模型1.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段等）
【模型解讀與圖示】
已知如圖1，為的角平分線、不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在上截取，連結(jié)即可.即有≌，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.
圖1 圖2
1．（2022·湖北十堰·九年級(jí)期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD．

（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想；
（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．
【答案】（1）；證明見(jiàn)解析；（2）；證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，連接DE，易證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易證DE＝CD，則可求得AB＝AC＋CD；
（2）首先在BA的延長(zhǎng)線上截取AE＝AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易證DE＝EB，則可求得AC＋AB＝CD．
【詳解】（1）猜想：．
證明：如圖②，在上截取，連結(jié)，
∵為的角平分線時(shí)，
∴，∵，
∴，
∴，，
∵，∴．
∵，
∴，∴，
∴．
（2）猜想：．
證明：在的延長(zhǎng)線上截取，連結(jié)．
∵平分，∴．
在與中，，，，
∴．
∴，．
∴．
又，，．
∴．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
2．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）已知在中，滿足，
(1)【問(wèn)題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)使得，連接，求證：．
(2)【問(wèn)題拓展】如圖2，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)【猜想證明】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時(shí)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)成立，證明見(jiàn)解析
(3)猜想，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；
（2）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；
（3）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證．
（1）
證明：∵為的角平分線，
∴，
在與中，，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）
解：（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：
∵為的角平分線時(shí)，∴，
在與中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
解：猜想，證明如下：
∵平分，
∴，
在與中,，
∴，
∴，，
如圖，∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．
3．（2022·浙江·九年級(jí)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）
（2）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明．
（3）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則線段 AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC
【分析】（1）在AB上截取AE=AC，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根據(jù)已知條件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代換得到CD=BE．即可得到結(jié)論；
（2）在AC取一點(diǎn)E使AB=AE，連接DE，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因?yàn)椤螧=2∠C，所以∠AED=2∠C，因?yàn)椤螦ED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，進(jìn)而可證明AB+BD=AE+EC=AC；
（3）在AB的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=BE，BE=CD，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC
∵AD為∠BAC的平分線
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，

∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE， ∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE， ∴AB=AC＋CD．
（2）證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
,
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
（3）猜想：AB=CD﹣AC
證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于線段和差關(guān)系的證明，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法.
4．（2022·北京九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點(diǎn)．

（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（直接寫(xiě)出答案）
（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；
（2）在AE上取點(diǎn)F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG＝ED，連結(jié)CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF＝CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG＝CG＝BD，從而可證得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖（1），在AE上取一點(diǎn)F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴BC＝CD．∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案為：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋BD．
證明：如圖（2），在AE上取點(diǎn)F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG＝ED，連結(jié)CG．
∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB＝CD＝BD．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可證：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．
∵CB＝CD，∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°?120°＝60°．
∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等邊三角形．∴FG＝FC＝BD．
∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
模型2.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）
【模型解讀與圖示】
已知如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)作即可.即有、≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.
圖1 圖2 圖3
鄰等對(duì)補(bǔ)模型：已知如圖2，AP是∠CAB的角平分線，EP=DP
輔助線：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC、PF⊥AB
結(jié)論：①（四點(diǎn)共圓）；②；③
1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．
【答案】1
【分析】作于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)推出，再利用三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，
∵平分，，，∴，
∴．故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線求出三角形ACD中AC邊的高是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
【詳解】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為．若的周長(zhǎng)為56，，求的面積．
【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)84
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證即可求證；
（2）作，由即可求解；
（1）證明：在中，
∵，∴，
∵分別平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）如圖，作，
∵的周長(zhǎng)為56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射線OB于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，見(jiàn)解析
【分析】（1）結(jié)論CF=CG，由角平分線性質(zhì)定理即可判斷．
（2）結(jié)論：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG；
證明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如圖，
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），
∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分線的性質(zhì)），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，
∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等．
模型3.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）
【模型解讀與圖示】
已知如圖1，為的角平分線，于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)交于點(diǎn)即可。即可構(gòu)造△PON≌△POM，有是等腰三角形、是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題. 常見(jiàn)模型如圖2。
圖1 圖2
1．（2022·安徽合肥·一模）如圖，中，AD平分，E是BC中點(diǎn)，，，，則DE的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，先證明，得到BD=DF，D是BF的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，如圖
AD平分，
D是BF的中點(diǎn)，
E是BC中點(diǎn)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．
（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫(xiě)出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BD=2CE，理由見(jiàn)解析；（3）FM=2CE．
【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；
（2）延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；
（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．
【詳解】證明(1) ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵BA=BF，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，
∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：
延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，
∴GE=2CE=2GE，
∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，
∴△BAD≌△CAG（ASA），
∴BD=CG=2CE，
（3）FM=2 CE，理由如下：
作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，
∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，
∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，
∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，
∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，
∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，
∴△FNH≌△CME（AAS），
∴FH=CE，
∴FM=2FH=2CE．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．
3．（2022·福建·廈門(mén)九年級(jí)期中）如圖，在中，，，
（1）如圖1,平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
（i）若，求證：垂直平分；
（ii）若,求證：．
（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，，垂足在的延長(zhǎng)線上，試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3） 如圖3，為上一點(diǎn)，，，垂足為，與交于點(diǎn)，寫(xiě)出線段和的數(shù)量關(guān)系．（不要求寫(xiě)出過(guò)程）
【答案】（1）（?。┮?jiàn)解析；（ⅱ）見(jiàn)解析；（2）BD＝2CE，理由見(jiàn)解析；（3）CE＝FD．
【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（ⅱ）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖1，先根據(jù)AAS證明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠FCM＝∠EAD，進(jìn)而可根據(jù)ASA證明△AED≌△CMF，于是可得結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，如圖2，先利用ASA證明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可證明△ABD和△ACF全等，進(jìn)而可得BD＝CF，進(jìn)一步即得結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖3，先利用ASA證明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）（?。┳C明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，
∴BE⊥AF，AE＝EF，
即BD垂直平分AF；
（ⅱ）證明：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖1，
∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，
∴∠CAM＝∠ABE，
在△ABE和△CAM中，，
∴△ABE≌△CAM（AAS），
∴AE＝CM，
∵AF⊥BD，AF⊥CM，
∴BD∥CM，
∴∠FCM＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠FCM＝∠ABD，
∴∠FCM＝∠EAD，
在△AED和△CMF中，，
∴△AED≌△CMF（ASA），
∴AD＝CF；
（2）解：BD＝2CE．
理由如下：如圖2，延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，
∴BD＝2CE．
（3）解：CE＝FD．過(guò)點(diǎn)F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖3，
∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，
∴∠EFC＝∠GFE，
又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，
在△CEF和△GEF中，，
∴△CEF≌△GEF（ASA），
∴CE＝GE，即CE＝CG，
∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．
又∵∠GCH＝∠DFH，
∴△CGH≌△FDH（ASA），
∴CG＝DF．
∴CE＝FD．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·安徽黃山·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，于．
（1）如圖（1），若平分時(shí)，①求的度數(shù)；
②延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】（1）①，②BD=2EC，理由見(jiàn)詳解；（2）BE=CE+2AF，理由見(jiàn)詳解．
【分析】（1）①由題意易得∠ABC=∠ACB=45°，則有∠CBD=∠ABD=22.5°，進(jìn)而可求∠ECD=∠DBA，則問(wèn)題得解；
②由題意易得CE=EF，則可證△ABD≌△ACF，進(jìn)而可得BD=CF，最后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解；
（2）在BE上截取BH=CE，連接AH，則易證△BHA≌△CEA，則有AE=AH，∠BAH=∠CAE，進(jìn)而可得∠HAE=90°，然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解．
【詳解】解：（1）∵，，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=22.5°，
①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，
∴∠ABD=∠ECD=22.5°；
②BD=2EC，理由如下：如圖所示：
∵，
∴∠CEB=∠FEB=90°，
∵BE=BE，
∴△CEB≌△FEB（ASA），
∴CE=FE，
∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，
∴∠DBA=∠FCA，
∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
∴BD=2CE；
（2）BE=CE+2AF，理由如下：
在BE上截取BH=CE，連接AH，如圖，
由（1）易得∠HBA=∠ECA，
∵AB=AC，
∴△BHA≌△CEA（SAS），
∴AH=AE，∠BAH=∠CAE，
∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°，
∵AF⊥BE，
∴AF=HF=FE，
∵BE=BH+HF+FE，
∴BE=CE+2AF．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求值，主要求出AE和BE的長(zhǎng)即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以證得兩對(duì)全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．
【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，
， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中，
， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
設(shè)BE=a，則DF=a， ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得，
∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．
2．（2021·四川成都·二模）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°． 連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)，取，連接，先證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，得到，結(jié)合等邊對(duì)等角得到，再由角平分線的性質(zhì)證得，最后根據(jù)三角形面積公式解題即可.
【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)，取，連接，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對(duì)等角、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，作出正確的輔助線、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
3．（2022·福建·福州立志中學(xué)一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論序號(hào)）．
【答案】①②③
【分析】證明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BF．則①正確；證明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CE，則可得出②正確；證出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正確．過(guò)G作GM⊥BD于點(diǎn)M，由直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)得出S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤．
【詳解】解：①∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°?∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，
∴∠DBF＋∠DAC＝180°?∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝180°?∠ABC?∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，
，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正確；
②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，
，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正確；
③∵∠HBG＋∠BGH＝180°?∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°?∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，
∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，
∴△DGF為等腰三角形．故③正確；
④如圖所示，過(guò)G作GM⊥BD于點(diǎn)M，
∵H為等腰直角△BCD斜邊BC的中點(diǎn)，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，
又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，
又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，
∴S四邊形ADGE＝S△ABE?S△BDG，S四邊形GHCE＝S△CBE?S△BGH，
∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤；
綜上所述：正確的有①②③．故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△ABE≌△CBE是解題的關(guān)鍵．
4．（2020·重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為_(kāi)_____cm2．
【答案】4.5
【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，
∴∴ cm2，故答案為4.5．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．
5．（2020·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．
6．（2021·四川眉山市·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．
（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫(xiě)出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BD=2CE，理由見(jiàn)解析；（3）FM=2CE．
【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．
【詳解】證明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，
∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，
∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，
（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．
7．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD 與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（用含a的式子表示）
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．
①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；
(2)①∠BAC=2∠DAE，理由見(jiàn)解析；②BE=CD+DE，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）先證明∠ADC=90°，再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后證明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
（1）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AB=AC，
∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，
故答案為：AD⊥CB′；；
（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，
∴△ABG≌△ACD(SAS)，
∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，
∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·重慶·二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．
(1)求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，求線段GF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可證四邊形APBF是正方形，可得AP＝AF，根據(jù)“HL”可證，可得∠DAP＝∠FAC，即可得∠DAC＝90°；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FN＝FM，根據(jù)S△DBF＝2S△CBF，可得BD＝2BC，即BH＝DH＝BC，通過(guò)全等三角形的判定和性質(zhì)可得AG＝GC；
（3）由全等三角形的性質(zhì)可得BG＝PG＝，根據(jù)勾股定理可求GC，DC，PF的長(zhǎng)，即可求GF的長(zhǎng)．
(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC
∴四邊形APBF是矩形
∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，
∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，
∴AP＝PB，
∴四邊形APBF是正方形
∴AP＝AF，且AD＝AC，
∴，
∴∠DAP＝∠FAC，
∵∠FAC+∠PAC＝90°
∴∠DAP+∠PAC＝90°
∴∠DAC＝90°
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，

∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，
∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，F(xiàn)M⊥BC，
∴FN＝FM，
∵S△DBF＝2S△CBF，
∴×2，
∴BD＝2BC，
∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，
∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABD＝45°，
∴∠HAB＝90°，
∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，
∴△AHB≌△PBC（AAS），
∴AB＝PC，
∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，
∴△AGB≌△CGP（AAS），
∴AG＝GC
(3)解：如圖，
∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，
∴BP＝PC=3，
∵△AGB≌△CGP，
∴BG＝PG＝，
在中，CG＝＝，
∴AG＝GC＝
∴AC＝AD＝2AG＝3
在中，CD＝＝，
∵S△DBF＝2S△CBF，
∴DF＝2FC
∵DF+FC＝DC
∴FC＝
在中，PF＝＝1
∴FG＝PG+PF＝1+ ＝．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形．
9．（2022·陜西西安·一模）如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）18.23cm
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．從而可證∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可證明△DBC≌△ABE，得出結(jié)論AE＝DC．
（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDA+∠DAF＝120°，進(jìn)而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”證明△BEH≌△BCN，得出結(jié)論BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．根據(jù)所作輔助線可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即證明△AFQ是等邊三角形，得出結(jié)論AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可證明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可證明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【詳解】（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴AE＝DC；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．
∵△DBC≌△ABE，
∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BDA+∠BAD＝120°，
∴∠FDA+∠DAF＝120°，
∴∠DFA＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE＝180°-60°＝120°，
在△BEH和△BCN中，
，
∴△BEH≌△BCN（AAS），
∴BH＝BN，
∴BF平分∠DFE，
∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；
（3）解：如圖，延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．
則∠AFQ＝∠BFE＝60°，
∴△AFQ是等邊三角形，
∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，
在△DAF和△BAQ中，，
∴△DAF≌△BAQ（SAS），
∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，
∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題．考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線也是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2021·安徽·九年級(jí)期末）如圖，在中，，平分．
（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；
（3）如圖3，若，求證：．
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）108°；（3）見(jiàn)詳解
【分析】（1）如圖1，過(guò)D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AM，于是得到結(jié)論；
（2）如圖2，設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝∠KAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠AKD＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根據(jù)角平分線的定義得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH＝BH，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）如圖1，過(guò)D作DM⊥AB于M，∴在中，， ∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分線，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；
（2）設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，如圖2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分線，∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°?α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°?α，
∴在△BDK中，180°?α＋180°?α＋90°?α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；
（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分線，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，連接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·自貢市九年級(jí)月考）根據(jù)圖片回答下列問(wèn)題．
(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD

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