◎結(jié)論1：如圖 △BAC，△BDE為等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，CE與AD相交于點(diǎn)P，則①△ABD∽△CBE，相似比為1∶，②AD與CE的夾角為45°

證明：①將△BDA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再將三邊擴(kuò)大到原來的倍
∵AD,CE夾角45°，
∴∠DAB＝∠ECB，∠AOP＝∠BOC
∵∠BDA＝45°－∠ABE
∠EBC＝45°－∠ABE
∴∠DBA＝∠EBC
＝
∴△BDA∽△BEC
∴
②∵△BDA∽△BEC，∴∠BAD＝∠BCE,
∴∠PAC＋∠ACE＝∠BAD＋∠BAC＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC＝45°＋90°＝135°
∴∠APC＝180°－∠ACE－∠PAC＝45°
∴AD與CE的夾角為45o。
【結(jié)論2】如圖 ，Rt△AOB∽R(shí)t△COD ，則①△AOC∽△BOD，②AC⊥BD, ③AD2＋BC2＝CD2＋AB2

【證明】
∵∠AOP＝90°＋∠COB
∠BOD＝90°＋∠COB
∴∠AOP＝∠BOD
∵△AOB∽△COD，∴，∴
∴△AOC∽△BOD
∴∠OAC＝∠OBD
∵∠AMO＝∠BMP
∴∠AOM＝∠BPM＝90°
即AC⊥BD
∵AD2＝PA2＋PD2，BC2＝PB2＋PC2,CD2＝PC2＋PD2,AB2＝PA2＋PB2,
∴AD2＋BC2＝CD2＋AB2
①旋轉(zhuǎn)前有一對相似三角形，旋轉(zhuǎn)后新產(chǎn)生一對相似三角形;
②證明新三角形相似采用"SAS判定法"
③若看不出相似三角形，則需作輔助線構(gòu)造相似三角形.
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
相同圖形在一起，要把邊角邊想起
1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長為________.
【答案】
【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長.
【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，
∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，
∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，
∴△ANG∽ADM，
∴，
∵，
∴DF=EG=2,
∴DN=NG=1，
∵AD=AB=3，
∴，
解得：DM=，
∴MC=，AM=，
∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，
∴∠ADG=∠EDC，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠AMD=∠CMH，
∴∠ADM=∠CHM=90°，
∴△ADM∽△CHM，
∴，
即，
解得：CH=.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計(jì)算出CH的長.
2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；
【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．
【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；
（2）連接BD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，過A作AF⊥EC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．
（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F．
根據(jù)題意可知，Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD，
∴，∴．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，
∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．
在旋轉(zhuǎn)前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，
∴，∵AC⊥BD，
∴，∴．
∴，
在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉(zhuǎn)后，得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．
1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．
【探究】求證：．
【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
(1)的值為______．
(2)若，則MN的長為______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；
【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；
（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．
（1）
∵△ABC為等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，
∴，∴；
（2）
（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4，
∴，∵，
∴，∴，∴，
故答案為：8；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵．
1．（2020·廣西貴港·模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對折，使點(diǎn)C落在C′的位置，C′D交AB于點(diǎn)Q，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)折疊得到對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，進(jìn)而求出∠C、∠B的度數(shù)，求出其他角的度數(shù)，可得AQ＝AC，將轉(zhuǎn)化為，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關(guān)系得出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，
∴AD＝CD＝BD，
由折疊得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得：＝，
∴＝＝＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)睛】考查直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，合理的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2022·河北保定·二模）幾何探究：
【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請直接寫出答案）

【類比探究】
（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由；
【拓展延伸】
（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1 : 2的兩個(gè)等腰直角三角形，將△ADE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出BD的長．
【答案】（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．
【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；
（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例；
（3）分兩種情況求出BD的長即可．
【詳解】（1）相等;
提示：如圖4所示．
∵△ADE和△ABC均為等邊三角形，
∴
∴
∴
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴．
（2）不成立；
理由如下：如圖5所示．
在Rt△ADE和Rt△ABC中，
∵
∴
∴
∵
∴△ABD∽△ACE
∴
∴
故（1）中的結(jié)論不成立；
（3）或．
提示:分為兩種情況：
①如圖6所示．
易證：△ABD≌△ACE（SAS）
∴
∴
∴
由題意可知：
設(shè),則
在Rt△BCE中,由勾股定理得：
∴
解之得:（舍去）
∴；
②如圖7所示．
易證：△ABD≌△ACE（SAS），
設(shè)，則
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴
解之得：（舍去）
∴.
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想考慮問題．

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