◎結(jié)論1：如圖 ，已知∠1=∠2.結(jié)論∶△ADE∽△ABC ＝＝
拓展
3 組 A字模型∶A－DE－BC, A－DN－BM, A－NE－MC;
3 組8字模型∶DE－O－BC，DN－O－MC, NE－O－BM.

粽子模型 ： 由A字型可推導(dǎo)出：EH＝，
三角形內(nèi)的正方形邊長＝
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
雞（積）在河（和）上飛


1． (2023·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
1． (2023·海南海口·九年級期末）如圖，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
2． (2023·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
3． (2023·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)九年級期中）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)（不與C，D兩點(diǎn)重合），連接BE，過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)F，交對角線BD于點(diǎn)G，交AD邊于點(diǎn)H，連接GE．
（1）求證：CH＝BE；
（2）如圖2，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)BE＝12時(shí)，求線段GE的長；
（3）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，點(diǎn)E將CD分成1∶2兩部分，求的值．
1． (2023·安徽·合肥市第四十八中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（ ）
A．9B．12C．18D．24
2． (2023·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
相似形
模型（四十）——“A”、“8”字模型
◎結(jié)論1：如圖 ，已知∠1=∠2.結(jié)論∶△ADE∽△ABC ＝＝
拓展
3 組 A字模型∶A－DE－BC, A－DN－BM, A－NE－MC;
3 組8字模型∶DE－O－BC，DN－O－MC, NE－O－BM.

粽子模型 ： 由A字型可推導(dǎo)出：EH＝，
三角形內(nèi)的正方形邊長＝
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
雞（積）在河（和）上飛


1． (2023·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．
1． (2023·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設(shè)，，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后相比計(jì)算即可得解．
【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，
，AB=CD
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE：CD=1：2
∵AB//DE
∽，
：：：4，EF:AF=1:2
設(shè)，則，
：：2，
：：：2，
，
，
是平行四邊形ABCD的對角線，
，
，
：：：5．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用．
2． (2023·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；
（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．
【詳解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)九年級期中）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)（不與C，D兩點(diǎn)重合），連接BE，過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)F，交對角線BD于點(diǎn)G，交AD邊于點(diǎn)H，連接GE．
（1）求證：CH＝BE；
（2）如圖2，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)BE＝12時(shí)，求線段GE的長；
（3）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，點(diǎn)E將CD分成1∶2兩部分，求的值．
【答案】（1）見解析（2）4（3）5或8．
【分析】（1）可得∠CHD＝∠BEC，根據(jù)AAS可證明△DHC≌△CEB，即可求解；
（2）由三角形全等與平行線的性質(zhì)，可得．則GC＝2GH，可求出GH的長，故可得到GE的長；
（3）點(diǎn)E將CD分成1∶2兩部分得到①，②，再分別得到 S1和S2的關(guān)系進(jìn)行求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，
∴∠DHC＋∠DCH＝90°，
∵CH⊥BE，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ECF＋∠BEC＝90°，
∴∠CHD＝∠BEC，
∴△DHC≌△CEB（AAS），
∴CH＝BE；
（2）∵△DHC≌△CEB，
∴CH＝BE，DH＝CE，
∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，
∴DH＝BC，
∵DHBC，

∴，
∴GC＝2GH，
設(shè)GH＝x，則，則CG＝2x，
∴3x＝12，
∴x＝4．
即GH＝4
∵DH=DE，∠HDG=∠EDG=45°，DG=DG
∴△HDG≌△EDG（SAS）
∴GE=GH=4；
（3）點(diǎn)E將CD分成1∶2兩部分
則①，②
當(dāng)時(shí)，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，

∴，
∴，，
設(shè)S△DGH＝a，則S△BCG＝9a，S△DCG＝3a，
∴S△BCD＝9a＋3a＝12a，
∴S1＝2S△BCD＝24a，
∵S△DEG：S△CEG＝2：1，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋a＝3a．
∴S1：S2＝24a：3a＝8．
當(dāng)時(shí)，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，
∴，
∴，，
設(shè)S△DGH＝4a，則S△BCG＝9a，S△DCG＝6a，
∴S△BCD＝9a＋6a＝15a，
∴S1＝2S△BCD＝30a，
∵S△DEG：S△CEG＝1：2，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋4a＝6a．
∴S1：S2＝30a：6a＝5．
故S1：S2＝5或8．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．
1． (2023·安徽·合肥市第四十八中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（ ）
A．9B．12C．18D．24
【答案】C
【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G．首先證明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解決問題．
【詳解】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G．
∵，
∴EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝EC，
∴EQ＝3CQ，
∵EG∥BC，
∴△EQG∽△CQB，
∴＝＝3，
∵BC＝6，
∴EG＝18，
∴EP+PB＝EG＝18，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．

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