一線三等角：三個相等的角的頂點在一條直線上
◎結(jié)論1：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，
則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴＝
改為乘積式：AD.CE＝AB.BC
一線三等角經(jīng)典結(jié)論：左乘右＝左乘右

◎結(jié)論2：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，B點是AC的中點，
證明：△ABD∽△CEB
∴＝＝,＝
∵AB＝BC
∴＝
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線
則①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型圖解


常見圖形：

一線三等角模型應(yīng)用的四種情況：
1.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；
2.圖形中存在“一線二等角”，再構(gòu)造“一個等角”，利用模型解題；
3.圖形中只有直線上一個角，再構(gòu)造“兩個等角”，利用模型解題；
4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線三等（直）角”，利用模型解題。
1．（2021·重慶渝北·九年級期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·江蘇揚州·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF=____．
2．（2021·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________
3（2021·吉林·長春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
1．（2020·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點分別落在軸軸上，，AB=2BC則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點A的對應(yīng)點是點A′，點B的對應(yīng)點是點B′，點B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點F落在邊BC上，且時，的值為______．
4．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．

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