1．（2024春?普陀區(qū)期末）下列關于x的方程中，屬于分式方程的是（ ）
A．x2?13=54?x2B．xa?3=25x2
C．1x?1=0D．x2?xx=2
2．（2024秋?長安區(qū)校級期中）分式方程2xx?2=?1的解是（ ）
A．x=?23B．x=12C．x=23D．方程無解
3．（2024秋?長安區(qū)校級期中）國慶期間，幾個同學租一輛面包車去游覽，面包車的租價為300元，出發(fā)時又增加了兩名同學，結果每個同學比原來少攤了5元錢車費，設原來參加游覽的同學共x人，可列方程為（ ）
A．300x?2?300x=5B．300x+2?300x=5
C．300x?300x?2=5D．300x?300x+2=5
4．（2024?遼寧二模）把分式方程22x?4=32x化為整式方程，方程兩邊需同時乘以（ ）
A．2xB．2x﹣4C．2x（x﹣2）D．2x（2x﹣4）
5．（2024?涼州區(qū)二模）小東一家自駕車去某地旅行，手機導航系統推薦了兩條線路，線路一全程75km，線路二全程90km，汽車在線路二上行駛的平均時速是線路一上車速的1.8倍，線路二的用時預計比線路一用時少半小時，如果設汽車在線路一上行駛的平均速度為x km/h，則下面所列方程正確的是（ ）
A．75x=901.8x+12B．75x=901.8x?12
C．751.8x=90x+12D．751.8x=90x?12
二．填空題（共5小題）
6．（2024?港南區(qū)四模）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b滿足a?b=1a+1b．若(x+1)?x=3x，則x的值為 ．
7．（2024秋?新邵縣期中）若關于x的分式方程mx?1x?3+13?x=1無解，則m的值是 ．
8．（2024秋?昌平區(qū)期中）關于x的方程2x?1=1+ax?1（a為常數）無解，則a＝ ．
9．（2024秋?雞澤縣期中）如圖是一個電腦運算程序圖，當輸入不相等的a，b后，按照程序圖運行，會輸出一個結果．若a＝5，b＝x時，輸出的結果為2，則x的值為 ．
10．（2024春?梧州期末）已知關于x的方程2x?mx?2=3的解是正數，則m的取值范圍為 ．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?萊蕪區(qū)期中）閱讀下面材料，解答后面的問題
解方程：x?1x?4xx?1=0．
解：設y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
經檢驗：y＝±2都是方程y?4y=0的解，∴當y＝2時，x?1x=2，解得：x＝﹣1，
當y＝﹣2時，x?1x=?2，解得：x=13，
經檢驗：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=13．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．
【解決問題】
（1）若方程x?12x?xx?1=0，設y=x?1x，則原方程可化為 ．
（2）模仿上述換元法解方程：x?1x+2?9(x+2)x?1=0．
12．（2024秋?北碚區(qū)校級期中）解方程：
（1）2x2x?1+31?2x=2；
（2）8x2?4+1=xx?2．
13．（2024?邗江區(qū)校級一模）習總書記在黨的第二十次全國代表大會上，報告指出：“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”．某公司積極響應節(jié)能減排號召，決定采購新能源A型和B型兩款汽車，已知每輛A型汽車進價是每輛B型汽車進價的1.5倍，若用1500萬元購進A型汽車的數量比1200萬元購進B型汽車的數量少20輛．求每輛B型汽車進價是多少萬元？
14．（2024秋?朝陽區(qū)校級期中）若關于y的分式方程y+ay?2+2a2?y=4的解是正數，求a的取值范圍．
15．（2024?武威二模）某商場計劃購進一批籃球和足球，其中籃球的單價比足球的單價多30元，已知用360元購進的足球和用480元購進的籃球數量相等．
（1）籃球和足球的單價各是多少元？
（2）若籃球售價為每個150元，足球售價為每個110元，商場售出足球的數量比籃球數量的三分之一還多10個，且獲利超過1300元，問籃球最少要賣多少個？
2024-2025學年上學期初中數學人教版八年級期末必刷常考題之分式方程
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024春?普陀區(qū)期末）下列關于x的方程中，屬于分式方程的是（ ）
A．x2?13=54?x2B．xa?3=25x2
C．1x?1=0D．x2?xx=2
【考點】分式方程的定義．
【專題】分式方程及應用；數感．
【答案】D
【分析】分母中含有未知數的有理方程即為分式方程，據此進行判斷即可．
【解答】解：A中方程的分母中不含未知數，則A不符合題意；
B中方程的分母中不含未知數，則B不符合題意；
C中方程不是有理方程，則C不符合題意；
D中方程符合分式方程的定義，則D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查分式方程的定義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
2．（2024秋?長安區(qū)校級期中）分式方程2xx?2=?1的解是（ ）
A．x=?23B．x=12C．x=23D．方程無解
【考點】解分式方程；分式方程的解．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】C
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝﹣（x﹣2），
去括號得：2x＝﹣x+2，
移項得：2x+x＝2，
合并得：3x＝2，
系數化為1，得：x=23，
檢驗：把x=23代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解為x=23．
故選：C．
【點評】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關鍵．
3．（2024秋?長安區(qū)校級期中）國慶期間，幾個同學租一輛面包車去游覽，面包車的租價為300元，出發(fā)時又增加了兩名同學，結果每個同學比原來少攤了5元錢車費，設原來參加游覽的同學共x人，可列方程為（ ）
A．300x?2?300x=5B．300x+2?300x=5
C．300x?300x?2=5D．300x?300x+2=5
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【專題】分式方程及應用；應用意識．
【答案】D
【分析】設原來參加游覽的同學共x人，面包車的租價為300元，出發(fā)時又增加了兩名同學，結果每個同學比原來少攤了5元錢車費，可列方程．
【解答】解：設原來參加游覽的同學共x人，由題意得，
300x?300x+2=5．
故選：D．
【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，關鍵以錢數差價作為等量關系列方程．
4．（2024?遼寧二模）把分式方程22x?4=32x化為整式方程，方程兩邊需同時乘以（ ）
A．2xB．2x﹣4C．2x（x﹣2）D．2x（2x﹣4）
【考點】解分式方程．
【答案】C
【分析】首先找最簡公分母，再化成整式方程．
【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一個分母為2x，
故可得方程最簡公分母為2x（x﹣2）．
故選：C．
【點評】本題考查的是解分式方程，最簡公分母的確定時將分式方程轉化為整式方程的第一步，因此要根據所給分母確定最簡公分母．
5．（2024?涼州區(qū)二模）小東一家自駕車去某地旅行，手機導航系統推薦了兩條線路，線路一全程75km，線路二全程90km，汽車在線路二上行駛的平均時速是線路一上車速的1.8倍，線路二的用時預計比線路一用時少半小時，如果設汽車在線路一上行駛的平均速度為x km/h，則下面所列方程正確的是（ ）
A．75x=901.8x+12B．75x=901.8x?12
C．751.8x=90x+12D．751.8x=90x?12
【考點】由實際問題抽象出分式方程．
【專題】應用題．
【答案】A
【分析】設汽車在線路一上行駛的平均速度為x km/h，則在線路二上行駛的平均速度為1.8x km/h，根據線路二的用時預計比線路一用時少半小時，列方程即可．
【解答】解：設汽車在線路一上行駛的平均速度為x km/h，則在線路二上行駛的平均速度為1.8x km/h，
由題意得：75x=901.8x+12，
故選：A．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是，讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程．
二．填空題（共5小題）
6．（2024?港南區(qū)四模）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b滿足a?b=1a+1b．若(x+1)?x=3x，則x的值為 ﹣2 ．
【考點】解分式方程；實數的運算．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根據題意列得方程，解方程即可．
【解答】解：由題意得：1x+1+1x=3x，
整理得：1x+1=2x，
去分母得：x＝2x+2，
解得：x＝﹣2，
檢驗：當x＝﹣2時，x（x+1）≠0，
故原方程的解為x＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點評】本題考查解分式方程，根據題意列得正確的方程是解題的關鍵．
7．（2024秋?新邵縣期中）若關于x的分式方程mx?1x?3+13?x=1無解，則m的值是 1或23 ．
【考點】分式方程的解．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】1或23．
【分析】本題考查了分式方程的無解問題，先把分式方程化為整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于關于x的分式方程mx?1x?3+13?x=1無解，分兩種情況可求得m．
【解答】解：mx?1x?3+13?x=1
去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3，
（m﹣1）x＝﹣1．
∵關于x的分式方程無解，
當m﹣1＝0時，原方程無解，
∴m＝1，
∵最簡公分母x﹣3＝0，
∴x＝3，
當x＝3時，得m=23，
綜上m的值為1或23．
故答案為：1或23．
【點評】本題考查了分數方程求解，解決本題的關鍵是把分式方程轉化為整式方程，然后把整式方程的解代入原方程進行檢驗，若整式方程的解使分式方程的分母不為零，則這個整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母為零，則這個整式方程的解是分式方程的增根．
8．（2024秋?昌平區(qū)期中）關于x的方程2x?1=1+ax?1（a為常數）無解，則a＝ 2 ．
【考點】分式方程的解．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】2．
【分析】解分式方程，當x取增根時求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a，
移項、合并同類項，得x＝3﹣a，
x＝1是原分式方程的增根，即3﹣a＝1，
解得a＝2，
∴當a＝2時，原分式方程無解．
故答案為：2．
【點評】本題考查分式方程的解，掌握分式方程的解法是解題的關鍵．
9．（2024秋?雞澤縣期中）如圖是一個電腦運算程序圖，當輸入不相等的a，b后，按照程序圖運行，會輸出一個結果．若a＝5，b＝x時，輸出的結果為2，則x的值為 52或10 ．
【考點】解分式方程．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】52或10．
【分析】分類討論；分x＜5，x＞5兩種情況，解分式方程即可．
【解答】解：由題意得：當x＜5時，
方程為55?x=2，
解得：x=52，
經檢驗，x=52是分式方程的解；
當x＞5時，
方程為xx?5=2，
解得：x＝10，
經檢驗，x＝10是分式方程的解；
綜上，x的值為52或10．
故答案為：52或10．
【點評】本題考查了解分式方程，結合已知條件進行正確的分類討論是解題的關鍵．
10．（2024春?梧州期末）已知關于x的方程2x?mx?2=3的解是正數，則m的取值范圍為 m＜6且m≠4 ．
【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．
【專題】分式方程及應用．
【答案】見試題解答內容
【分析】首先求出關于x的方程2x?mx?2=3的解，然后根據解是正數，再解不等式求出m的取值范圍．
【解答】解：解關于x的方程2x?mx?2=3得x＝﹣m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正數，
∴﹣m+6＞0且﹣m+6≠2，
解這個不等式得m＜6且m≠4．
故答案為：m＜6且m≠4．
【點評】本題考查了分式方程的解，是一個方程與不等式的綜合題目，解關于x的方程是關鍵，解關于x的不等式是本題的一個難點．
三．解答題（共5小題）
11．（2024秋?萊蕪區(qū)期中）閱讀下面材料，解答后面的問題
解方程：x?1x?4xx?1=0．
解：設y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
經檢驗：y＝±2都是方程y?4y=0的解，∴當y＝2時，x?1x=2，解得：x＝﹣1，
當y＝﹣2時，x?1x=?2，解得：x=13，
經檢驗：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=13．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．
【解決問題】
（1）若方程x?12x?xx?1=0，設y=x?1x，則原方程可化為 y2?1y=0 ．
（2）模仿上述換元法解方程：x?1x+2?9(x+2)x?1=0．
【考點】換元法解分式方程．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】（1）y2?1y=0；
（2）x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
【分析】（1）根據題意將原方程換元即可；
（2）利用換元法解方程后進行檢驗即可．
【解答】解：（1）若方程x?12x?xx?1=0，設y=x?1x，則原方程可化為y2?1y=0，
故答案為：y2?1y=0；
（2）設m=x?1x+2，
則原方程化為m?9m=0，
解得：m1＝3，m2＝﹣3，
經檢驗，m1＝3，m2＝﹣3都是方程m?9m=0的解，
當x?1x+2=3時，
解得：x＝﹣3.5，
經檢驗，x＝﹣3.5是方程x?1x+2=3的解；
當x?1x+2=?3時，
解得：x＝﹣1.25，
經檢驗，x＝﹣1.25是方程x?1x+2=?3的解；
故原方程的解為x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
【點評】本題考查換元法解分式方程，掌握用換元法解分式方程的結構特征是正確解答的關鍵．
12．（2024秋?北碚區(qū)校級期中）解方程：
（1）2x2x?1+31?2x=2；
（2）8x2?4+1=xx?2．
【考點】解分式方程．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】（1）x=?12；（2）原方程無解．
【分析】（1）利用解分式方程的一般步驟解答即可；
（2）利用解分式方程的一般步驟解答即可．
【解答】解：（1）去分母得：
2x﹣3＝2（2x﹣1），
去括號得：
2x﹣3＝4x﹣2，
移項，合并同類項得：
﹣2x＝1，
∴x=?12．
經檢驗：x=?12是原方程的解．
∴原方程的解為x=?12．
（2）去分母得：
8+x2﹣4＝x（x+2），
去括號得：
8+x2﹣4＝x2+2x，
移項，合并同類項得：
2x＝4，
∴x＝2．
經檢驗：x＝2是原方程的增根．
∴原方程無解．
【點評】本題主要考查了分式方程的解法，熟練掌握分式方程解法的一般步驟是解題的關鍵．
13．（2024?邗江區(qū)校級一模）習總書記在黨的第二十次全國代表大會上，報告指出：“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”．某公司積極響應節(jié)能減排號召，決定采購新能源A型和B型兩款汽車，已知每輛A型汽車進價是每輛B型汽車進價的1.5倍，若用1500萬元購進A型汽車的數量比1200萬元購進B型汽車的數量少20輛．求每輛B型汽車進價是多少萬元？
【考點】分式方程的應用．
【專題】分式方程及應用；應用意識．
【答案】每輛B型汽車進價是10萬元．
【分析】設每輛B型汽車進價是x萬元，則每輛A型汽車進價是1.5x萬元，利用數量＝總價÷單價，結合用1500萬元購進A型汽車的數量比1200萬元購進B型汽車的數量少20輛，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．
【解答】解：設每輛B型汽車進價是x萬元，則每輛A型汽車進價是1.5x萬元，
根據題意得：1200x?15001.5x=20，
解得：x＝10，
經檢驗，x＝10是所列方程的解，且符合題意．
答：每輛B型汽車進價是10萬元．
【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
14．（2024秋?朝陽區(qū)校級期中）若關于y的分式方程y+ay?2+2a2?y=4的解是正數，求a的取值范圍．
【考點】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式．
【專題】分式方程及應用；運算能力．
【答案】a＜8且a≠2．
【分析】先根據解分式方程的方法求出x，然后再根據分式方程的解是正數列出不等式，根據解一元一次不等式的方法求解即可．
【解答】解：y+ay?2+2a2?y=4，
方程兩邊同乘（y﹣2），得y+a﹣2a＝4（y﹣2），
整理，得3y＝8﹣a，
∴y=8?a3，
∵y＞0，且y≠2，
8?a3＞0，且8?a3≠2，
解得：a＜8且a≠2，
∴a的取值范圍為a＜8且a≠2．
【點評】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式方程的解，熟練掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式的方法是解題的關鍵．
15．（2024?武威二模）某商場計劃購進一批籃球和足球，其中籃球的單價比足球的單價多30元，已知用360元購進的足球和用480元購進的籃球數量相等．
（1）籃球和足球的單價各是多少元？
（2）若籃球售價為每個150元，足球售價為每個110元，商場售出足球的數量比籃球數量的三分之一還多10個，且獲利超過1300元，問籃球最少要賣多少個？
【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．
【專題】分式方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；應用意識．
【答案】（1）籃球的單價是120元，足球的單價是90元；
（2）籃球最少要賣33個．
【分析】（1）設足球的單價是x元，則籃球的單價是（x+30）元，利用數量＝總價÷單價，結合用360元購進的足球和用480元購進的籃球數量相等，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出足球的單價，再將其代入（x+30）中，即可求出籃球的單價；
（2）設籃球賣了y個，則足球賣了（13y+10）個，利用總利潤＝每個的銷售利潤×銷售數量，結合總利潤超過1300元，可列出關于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范圍，再結合y，13y+10均為正整數，即可得出結論．
【解答】解：（1）設足球的單價是x元，則籃球的單價是（x+30）元，
根據題意得：360x=480x+30，
解得：x＝90，
經檢驗，x＝90是所列方程的解，且符合題意，
∴x+30＝90+30＝120．
答：籃球的單價是120元，足球的單價是90元；
（2）設籃球賣了y個，則足球賣了（13y+10）個，
根據題意得：（150﹣120）y+（110﹣90）（13y+10）＞1300，
解得：y＞30，
又∵y，13y+10均為正整數，
∴y的最小值為33．
答：籃球最少要賣33個．
【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
考點卡片
1．實數的運算
（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．
（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．
【規(guī)律方法】實數運算的“三個關鍵”
1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．
2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．
3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．
2．分式方程的定義
分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．
判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數．
3．分式方程的解
求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數的值，這個值叫方程的解．
注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4．解分式方程
（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．
（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：
①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．
②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程時，一定要檢驗．
5．換元法解分式方程
1、解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．
換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．
2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現．
6．由實際問題抽象出分式方程
由實際問題抽象出分式方程的關鍵是分析題意找出相等關系．
（1）在確定相等關系時，一是要理解一些常用的數量關系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．
（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．
7．分式方程的應用
1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．
必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．
2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間
等等．
列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．
8．解一元一次不等式
根據不等式的性質解一元一次不等式
基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．
以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．
注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．
9．一元一次不等式的應用
（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．
（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．
（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：
①弄清題中數量關系，用字母表示未知數．
②根據題中的不等關系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④寫出符合題意的解．

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