十字相乘法等．
【專題】整式；運算能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的定義“將多項式化為幾個整式的積的形式”，由此即可求解．
【解答】解：A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2，是整數(shù)的乘法，不是因式分解，不符合題意；
B．該式子等號右邊不幾個整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；
C．3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2），是因式分解，符合題意；
D．3x2+6x+4＝3（x+1）2+1，等號右邊不幾個整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2024秋?越秀區(qū)校級期中）如果4x﹣3是4x2+5x+m的一個因式，則m的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
【考點】因式分解的意義；因式分解﹣十字相乘法等．
【專題】整式；運算能力．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得4x2+5x+m＝（4x﹣3）（x+8），再根據(jù)多項式乘多項式的運算法則求解即可．
【解答】解：∵4x﹣3是4x2+5x+m的一個因式，
設(shè)4x2+5x+m＝（4x﹣3）（x+b），
∴4x2+（4b﹣3）x﹣3b＝4x2+5x+m，
∴4b﹣3＝5，m＝﹣3b，
解得b＝2，m＝﹣6，
故選：A．
【點評】本題考查了因式分解，得出另一個因式是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2024秋?寶山區(qū)期中）下列整式中不含有x+1這個因式的是（ ）
A．x2﹣1B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1D．x4﹣x3﹣x2﹣1
【考點】因式分解﹣分組分解法；因式分解﹣運用公式法．
【專題】因式分解；運算能力．
【答案】B
【分析】將每個選項進(jìn)行因式分解，即可作出判斷．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此選項不符合題意；
B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此選項符合題意；
C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此選項不符合題意；
D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了因式分解﹣分組分解法，公式法，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2024秋?西城區(qū)校級期中）下列因式分解正確的是（ ）
A．a(chǎn)b+ac+a＝a（b+c）B．a(chǎn)2﹣2a﹣3＝（a+3）（a﹣1）
C．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2D．a(chǎn)4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）
【考點】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法與公式法的綜合運用．
【專題】整式；運算能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的方法對各選項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．a(chǎn)b+ac+a＝a（b+c+1），故選項A錯誤；
B．a(chǎn)2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3），故選項B錯誤；
C．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2，故選項C正確；
D．a(chǎn)4﹣16＝（a2）2﹣42＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+4）（a﹣4），故選項D錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，提取公因式與公式法的總和運算，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2024秋?榆樹市校級期中）若a+b＝4，ab＝5，則a2b+ab2的值為（ ）
A．9B．16C．20D．25
【考點】因式分解的應(yīng)用．
【專題】整式；運算能力．
【答案】C
【分析】將a2b+ab2提取公因式ab，進(jìn)而將已知代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20，
故選：C．
【點評】本題考查了提公因式法因式分解，代數(shù)式求值，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?長寧區(qū)校級期中）因式分解：ax2y+axy2﹣axy＝ axy（x+y﹣1） ．
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．
【專題】整式；運算能力．
【答案】axy（x+y﹣1）．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝axy（x+y﹣1），
故答案為：axy（x+y﹣1）．
【點評】本題考查提公因式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2024秋?西山區(qū)校級期中）4x2﹣y2因式分解的結(jié)果為 （2x+y）（2x﹣y） ．
【考點】因式分解﹣運用公式法．
【專題】整式；運算能力．
【答案】（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】直接根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x）2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故答案為：（2x+y）（2x﹣y）．
【點評】本題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．
8．（2024秋?南安市期中）已知x﹣y＝6，xy＝16，則x2y﹣xy2＝ 96 ．
【考點】因式分解的應(yīng)用．
【專題】整式；運算能力．
【答案】96．
【分析】將所求式子因式分解，再將x﹣y＝6，xy＝16代入計算即可．
【解答】解：∵x﹣y＝6，xy＝16，
∴x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝16×6
＝96，
故答案為：96．
【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確因式分解的方法．
9．（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)膯雾検?，使多項式x2﹣y2+x+（ ）能因式分解，共有 五 種填法．
【考點】因式分解﹣分組分解法；完全平方公式；平方差公式．
【專題】整式；運算能力．
【答案】五．
【分析】利用平方差公式，提公因式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征解答即可．
【解答】解：①可添加y：x2﹣y2+x+y＝（x+y）（x﹣y）+（x+y）＝（x+y）（x﹣y+1）；
②可添加﹣y：x2﹣y2+x﹣y＝（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+1）；
③可添加14：x2﹣y2+x+14=（x2+x+14）﹣y2＝（x+12）2﹣y2＝（x+12+y）（x+12?y）；
④可添加﹣x：x2﹣y2+x﹣x＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；
⑤可添加y2：x2﹣y2+x+y2＝x2+x＝x（x+1）；
故答案為：五．
【點評】此題考查了利用分組分解法進(jìn)行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
10．（2024秋?楊浦區(qū)期中）多項式a2﹣b2+2a形加一個單項式后能用分組的方法進(jìn)行因式分解．如果將a2和+2a分成一組，﹣b2和此單項式分成一組，那么這個單項式為 14a2b2（答案不唯一） .（寫出一個正確的單項式即可）
【考點】因式分解﹣十字相乘法等．
【專題】整式；運算能力．
【答案】14a2b2（答案不唯一）．
【分析】先分解a2+2a得到分組后的公因式是a+2，從而可得答案．
【解答】解：∵a2+2a＝a（a+2），
∴﹣b2必須與14a2b2一組，
∴a2?b2+2a+14a2b2
=a2+2a+14a2b2?b2
=a(a+2)+14b2(a2?4)
=a(a+2)+14b2(a+2)(a?2)
=(a+2)[a?14b2(a?2)]
=(a+2)(a?14ab2+12b2)，
故答案為：14a2b2（答案不唯一）．
【點評】本題考查的是因式分解，掌握分組分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?如東縣期中）分解因式：
（1）2x（a﹣2）+y（2﹣a）；
（2）（x﹣2）（x﹣4）+1．
【考點】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【專題】計算題；整式；運算能力．
【答案】（1）（a﹣2）（2x﹣y）；
（2）（x﹣3）2．
【分析】（1）根據(jù)提公因式法因式分解即可；
（2）根據(jù)完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2x（a﹣2）﹣y（a﹣2）
＝（a﹣2）（2x﹣y）；
（2）原式＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，掌握提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．
12．（2024秋?普陀區(qū)校級期中）已知a+b＝4，ab＝3，求代數(shù)式2a3b+2ab3﹣6ab的值．
【考點】因式分解的應(yīng)用．
【專題】整式；運算能力．
【答案】42．
【分析】將所求式子變形，然后將a+b＝4，ab＝3代入計算即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴2a3b+2ab3﹣6ab
＝2ab（a2+b2）﹣6ab
＝2ab[（a+b）2﹣2ab]﹣6ab
＝2×3×（42﹣2×3）﹣6×3
＝2×3×（16﹣2×3）﹣6×3
＝6×（16﹣6）﹣18
＝6×10﹣18
＝60﹣18
＝42．
【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，巧妙變形，利用整體代入的思想解答．
13．（2024秋?宿城區(qū)校級期中）何老師安排喜歡探究問題的小明解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
為什么要對2n2進(jìn)行了拆項呢？
聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．
解決問題：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+12b﹣61，c是△ABC中最短邊的邊長，且c為整數(shù)，那么c可能是哪幾個數(shù)？
【考點】因式分解的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．
【專題】閱讀型．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）已知等式變形后，利用完全平方公式變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出xy的值；
（2）由a2+b2＝10a+12b﹣61，得a，b的值．進(jìn)一步根據(jù)三角形一邊邊長大于另兩邊之差，小于它們之和，則b﹣a＜c＜a+b，即可得到答案．
【解答】解（1）∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，
∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，
則（x﹣2y）2+（y+1）2＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣1，
故xy=(?2)?1=?12；
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵1＜c＜11，且c為最短邊，c為整數(shù)，
∴c為2，3，4，5．
【點評】此題考查了因式分解的實際運用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，分組利用完全平方公式分解因式是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2024秋?西城區(qū)校級期中）在學(xué)習(xí)整式乘法一章時，小明發(fā)現(xiàn)：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”．例如：5是“智慧數(shù)”，因為5＝22+12；再如：
M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整數(shù)），所以M也是“智慧數(shù)”．
（1）請你再寫一個小于10的（5除外）“智慧數(shù)” 8 ，并判斷29是否為“智慧數(shù)” 是 （填“是”或者“否”）；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)），k是常數(shù)，要使S為“智慧數(shù)”，試求出符合條件的一個k值．
【考點】因式分解的應(yīng)用．
【專題】新定義；運算能力．
【答案】（1）8，是；
（2）13．
【分析】（1）根據(jù)新定義“智慧數(shù)”，仿照示例，可得到結(jié)果；
（2）把S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)）化為＝（x+2）2+4（y?32）2+k﹣13，從而得到結(jié)果．
【解答】解：（1）∵8＝22+22，
∴8是“智慧數(shù)”，
∵29＝4+25＝22+52，
∴29是“智慧數(shù)”，
故答案為：8，是；
（2）∵x2+4x+4＝（x+2）2，y2﹣3y+94=（x?32）2，
∴S＝x2+4y2+4x﹣12y+k
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9+k﹣13
＝（x+2）2+4（y?32）2+k﹣13，
∵S為“智慧數(shù)”，
∴k﹣13＝0，
∴k＝13．
【點評】本題考查了新定義“智慧數(shù)”的應(yīng)用，讀懂題意，熟練應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．
15．（2024秋?萊蕪區(qū)期中）把幾個圖形拼成一個新的圖形．再通過圖形面積的計算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫男畔?，如圖1所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，若圖中①②都是剪成邊長為a的大正方形，③④都是剪成邊長為b的小正方形，剩下的都是剪成邊長分別為a、b的小長方形．
（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)多項式2a2+5ab+2b2因式分解為 （a+2b）（2a+b） ；
（2）若每塊小長方形的面積為4，四個正方形的面積之和為34，試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和；
（3）類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．如圖2表示的是一個棱長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式： x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） .（因式分解形式）
【考點】因式分解的應(yīng)用；展開圖折疊成幾何體；完全平方公式的幾何背景．
【專題】整式；運算能力．
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）；
（2）30；
（3）x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．
【分析】（1）根據(jù)圖1大長方形面積的兩種不同表示方法即可得到答案；
（2）根據(jù)題意得到ab=42a2+2b2=34，進(jìn)而求出a+b＝5，再根據(jù)題意求解即可；
（3）根據(jù)長方體體積公式可知，圖2右邊一幅圖的體積為x（x+2）（x﹣2），由題意可知，圖2右邊一幅圖的體積等于棱長為x的正方體體積減去一個長、寬、高分別為x，2，2的長方體，由此根據(jù)兩種表示方法體積相同即可得到答案．
【解答】解：（1）∵圖1是一個長和寬分別為（a+2b），（2a+b）的大長方形，
∴圖1中的大長方形面積為（a+2b），（2a+b）；
又∵圖1中的大長方形面積等于2個邊長為a的正方形面積加上2個邊長為b的正方形面積再加上5個長和寬分別為a、b的長方形面積，
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案為：（a+2b）（2a+b）；
（2）由題意得，ab=42a2+2b2=34，
∴a2+b2＝17，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
∴a+b＝5（負(fù)值舍去），
∴圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和＝2（a+2b）+2（2a+b）
＝2a+4b+4a+2b
＝6（a+b）
＝30；
（3）根據(jù)長方體體積公式可知，圖2右邊一幅圖的體積為x（x+2）（x﹣2），
又由題意可知，圖2右邊一幅圖的體積等于棱長為x的正方體體積減去一個長、寬、高分別為x，2，2的長方體，即x3﹣x?2?2＝x3﹣x，
∴x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），
故答案為：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．
【點評】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的變形求值，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．
考點卡片
1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方
偶次方具有非負(fù)性．
任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．
（3）應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
3．完全平方公式的幾何背景
（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋．
（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）
4．平方差公式
（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．
5．因式分解的意義
1、分解因式的定義：
把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式．例如：
3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗．
6．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具體方法：
（1）當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．
（2）如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出“﹣”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)．
提出“﹣”號時，多項式的各項都要變號．
3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號，變形看奇偶．
4、提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；
②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同．
7．因式分解-運用公式法
1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．
②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍．
3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個因式都不能再分解為止．
8．提公因式法與公式法的綜合運用
先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．
9．因式分解-分組分解法
1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式．
2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
10．因式分解-十字相乘法等
借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；
可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，
把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
11．因式分解的應(yīng)用
1、利用因式分解解決求值問題．
2、利用因式分解解決證明問題．
3、利用因式分解簡化計算問題．
【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用
1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進(jìn)行整體代入．
2．用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．
12．展開圖折疊成幾何體
通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形．

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