一、單選題
1．復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．為了了解學(xué)校質(zhì)量監(jiān)測(cè)成績，現(xiàn)隨機(jī)抽取該校200名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績?cè)趨^(qū)間這一組內(nèi)的學(xué)生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的矩形高度為（ ）
A．0.2B．0.02C．0.4D．0.04
5．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
6．在的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．20B．C．40D．
7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則（ ）
A．B．C．0D．1
8．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個(gè)平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同.據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截得的曲線是拋物線.如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐中，是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點(diǎn)，，平面截該圓錐面所得的曲的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為
D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到
10．已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則是等差數(shù)列
C．若，則是等比數(shù)列
D． 若，則是等比數(shù)列
11．在平面內(nèi)，存在定圓和定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)軌跡敘述正確的是（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓
B．當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)且不與圓心重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓
C．當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線
D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線
三、填空題
12．已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且成等比數(shù)列，則 .
13．已知向量滿足，且，則 .
14．2025年春晚，一場(chǎng)別開生面的機(jī)器人舞蹈表演震撼了觀眾.現(xiàn)在編排一個(gè)動(dòng)作，機(jī)器人從原點(diǎn)出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次.求該機(jī)器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達(dá)）點(diǎn)位置的條件下，水平方向移動(dòng)2次的概率為 .
四、解答題
15．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求的最大值.
16．已知函數(shù).
(1)若存在，使成立，求的取值范圍；
(2)已知，若在上恒成立，求的最小值.
17．斜三棱柱各棱長為為棱上的一點(diǎn).
(1)求證：；
(2)若平面平面，且二面角的余弦值為，求的長.
18．某網(wǎng)店發(fā)現(xiàn)其某款商品的日銷售量與該店在購物平臺(tái)的日訪問量呈線性相關(guān)關(guān)系，為了吸引更多的顧客購買該商品，在上推出了和兩款互動(dòng)游戲，顧客在參與游戲后，有機(jī)會(huì)獲得優(yōu)惠券.下圖是該商品的日銷售量（單位：千件）與日訪問量（單位：萬人次）的散點(diǎn)圖：
(1)求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)日訪問量12萬人次時(shí)日銷售多少千件商品；
(2)款游戲?yàn)橥P(guān)游戲，游戲規(guī)則為：顧客每次挑戰(zhàn)都有的概率成功通關(guān)，一旦成功，則游戲立即結(jié)束并獲得優(yōu)惠券，如果挑戰(zhàn)失敗，可繼續(xù)挑戰(zhàn)；每位顧客共有次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，第無論成功與否都結(jié)束游戲.設(shè)為游戲結(jié)束時(shí)，進(jìn)行挑戰(zhàn)的次數(shù)，的數(shù)學(xué)期望為，證明：；
(3)款游戲?yàn)槌榍蛴螒颍螒蛞?guī)則為：有個(gè)小球，編號(hào)為，參與者從中隨機(jī)抽取個(gè)小球，記錄編號(hào)后放回，再重新隨機(jī)抽取個(gè)小球，記被重復(fù)抽取的小球數(shù)為，并向參與者發(fā)放張優(yōu)惠卷，求使取得最大值時(shí)的值.
參考數(shù)據(jù)：.
參考公式：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，且，其中均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為曲線.
(1)若曲線為雙曲線，試問應(yīng)滿足什么條件？
(2)設(shè)曲線為曲線，點(diǎn)是上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.延長至，使得，且直線和曲線的另一個(gè)交點(diǎn)位于第二象限內(nèi).
（i）求的取值范圍；
（ii）設(shè)直線斜率為，直線斜率為，判斷與的關(guān)系，并求的取值范圍.
《吉林省長春市2025屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．B
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，即得其虛部.
【詳解】因，
故復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：B
2．A
【分析】解不等式得出解集，再根據(jù)集合之間的包含關(guān)系可得出結(jié)論.
【詳解】解不等式，可得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A．
3．D
【分析】利用換元法求解，即可代入求解.
【詳解】令，則，所以，即.
故選:D.
4．B
【分析】根據(jù)頻率和組距即可求解.
【詳解】由題意成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)學(xué)生的頻率為，因此，
故選:B
5．B
【分析】由題意，根據(jù)公式：圓臺(tái)的側(cè)面積=大圓錐的側(cè)面積-小圓錐的側(cè)面積，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：

則，已知，則，
可得，解得，即，
小圓錐的側(cè)面積為，
大圓錐的側(cè)面積為，
所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.
故選：B.
6．C
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)特征即可求解.
【詳解】由于，
所以含的項(xiàng)為，
所以的系數(shù)為，
故選:C.
7．B
【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得，即可根據(jù)的對(duì)稱性以及奇偶性求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可知，
，即，
可得，因此函數(shù)有對(duì)稱軸，
由，可得，
由為上的偶函數(shù)且具有對(duì)稱軸，可得.
故選:B.
8．C
【分析】根據(jù)已知角的關(guān)系得出離心率的表達(dá)式．接著利用向量關(guān)系求出OE的長度．再結(jié)合已知的線段長度，在中運(yùn)用正弦定理，得到的值，此值即為離心率的值．
【詳解】由題意的，則，
所以，在中，，
則，所以，且.
由正弦定理得，，
即，
故選：C.
9．AC
【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式、單調(diào)性以及對(duì)稱性，根據(jù)函數(shù)圖象變換，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.
【詳解】函數(shù)的周期為，故A正確；
的單調(diào)增區(qū)間為，
即，故B錯(cuò)誤；
令，則，故C正確；
函數(shù)向右平移個(gè)單位長度得到，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．BCD
【分析】根據(jù)題意，由遞推公式以及數(shù)列的首項(xiàng)，分別求得，然后分別結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，若，
可演繹為，
因此數(shù)列不是等差數(shù)列，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，若，可演繹為
因此數(shù)列是等差數(shù)列，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，可演繹為
因此數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若，可演繹為
因此數(shù)列是等比數(shù)列，故D選項(xiàng)正確；
故選：BCD.
11．ABD
【分析】由點(diǎn)是線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，可得.對(duì)點(diǎn)的位置分類討論，利用線段垂直平分線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)及圓錐曲線的定義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】設(shè)圓的半徑.
當(dāng)點(diǎn)與圓的圓心重合時(shí)，線段的中垂線與直線的交點(diǎn)即為的中點(diǎn)，
此時(shí)，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故選項(xiàng)A正確；
當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)且非圓心時(shí)，如圖所示.
∵點(diǎn)是線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，，，
（其中為圓的半徑），∴點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，如圖所示，根據(jù)圓的性質(zhì)可知線段的中垂線與直線的交點(diǎn)即為圓心，軌跡為一個(gè)點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖所示.
∵點(diǎn)是線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，
，，或，
∴或（其中為圓的半徑），即，
∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.
12．
【分析】由等比中項(xiàng)列出方程，即可求得公差，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，則或（舍），
則.
故答案為：.
13．
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合條件，即可求得.
【詳解】.
故答案為：.
14．
【分析】設(shè)出基本事件，列舉出滿足要求的情況，利用條件概率公式進(jìn)行求解
【詳解】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動(dòng)2次”，
按到位置需要1步，3步分類討論.
記向左，向右，向上，向下，
①若1步到位為事件，則滿足要求的是或或或或，
或或或或，所以；
②若3步到位為事件，則滿足要求的是，
所以；所以，
滿足的情況有：或或或或.
所以，所以.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可得，結(jié)合正弦定理的邊角互化代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，再由向量數(shù)量積的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
由正弦定理得
，
在中，所以，
所以，所以，又，所以.
（2）由余弦定理可得，
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，
，
.
16．(1).
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，即可得到其最大值，從而得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為即可，從而求解.
【詳解】（1）因?yàn)榇嬖冢钩闪ⅲ?br>即，所以，
令，則，
令可得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時(shí)，有極大值，即最大值，
，所以.
（2），令，
令，
則（舍）或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時(shí)，有極大值，即最大值，
，
則，則的最小值為.
17．(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）由等邊三角形的三線合一與勾股定理可得線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式建立方程，可得答案.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，在中，為中點(diǎn)，所以，
在中，，所以，
所以有，即，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>（2）由（1）知且平面平面，所以面，
則，如圖以兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
，
設(shè)，
，
設(shè)平面法向量為，
，
可取，
平面的法向量為，
所以有，
化簡得，
所以有（舍）或者，所以.
18．(1)，千件
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）由表中的數(shù)據(jù)求得樣本中心，根據(jù)回歸直線的求解公式，代入已知值，可得答案；
（2）根據(jù)離散型分布列，求得其數(shù)學(xué)期望，利用錯(cuò)位相減法，可得公式，可得答案；
（3）由題意，利用古典概型求得概率，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)建立不等式，可得答案.
【詳解】（1）由題意可得：，
.
所以回歸方程，
時(shí)，，所以日訪問量12萬人時(shí)銷售千件商品；
（2）可取值為，
當(dāng)時(shí)，，，
所以的分布列為
故①.
因?yàn)棰?br>由①-②得
，
所以；
（3）當(dāng)時(shí)，只能取，故只能取，有；
當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是0和中的較大者.
兩次抽球包含的基本事件總數(shù)為，
事件“”所包含的基本事件數(shù)為，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，顯然，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值的整數(shù)或，
當(dāng)時(shí)，取得最大值的整數(shù)，
其中為不超過的最大整數(shù).
19．(1)，且
(2)（i）；（ii），.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式得出的范圍；
（2）（i）根據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得出的范圍，即可求出；
（ii）先根據(jù)的范圍求出的范圍，再利用，將化為，求函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則由，得，
即，
若曲線為雙曲線，則，
所以可化為，
則，則，
所以當(dāng)，且時(shí)，曲線為雙曲線.
（2）（i）當(dāng)時(shí)，，即，
由題意得，設(shè)點(diǎn)，
由，即，即，
得，則，
則直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，得，
由直線與雙曲線有2個(gè)交點(diǎn)，則，
又因?yàn)闈M足，
由韋達(dá)定理得，解得，
因?yàn)?，且?br>得，所以，
又因?yàn)?，可得?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，可得，則的取值范圍為.
（ii）由（i）得
，
又，所以，
因?yàn)?，則，則，
因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
B
B
C
B
C
AC
BCD
題號(hào)
11









答案
ABD









1
2
3

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