中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何模擬專項(xiàng)講練模型23 勾股定理——趙爽弦圖模型（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

◎結(jié)論1：在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，則四邊形EHGF是正方形

【證明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，
∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，
∵∠AEH＋∠AHE＝90°
∴∠AEH十∠BEF＝90°
∴∠FEH＝90°
∴四邊形 EHGF是正方形.
◎結(jié)論2：如圖所示，在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，F(xiàn)R∥AB，
則四邊形ORQP是正方形
【證明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，F(xiàn)R∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴四邊形 AHPE、四邊形 EBFQ、四邊形 FCGP、四邊形 HOGD均為長(zhǎng)方形，
∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,
∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,
∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，
∴四邊形 ORQP為正方形.
◎結(jié)論3：如圖所示，在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，F(xiàn)R∥AB，則（1）S正方形 =4S 十S正方形;
（2）S正方形 =4S十S正方形;
（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.
（4）2S正方形=S正方形十S正方形
注：常見(jiàn)的勾股數(shù)組合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1．（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)思明分校八年級(jí)期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）
A．①②B．②④C．①②③D．①③
【答案】C
【分析】由題意知，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到，由此即可判斷．
【詳解】解：由題意知，
①﹣②可得2xy＝45記為③，
①+③得到，
∴，
∴ ．
∵x＞y，由②可得x-y=2
由③得2xy+4＝49
∴結(jié)論①②③正確，④錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找出圖中的線段關(guān)系，并利用完全平方公式求出各個(gè)式子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·遼寧·丹東市第五中學(xué)七年級(jí)期末）如圖是“趙爽弦圖”，由個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為，較短直角邊為，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)即可求解．
【詳解】解：因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是，小正方形的面積是，
所以一個(gè)小三角形的面積是，三角形的斜邊為，
所以，，
所以，
所以．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和ab的值是關(guān)鍵．
3．（2022·河南·鄭州經(jīng)開(kāi)區(qū)外國(guó)語(yǔ)女子中學(xué)八年級(jí)期末）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．如圖是由四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)小正方形進(jìn)行的鑲嵌，其中直角三角形的一個(gè)角等于，若小正方形的邊長(zhǎng)為，則大正方形的邊長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)BF=x，利用含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系可得AB=2x，AF=x，再根據(jù)EF=1，列出方程，從而解決問(wèn)題．
【詳解】解：設(shè)，
，，
，，
，
，
解得，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，勾股定理，含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
小試牛刀
1．（2022·北京十一晉元中學(xué)八年級(jí)期中）用四個(gè)全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形如圖所示，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若x，y表示直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)（x＞y），給出下列四個(gè)結(jié)論正確的是 _____．（填序號(hào)即可）
①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9．
【答案】①②③
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答．
【詳解】解：如圖，
∴，故①正確，
∵△ABC為直角三角形，
∴根據(jù)勾股定理：，
故②正確，
由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，
可得：4××xy+4=49，
即2xy=45；
故③正確；
由2xy=45①，
又∵②，
∴①+②得，，
整理得，，
x+y=≠9，
故④錯(cuò)誤，
∴正確結(jié)論有①②③．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及正方形和三角形的邊的關(guān)系，完全平方公式，算術(shù)平方根的應(yīng)用，熟悉勾股定理并認(rèn)清圖中的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）把圖①中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖②，③所示的正方形（圖②中大正方形邊長(zhǎng)為5，圖③中中間小正方形邊長(zhǎng)為1），則圖①中菱形的面積為_(kāi)_______．
【答案】12
【分析】設(shè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為2a，較短對(duì)角線長(zhǎng)為2b，根據(jù)兩種拼圖得到，計(jì)算a，b的值，后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為2a，較短對(duì)角線長(zhǎng)為2b，
根據(jù)兩種拼圖得到，
解得，
所以菱形的面積為：=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，方程組，熟練掌握菱形的性質(zhì)，方程組是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山西呂梁·八年級(jí)期末）如圖是一幅趙爽弦圖，利用此圖可以證明勾股定理．現(xiàn)連接BE，發(fā)現(xiàn)AB＝BE，若DE＝1，則正方形ABCD的面積為_(kāi)_______．
【答案】5
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖：由題意得，，
，，
，
，
正方形的面積，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．
4．（2022·河南安陽(yáng)·八年級(jí)期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀(jì)我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則的值是____________．
【答案】49
【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到，，然后變形即可得到ab的值，再將展開(kāi)，將a2 + b2和ab的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：由圖可得，
，，
∴，
∵小正方形的面積是1，
∴，
∴，
∴，
∴
=
=
= 25+ 24
=49；
故答案為：49．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是求出ab的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
1．（2022·四川宜賓·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為_(kāi)_____．
【答案】289
【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為，較長(zhǎng)的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長(zhǎng)定理可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進(jìn)而計(jì)算即即可求解．
【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為，較長(zhǎng)的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，
直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·湖南婁底·中考真題）由4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形的面積的和證明了勾股定理，還可以用來(lái)證明結(jié)論：若、且為定值，則當(dāng)_______時(shí)，取得最大值．
【答案】=
【分析】設(shè)為定值，則，先根據(jù)“張爽弦圖”得出，再利用平方數(shù)的非負(fù)性即可得．
【詳解】設(shè)為定值，則
由“張爽弦圖”可知，
即
要使的值最大，則需最小
又
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為0
則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平方數(shù)的非負(fù)性，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．

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