中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模型解讀與提分精練專題13 最值模型-瓜豆原理（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【模型解讀】
瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。
主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線
模型1-1如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．
理由：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
模型1-2如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。
【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。
1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過(guò)以下三種方法進(jìn)行確定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。
例1．（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，，，且，若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．C．D．
例2．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（）
A．B．1C．D．
例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值是（）
A．B．C．D．
例4．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是__________．
例5．（2022·福建福州模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．
例6．（2022·河南南陽(yáng)·二模）如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．
【模型解讀】
模型2、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧
模型2-1. 如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？
考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【總結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．
模型2-2. 如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．
接下來(lái)確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．
模型2-3. 如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．
即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．
【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。
確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：
1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。
2）當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②見定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形。
例1．（2022·四川樂山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點(diǎn)E，則BE的最小值為（）
A．6B．8C．10D．12
例2．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若，則BG的最小值為__________________．
例3．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為___________．
例4．（2022·廣東·二模）如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則AG的最小值為__________．
例5．（2022·山東·二模）如圖，中，，，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，將沿翻折，得到，過(guò)點(diǎn)作交的平分線于點(diǎn)，連接，則長(zhǎng)度的最小值為______．
例6．（2022·廣西貴港·三模）如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則△AEB面積的最小值是（）
A．B．C．2D．
例7．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)的速度是點(diǎn)的速度的2倍，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為_________，線段長(zhǎng)度的最小值為_________．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2022·安徽·合肥市三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．D．
2．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值為_________．
3．（2022·廣東·東莞二模）如圖，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，將三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，則OP的最小值是 _____．
4．（2022·廣東·樂昌市二模）如圖，△ABC中，，，，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且，若點(diǎn)M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為_________．
5．（2022·江蘇宿遷·三模）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為__________________．
6．（2022·廣東·珠海市三模）如圖正方形的邊長(zhǎng)為3，E是上一點(diǎn)且，F(xiàn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到，連接，則的最小值是_____．
7．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．
8．（2022·浙江紹興·二模）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，以CP為斜邊作如圖的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，則Rt△PQC的外心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 _____，BQ的最小值為 _____．
9．（2022·江蘇鹽城·三模）如圖，A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（-1，0），點(diǎn)C為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊向下作Rt，使得，，連接線段，則線段的最小值為____．
10．（2022·江蘇連云港·二模）如圖，在中，，，D是斜邊AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接EF，G為EF的中點(diǎn)，則點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DG的最小值為______米．
11．（2022·河南·二模）如圖，正方形中，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
12．（2022·山東臨沂·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，直線EF經(jīng)過(guò)正方形的中心O，并能繞著O轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交AB、CD邊于E、F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．D．
13．（2022·安徽·三模）如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為6的等邊內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，AP，滿足，D為AP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為E，連接DE，則DE長(zhǎng)的最小值為（）
A．2B．C．3D．
14．（2022·江蘇·徐州市三模）如圖，中，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以、為邊作，則線段的最小值為______．
15．（2022·廣東·深圳市二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BF＝FG，則CG的最小值為______．
16．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．
17．（2022·河南洛陽(yáng)·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．D．
18．（2022·湖北鄂州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，且AF∶FC＝2∶1，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)．將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB的距離的最小值是（）
A．1.2B．1C．D．3.2
19．（2022·廣東·湖景中學(xué)一模）如圖，在正方形ABCD中，已知邊長(zhǎng)，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C重合），連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，則線段CF的最小值為（）
A．5B．C．D．
20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為______．

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