中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題02全等模型-半角模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模型1.半角模型
【模型解讀】
過等腰三角形頂點(diǎn) 兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。
【常見模型及證法】
常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.
1． (2023·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．
【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．

2． (2023·河北邢臺·九年級期末）學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：
“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”
小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．
，從而使問題得證．
(1)【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求證：EF＝BE＋DF．(3)【知識遷移】如圖4，四邊形ABPC是的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB＝AC，請直接寫出PB＋PC與AP的關(guān)系．
3． (2023·福建·龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時能夠證明，請你給出證明過程．
（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）
②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．
4． (2023·山東省青島第二十六中學(xué)九年級期中）【模型引入】
當(dāng)幾何圖形中，兩個共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”
【模型探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，探究圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．
【模型應(yīng)用】（2）如圖2，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．
【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF∠BAD．當(dāng)BC＝4，DC＝7，CF＝1時，CEF的周長等于．
（4）如圖4，正方形ABCD中，AMN的頂點(diǎn)M、N分別在BC、CD邊上，AH⊥MN，且AH＝AB，連接BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的長．
（5）如圖5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別是邊BC，CD上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=60°．連接BD分別與邊AE、AF交于M、N，當(dāng)∠DAF＝15°時，求證：MN2+DN2=BM2．
課后專項訓(xùn)練：
1． (2023·重慶市育才中學(xué)二模）回答問題
（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
2． (2023·江西九江·一模）如圖（1），在四邊形ABCD中，，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作，且，連接EF．(1)觀察猜想如圖（2），當(dāng)時，
①四邊形ABCD是______（填特殊四邊形的名稱）；②BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．(2)類比探究如圖（1），線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．(3)解決問題如圖（3），在中，，，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且，若，求DE的長．
3． (2023·山東聊城·九年級期末）（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，連接，求證：，試說明理由．
（2）類比引申：如圖，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系______時，仍有，試說明理由．
（3）聯(lián)想拓展：如圖，在△中，，，點(diǎn)，均在邊上，且∠DAE=45，若，，求的長．
4． (2023·黑龍江九年級階段練習(xí)）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，（如圖1），易證BM+DN=MN．
(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．
5． (2023·重慶南川·九年級期中）如圖，正方形中，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、或它們的延長線于點(diǎn)、．
(1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時如圖，證明：；(2)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時如圖，求證：；(3)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．
6． (2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級期中）（1）【特例探究】
如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；
（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進(jìn)，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．
7． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．
小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，聯(lián)結(jié)EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
8． (2023·黑龍江·哈爾濱市九年級階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．
(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN
(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系
(3)如圖3，直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．
9． (2023·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）在圖1中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．
10． (2023·北京四中九年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)P在線段AB上，作射線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，交CQ于點(diǎn)E，連接BE．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
專題02 全等模型--半角模型
全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1.半角模型
【模型解讀】
過等腰三角形頂點(diǎn) 兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。
【常見模型及證法】
常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.
1． (2023·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．
【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】370
【分析】延長交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，從而求得的長，根據(jù)材料可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，
，，，，，
是等邊三角形，,,
在中，，，
，，，
中，，，
，
，
，中，
是等腰直角三角形
由閱讀材料可得，
路線的長比路線的長少．答案：370．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·河北邢臺·九年級期末）學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：
“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”
小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．
，從而使問題得證．
(1)【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求證：EF＝BE＋DF．(3)【知識遷移】如圖4，四邊形ABPC是的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB＝AC，請直接寫出PB＋PC與AP的關(guān)系．
【答案】(1)BE＋DF＝EF(2)證明見解(3)
【分析】（1）將△ABE繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD得△，證明△AEF≌△，等量代換即得結(jié)論；（2）將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，先證明∠EAF=，再證明△AEF≌△，等量代換即得結(jié)論；（3）將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明P，C，在同一直線上，再證明△為等腰直角三角形，等量代換即得結(jié)論．
（1）解：結(jié)論：BE＋DF＝EF，理由如下：
證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，使得AB與AD重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，如圖所示，
可知，∴．
由∠ADC+∠=180°知，C、D、共線，
∵，∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，
∴∠+∠DAF=∠EAF=，
∴△AEF≌△，∴EF==BE+DF．
（2）證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，使得AB與AD重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，如圖所示，
由旋轉(zhuǎn)可知，∴，，，．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∴，∴點(diǎn)C，D，在同一條直線上．
∵，∴，
∴，∴，∴．
∵AF＝AF，∴，∴，即BE＋DF＝EF．
（3）結(jié)論：，理由如下：
證明：將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，使得AB與AC重合，如圖所示，
由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得：∠AC+∠ACP=180°，
即P，C，在同一直線上．∴，，
∵BC為直徑，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CA+∠PAC=，
∴△為等腰直角三角形，∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與全等三角形的綜合應(yīng)用、直徑所對的圓周角是直角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)等知識點(diǎn)．解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．
3． (2023·福建·龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時能夠證明，請你給出證明過程．
（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）
②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）①不成立，結(jié)論：；②，見解析；（3）
【分析】（1）證明，可得出，則結(jié)論得證；
（2）①將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至根據(jù)可證明，可得，則結(jié)論得證；②將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，可得出，則結(jié)論得證；
（3）求出，設(shè)，則，，在中，得出關(guān)于的方程，解出則可得解．
【詳解】（1）證明：把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖1，
，，，
，，，三點(diǎn)共線，
，，
，，
，，
，；
（2）①不成立，結(jié)論：；
證明：如圖2，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，
，，，，
，
，，
；
②如圖3，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，
，，
，，，
，，，
．
即．故答案為：．
（3）解：由（1）可知，
正方形的邊長為6，，
．
，，
設(shè)，則，，
在中，，，
解得：．，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．
4． (2023·山東省青島第二十六中學(xué)九年級期中）【模型引入】
當(dāng)幾何圖形中，兩個共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”
【模型探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，探究圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．
【模型應(yīng)用】（2）如圖2，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．
【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF∠BAD．當(dāng)BC＝4，DC＝7，CF＝1時，CEF的周長等于．
（4）如圖4，正方形ABCD中，AMN的頂點(diǎn)M、N分別在BC、CD邊上，AH⊥MN，且AH＝AB，連接BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的長．
（5）如圖5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別是邊BC，CD上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=60°．連接BD分別與邊AE、AF交于M、N，當(dāng)∠DAF＝15°時，求證：MN2+DN2=BM2．
【答案】（1）EF=FC+AE，理由見解析；（2）BE=5；（3）13；（4）EF=；（5）見解析
【分析】（1）求證△DEF≌△DMF，即可推出EF與FM的數(shù)量關(guān)系；
（2）在DC上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，證明△ABE≌△ADG（SAS），推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證明△AFE≌△AFG（SAS），推出EF=FG，設(shè)BE=x，則CG=13-x，EF=FG=18-x，在Rt△ECF中，根據(jù)EF2=EC2+CF2，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；
（3）證明△ADM≌△ABE（SAS）和△EAF≌△MAF，即可求解；
（4）先求出BM，DN，進(jìn)而求出正方形的邊長，再判斷出∠EAF=45°，借助探究的結(jié)論即可得出結(jié)論．
（5）將△ADF繞A順時針旋轉(zhuǎn)120°，AD與AB重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到G，在AG上取AH=AN，連接BH、MH，利用△ABH≌△ADN和△AMH≌△AMN，證明MN=MH，DN=BH，再證明△BMH為直角三角形即可．
【詳解】（1）EF=FC+AE，理由如下：
證明：將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，∴△DAE≌△DCM，
∴DE=DM，AE=CM，∠ADE=∠CDM，B、C、M三點(diǎn)共線，
∵∠EDF=45°，∴∠ADE+∠FDC=∠CDM+∠FDC=∠MDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=FM
∴EF=FM=FC+CM=FC+AE；
（2）解：如圖，在DC上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，
∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠D=180°，∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ABE=∠D，
∵AB=AD，BE=DG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=45°，∴∠EAB+∠BAF=∠DAG+∠BAF=45°，
∵∠BAD=90°，∴∠FAG=∠FAE=45°，
∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，
設(shè)BE=x，則EC=EB+BC=x+7，EF=FG=18-x，
在Rt△ECF中，∵EF2=EC2+CF2，
∴52+（7+x）2=（18-x）2，∴x=5，∴BE=5；
（3）解：在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABE，
∵AD=AB，∴△ADM≌△ABE（SAS），∴AM=AE，∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，∴∠MAF=∠BAD，∴∠EAF=∠MAF；
∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，∴△EAF≌△MAF，∴EF=MF；
∵M(jìn)F=DF-DM=DF-BE，∴EF=DF-BE．
∴△CEF的周長=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=13，故答案為：13；
（4）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，
∵AH⊥MN，∴∠AHM=∠ABC=90°，在Rt△AMB和Rt△AMH中，
，∴Rt△AMB≌Rt△AMH，∴∠MAB=∠MAH，BM=MH=2，
同理可證Rt△AND≌Rt△ANH，∴∠NAD=∠NAH，DN=NH=3，
∴2∠MAH+2∠NAH=90°，∴∠MAH+∠NAH=45°，
∴∠MAN=45°．設(shè)正方形的邊長為a，∴CM=a-2，CN=a-3，
根據(jù)勾股定理得，（a-2）2+（a-3）2=25，
∴a=-1（舍）或a=6，∴BC=6，∴BD=6，
逆時針旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADG，
∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠ABE=∠ADG=45°，
∴∠GDF=∠ADG+∠ADB=90°，連接GF，根據(jù)勾股定理得，GF2=DG2+DF2=BE2+DF2，
∵△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF，∴GF=EF，∴EF2=BE2+AD2；
設(shè)EF=x，∵BD=6，DF=2．∴BE=6-2-x=4-x，
∴（4-x）2+（2）2=x2，解得x=，∴EF=；
（3）將△ADF繞A順時針旋轉(zhuǎn)120°，此時AD與AB重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到G，在AG上取AH=AN，連接BH、MH，如圖：
∵△ADF繞A順時針旋轉(zhuǎn)得△ABG，∴∠BAG=∠DAF，
又AH=AN，AB=AD，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴DN=BH，∠ABH=∠ADN，
∵∠B=60°，且∠EAF=60°．∴∠BAD=120°，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°，
∴∠BAG+∠BAE=∠EAF，即∠MAH=∠MAN，而AH=AN，AM=AM，
∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MN=MH，∠AMN=∠AMH，
∵菱形ABCD，∠B=60°，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，
∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∴△ADM中，∠DAM=∠AMD=75°，∴∠AMN=∠AMH=75°，
∴∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°，∴∠BHM=90°，∴BH2+MH2=BM2，∴DN2+MN2=BM2．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用探究的結(jié)論解決新的問題，屬于中考壓軸題．
課后專項訓(xùn)練：
1． (2023·重慶市育才中學(xué)二模）回答問題
（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB
【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；
（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：
如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，
又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補(bǔ)角相等．
2． (2023·江西九江·一模）如圖（1），在四邊形ABCD中，，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作，且，連接EF．(1)觀察猜想如圖（2），當(dāng)時，
①四邊形ABCD是______（填特殊四邊形的名稱）；②BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．(2)類比探究如圖（1），線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．(3)解決問題如圖（3），在中，，，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且，若，求DE的長．
【答案】(1)①正方形；②BE+ DF=EF(2)詳見解析(3)詳見解析
【分析】（1）①根據(jù)正方形的判定定理即可得出；
②延長CD至點(diǎn)G，使得DG=BE，證得，得出，由，證得，從而得出BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同（1）②即可得出BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系；（3）作,且，證得，同（1）②證得，在中，由勾股定理可解得DE的長．
（1）解：①∵，∴四邊形ABCD是矩形，又∵，∴矩形ABCD是正方形．
②如下圖，延長CD至點(diǎn)G，使得DG=BE，
∵，，∴，∴，
∴，，，∵，∴，
∴，即，
又∵，∴，∴，即∴．

（2）如下圖，延長CD至點(diǎn)H，使得DH=BE，∵，∴，
同（1）②的證明方法得，同理證，從而得．
（3）如圖過點(diǎn)C作,且，
在中，由，，
∴，∴，∴，
同（1）②的證明方法得，∴，
∵，，，，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，，，解得，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的平行四邊形的判定、全等三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用相關(guān)定理和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
3． (2023·山東聊城·九年級期末）（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，連接，求證：，試說明理由．
（2）類比引申：如圖，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系______時，仍有，試說明理由．
（3）聯(lián)想拓展：如圖，在△中，，，點(diǎn)，均在邊上，且∠DAE=45，若，，求的長．
【答案】（1）見解析，（2），理由見解析；（3）
【分析】把△繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至△，可使與重合，證出△≌△，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；把△繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至△，可使與重合，證出△≌△，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；把△旋轉(zhuǎn)到△的位置，連接，證明△≌△AFG(SAS)，則∠C=∠ABF=45°，△是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出答案．
【詳解】證明：如圖中，

，把△繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至△，與重合．
∠ADC=∠B=90°∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G三點(diǎn)共線，
則，，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF即∠EAF=∠FAG，
在△和△中，，
∴△≌△，∴EF=FG=BE+DF；
當(dāng)，仍有．
理由：，把△繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至△，可使與重合，如圖，
，∠B=∠ADG
，，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠FAG=45°∴∠EAF=∠FAG，
，∴∠ADC+∠ADG=180°∴∠FDG=180°，點(diǎn)、、共線．
在△和△中，∴△≌△AFG(SAS)．
，即：．故答案為：．
將△繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△的位置，連接，則∠FAB=∠CAE
，，∴∠BAD+∠CAE=45°．
又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAB+∠BAD=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°．
則在△和△中，，∠FAD=∠DAE，，
∴△≌△，，∠C=∠ABF．
∵∠C+∠ABD=90°∴∠ABF+∠ABD=90°，，
∴△是直角三角形．∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+CE2=DE2，
∵BD=1，，∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形．
4． (2023·黑龍江九年級階段練習(xí)）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，（如圖1），易證BM+DN=MN．
(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．
【答案】(1)，理由見解析；(2)，理由見解析
【分析】（1）把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，然后證明得到，從而證得，可得結(jié)論；（2）首先證明，得，再證明，得，可得結(jié)論；
（1）解：．
理由如下：如圖2，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，，
，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，
，
又，在與中，
，（SAS），，
，；
（2）解：．
理由如下：在線段上截取，
在與中，，（SAS），
，．
在和中，，（SAS），
，．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
5． (2023·重慶南川·九年級期中）如圖，正方形中，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、或它們的延長線于點(diǎn)、．
(1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時如圖，證明：；(2)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時如圖，求證：；(3)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，見解析
【分析】（1）把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，證得、、三點(diǎn)共線，即可得到≌，從而證得；（2）證明方法與（1）類似；
（3）在線段上截取，判斷出≌，同（2）的方法，即可得出結(jié)論．
（1）證明：如圖，

∵把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，≌，，，四邊形是正方形，，，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．，又，在與中，，≌，，，，，．
（2）證明：如圖，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，≌，，，四邊形是正方形，，，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．，又，在與中，，≌，，，．
（3）解：理由如下：如圖，在線段上截取，連接，在與中，，≌，，．在和中，，≌，，．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
6． (2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級期中）（1）【特例探究】
如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；
（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進(jìn)，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．
【答案】（1）EF=BE+DF，理由見解析；（2）EF=BE+DF，理由見解析；（3）85海里
【分析】（1）延長CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可證得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可證得△AEF≌△AGF，
從而得到EF=FG，即可求解；
（2）延長CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，可證得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可證得△AEF≌△AHF，從而得到EF=FH，即可求解；
（3）連接CD，延長AC、BD交于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，即可求解．
【詳解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：
如圖，延長CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，

∵，∴∠ADG=∠ABC=90°，
∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵，，
∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，
∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；
（2）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，
∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，
∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，
∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，
∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；
（3）如圖，連接CD，延長AC、BD交于點(diǎn)M，
根據(jù)題意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，
∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，
∵OA=OB，∴由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，
∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．
即此時兩艦艇之間的距離85海里．
【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形，解答時，注意類比思想的應(yīng)用．
7． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．
小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，聯(lián)結(jié)EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【答案】(1)90°，；(2)，見解析
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的長；
（2）將△ABE繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，證明點(diǎn)F，D，G在同一條直線上，進(jìn)而證明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可證明EF＝BE＋FD．
(1)解：∵將△ABD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，
∴
在中，BD＝3，CE＝1，
故答案為：90°；
(2)猜想：EF=BE＋FD；理由如下：
如圖，將△ABE繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，
∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，
∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即點(diǎn)F，D，G在同一條直線上．
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，
即∠GAF＝∠EAF．
在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG
∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握性質(zhì)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8． (2023·黑龍江·哈爾濱市九年級階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．
(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN
(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系
(3)如圖3，直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）3
【分析】（1）延長到使，連接AG，先證明，由此得到，，再根據(jù)，，可以得到，從而證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）在BM上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，先證明，由此得到，，由此可得，再根據(jù)可以得到，從而證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
（3）在DN上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，先證明，再證明，設(shè)，根據(jù)可求得，由此可得，最后再證明，由此即可求得答案．
【詳解】（1）證明：如圖，延長到使，連接AG，
∵四邊形ABCD是正方形，∴，，
在與中，，，
，，
，，∴，
，，
在與中，，，，
又∵，，；
（2），理由如下：
如圖，在BM上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，
∵四邊形ABCD是正方形，∴，，
在與中，，
，，，
∴，∴，
又，，
在與中，，
，，
又∵，，∴，
故答案為：；
（3）如圖，在DN上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，，，
在與中，，，
，，∴，∴，
又，，
在與中，，，，
設(shè)，∵，，∴，，
∵，∴，解得：，∴，∵，∴，
在與中，，，
，∴CP的長為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出正確的輔助線并能靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的的關(guān)鍵．
9． (2023·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）在圖1中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．
【答案】（1）EF=BE+DF．證明見解析；（2）AM=AB；（3）AM=AB．證明見解析
【分析】（1）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．
（2）根據(jù)△EAQ≌△EAF，EF=BQ，得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；
（3）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)折疊和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，證得△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，從而證得△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．
【詳解】解：（1）EF=BE+DF．證明如下：
如答圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°．
在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，
∴△ABQ≌△ADF（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF．
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°．
∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠EAF．
在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，
∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．
（2）解：AM=AB，理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB．
（3）AM=AB．證明如下：如答圖，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，
∵折疊后B和D重合，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD．
在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，
∴△ADF≌△ABQ（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF．
∵∠FAE=∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，即∠EAQ=∠FAE．
在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，
∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ．∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB．
10． (2023·北京四中九年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)P在線段AB上，作射線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，交CQ于點(diǎn)E，連接BE．
(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)作圖見解析．(2)結(jié)論：AD+BE=DE．證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）結(jié)論：AD+BE=DE．延長DA至F，使DF=DE，連接CF．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
（1）解：如圖所示：
（2）結(jié)論：AD+BE=DE．
理由：延長DA至F，使DF=DE，連接CF．
∵AD⊥CP，DF=DE，
∴CE=CF，
∴∠DCF=∠DCE=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=45°，
∵∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°，
∴∠FCA=∠ECB，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD+BE=DE．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

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