1．（2024秋?南開區(qū)期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G，F(xiàn)，若FG＝4，ED＝9，則BE+DC的值為（ ）
A．13B．14C．15D．16
2．（2024秋?南開區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE＝5，則BF的長為（ ）
A．7.5B．10C．12D．12.5
3．（2023秋?龍山區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC＝35°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
4．（2024春?涇陽縣期中）等腰三角形的頂角是50°，則這個三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
5．（2024秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，過點A作AB的垂線交BC于D，BD＝4，則CD的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?興寧區(qū)校級期中）如圖是某種落地燈的簡易示意圖，DE為懸桿，BC為支桿．已知懸桿的CD部分的長度與支桿BC的長度相等，點E在DC的延長線上，且∠BCE＝120°，若CD的長度為30cm，則此時B，D兩點之間的距離為 cm．
7．（2024秋?江陰市期中）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，則AB的長為 ．
8．（2024秋?新吳區(qū)期中）如圖所示，在4×4的方格中每個小正方形的邊長是單位1，小正方形的頂點稱為格點．現(xiàn)有格點A、B，在方格中任意找一點C（必須是格點），使△ABC成為等腰三角形．這樣的格點有 個．
9．（2024秋?香坊區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為 ．
10．（2024秋?惠城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD＝CD，F(xiàn)是AC上一點，連接BF，交AD于點E，且BE＝AC，若∠ACB＝60°，∠DAC＝40°，則求∠FBC的度數(shù)為 ．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?南開區(qū)期中）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，直線DE與CA的延長線相于點F．
（Ⅰ）證明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的長．
12．（2024秋?瀏陽市期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E．（1）求證：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周長，△ADE的周長為15，求△ABC的周長．
13．（2024秋?惠城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D為AB上一個動點．
（1）當∠A＝2∠BCD，AD＝CD時，求∠BCD的度數(shù)．
（2）已知∠A＝2∠BCD，求證：AD+AC＝2AB
14．（2024秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E．
（1）若∠A＝44°，求∠DCB的度數(shù)．
（2）若AE＝5，△DCB的周長為18，求△ABC的周長．
15．（2024秋?蘇州期中）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于點D，AD＝1．
（1）求CD的長；
（2）求△ABC的面積．
2024-2025學年上學期初中數(shù)學人教版八年級期末必刷?？碱}之等腰三角形
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?南開區(qū)期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G，F(xiàn)，若FG＝4，ED＝9，則BE+DC的值為（ ）
A．13B．14C．15D．16
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】只要證明EG＝EB，DF＝DC即可解決問題．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝4，ED＝9，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝13，
故選：A．
【點評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的證明，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2024秋?南開區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE＝5，則BF的長為（ ）
A．7.5B．10C．12D．12.5
【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】過點D作DH⊥AC于點H，由題意易得AD平分∠CAB，則有DE＝DH，然后根據(jù)等積法可進行求解．
【解答】解：如圖所示，過點D作DH⊥AC于點H，
∵∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于點D，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB于點E，DE＝5，
∴DE＝DH＝5，
∵S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC?DH+12AB?DE=12AC?BF，
∴2DH＝BF，
∴BF＝10；
故選：B．
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋?龍山區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC＝35°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
【考點】等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．
【答案】D
【分析】等邊三角形的三個角都為60°，三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
【解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．
故選：D．
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的三個角都為60°，和三角形的外角的性質(zhì)．
4．（2024春?涇陽縣期中）等腰三角形的頂角是50°，則這個三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】解：這個等腰三角形的一個底角為：（180﹣50）÷2＝65°，
故選：C．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，過點A作AB的垂線交BC于D，BD＝4，則CD的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝30°，求出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，得到∠DAC＝∠C，因此AD＝DC，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到BD＝2AD，推出AD＝CD＝2即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故選：B．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，關(guān)鍵是由以上知識點推出AD＝DC，BD＝2AD．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?興寧區(qū)校級期中）如圖是某種落地燈的簡易示意圖，DE為懸桿，BC為支桿．已知懸桿的CD部分的長度與支桿BC的長度相等，點E在DC的延長線上，且∠BCE＝120°，若CD的長度為30cm，則此時B，D兩點之間的距離為 30 cm．
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】30
【分析】連接BD，證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接BD，
∵∠BCE＝120°，∠BCD+BCE＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD＝CD＝30cm，
此時B，D兩點之間的距離為30cm，
故答案為：30．
【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠BCD＝60°．
7．（2024秋?江陰市期中）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，則AB的長為 2 ．
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．
【答案】2．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBD＝∠ADB，然后求出∠ABD＝∠ADB，可得結(jié)論．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，AD＝2，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2024秋?新吳區(qū)期中）如圖所示，在4×4的方格中每個小正方形的邊長是單位1，小正方形的頂點稱為格點．現(xiàn)有格點A、B，在方格中任意找一點C（必須是格點），使△ABC成為等腰三角形．這樣的格點有 8 個．
【考點】等腰三角形的判定．
【專題】網(wǎng)格型．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】分別以A、B為圓心，AB的長為半徑畫圓，看其與方格是的交點是格點的個數(shù)即可．
【解答】解：
如圖，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓，
則其與方格的交點為格點的有8個，
故答案為：8．
【點評】本題主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵，注意利用畫圓可以確定出滿足條件的點．
9．（2024秋?香坊區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為 80°或110° ．
【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】80°或110°．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求得∠B和∠C的度數(shù)，分兩種情況：當AD＝BD時，當AB＝BD時，分別求解即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵點D在BC邊上，△ABD為等腰三角形，
如圖，當AD＝BD時，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°．
如圖，當AB＝BD時，
∴∠BAD＝∠BDA=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．
故答案為：80°或110°．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論的思想解答．
10．（2024秋?惠城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD＝CD，F(xiàn)是AC上一點，連接BF，交AD于點E，且BE＝AC，若∠ACB＝60°，∠DAC＝40°，則求∠FBC的度數(shù)為 40° ．
【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】三角形；運算能力；推理能力．
【答案】40°．
【分析】延長AD到G使DG＝AD，連接BG，通過△ACD≌△GBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代換得到BE＝BG，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠G＝∠BEG，即可得到∠AEF＝∠EAF，進而利用三角形內(nèi)角和解答即可．
【解答】解：如圖，延長AD到G使DG＝AD，連接BG，
在△ACD與△GBD中，
CD=BD∠ADC=∠BDGAD=DG，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG＝BE，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠BED＝∠AEF＝∠DAC＝40°，
∴∠FBC＝∠ADC﹣∠BED＝80°﹣40°＝40°，
故答案為：40°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?南開區(qū)期中）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，直線DE與CA的延長線相于點F．
（Ⅰ）證明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的長．
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）證明見解析；
（2）5．
【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，再根據(jù)余角性質(zhì)可得∠F＝∠BDE，最后根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得∠F＝∠FDA，據(jù)此即可求證；
（2）由∠B＝60°可得∠BDE＝30°，進而由直角三角形的性質(zhì)可得BE=12BD=3，又可得△ABC是等邊三角形，得到BC＝AB＝AD+BD＝9，據(jù)此即可求解．
【解答】證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠CEF＝∠BED＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴BE=12BD＝2，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝7，
∴EC＝BC﹣BE＝5．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
12．（2024秋?瀏陽市期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E．（1）求證：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周長，△ADE的周長為15，求△ABC的周長．
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）證明見解析；
（2）30．
【分析】（1）由角平分線和平行線的性質(zhì)可得到∠EBD＝∠EDB，可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的周長公式解答即可．
【解答】證明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∴BE＝ED，
∴△DBE為等腰三角形；
解：（2）∵BE＝ED，△ADE的周長為15，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝15，
∵BD平分△ABC的周長，
∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝2（AB+AD）＝30．
【點評】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線和平行線的性質(zhì)可得到∠EBD＝∠EDB解答．
13．（2024秋?惠城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D為AB上一個動點．
（1）當∠A＝2∠BCD，AD＝CD時，求∠BCD的度數(shù)．
（2）已知∠A＝2∠BCD，求證：AD+AC＝2AB
【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）18°；（2）見詳解．
【分析】（1）設(shè)∠BCD＝x，由AD＝CD可知∠A＝∠ACD，因此∠A、∠ACD都可以用含x的式子表示，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；
（2）延長AB到點E，使BE＝BA，連接CE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，得到CE＝CA，∠BCE＝∠BCA，再由等量代換得到∠ECD＝∠EDC，因此DE＝CE，進而即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)∠BCD＝x，則∠A＝2∠BCD＝2x，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝2x，
∴2x+90°+x+2x＝180°，
解得x＝18°，
即∠BCD＝18°；
（2）如圖，延長AB到點E，使BE＝BA，連接CE，
由作圖可知：BC是AE的垂直平分線，
∴CE＝CA，
∴∠BCE＝∠BCA，
∵∠ECD＝∠BCE+∠BCD＝∠BCA+∠BCD＝∠DCA+2∠BCD＝∠DCA+∠A＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AD+AC＝AD+CE＝AD+DE＝AE＝2AB，
即AD+AC＝2AB．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)及等量代換，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．
14．（2024秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E．
（1）若∠A＝44°，求∠DCB的度數(shù)．
（2）若AE＝5，△DCB的周長為18，求△ABC的周長．
【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．
【答案】（1）24°；
（2）28．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得：∠ACB＝∠B＝68°，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠ACD＝44°，從而利用角的和差關(guān)系進行計算，即可解答；
（2）根據(jù)三角形的周長公式可得：DC+DB+BC＝18，然后利用等量代換可得AD+DB+BC＝18，從而可得AB+BC＝18，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC＝10，從而進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ACB＝∠B=180°?∠A2=68°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠ACD＝44°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝68°﹣44°＝24°；
（2）∵△DCB的周長為18，
∴DC+DB+BC＝18，
∵AD＝CD，
∴AD+DB+BC＝18，
∴AB+BC＝18，
∵DE是AC的垂直平分線，AE＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周長＝AC+AB+BC＝10+18＝28．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．
15．（2024秋?蘇州期中）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于點D，AD＝1．
（1）求CD的長；
（2）求△ABC的面積．
【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）CD＝1．（2）334．
【分析】（1）根據(jù)AB＝AC，可得∠C＝∠B＝30°，根據(jù)AD⊥AC以及三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAD＝30°，即可得到AD＝CD＝1；
（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD和AH，即可求出△ABC的面積．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠CAD＝30°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠C，
∴CD＝AD＝1．
（2）如圖，作AH⊥BC，垂足為H，
∵AD＝1，∠B＝30°，
∴BD＝2，AB=3，AH=32，
∴BC＝3，
S△ABC=12×BC×AH=12×3×32=334．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點卡片
1．平行線的性質(zhì)
1、平行線性質(zhì)定理
定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．
定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
2、兩條平行線之間的距離處處相等．
2．三角形內(nèi)角和定理
（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
（3）三角形內(nèi)角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．
（4）三角形內(nèi)角和定理的應用
主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．
3．三角形的外角性質(zhì)
（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．
（2）三角形的外角性質(zhì)：
①三角形的外角和為360°．
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．
（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．
（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．
4．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．
（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．
5．線段垂直平分線的性質(zhì)
（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．
（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段． ②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． ③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．
6．等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．
7．等腰三角形的判定
判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】
說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；
④判定定理在同一個三角形中才能適用．
8．等腰三角形的判定與性質(zhì)
1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．
3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．
9．等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
10．等邊三角形的判定與性質(zhì)
（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．
（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．
（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．
（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；
②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．

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