中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納提分精練專題08角平分線的基本模型(二)非全等類(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模型1.雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）
【模型解讀】雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）指的是當(dāng)三角形的內(nèi)角（外角）的平分線相交時(shí)，可以導(dǎo)出平分線的夾角的度數(shù)。
【模型圖示】條件：BD，CD是角平分線.

結(jié)論：
1． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
2． (2023·山東·濟(jì)南中考模擬）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
3. (2023?蓬溪縣九年級(jí)月考）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝ °，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R＝ °．
4． (2023·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題
(1)已知在△ABC中，∠A=60°，圖1-3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出下列角度的度數(shù)，如圖1，∠O＝；如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；(2)如圖4，點(diǎn)O是△ABC的兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：∠O＝90°+∠A(3)如圖5，在△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．
模型2.角平分線加平行線等腰現(xiàn)（角平分線+平行線）
【模型解讀】1）過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形；2）有角平分線時(shí)，過(guò)角一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線，交角的另一邊的直線于一點(diǎn)，也可構(gòu)造等腰三角形。
【模型圖示】已知如圖1，為的角平分線，點(diǎn)角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.
如圖1 如圖2
已知如圖2，OC平分，點(diǎn)D是OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//OC交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則OD=OE.
注意：平行線、角平分線、等腰△知二推一即：
①AD∥BC+AC是∠BAD的角平分線△ABC是等腰三角形；
②AD∥BC+△ABC是等腰三角形AC是∠BAD的角平分線；
③AC是∠BAD的角平分線+△ABC是等腰三角形AD∥BC。
常見(jiàn)模型：
1． (2023·安徽·二模）如圖，在中，與的平分線BD，CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，，則AE的長(zhǎng)為（）
A．2.5B．4.5C．3.75D．6.75
2． (2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE//BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°．其中正確的有___．（填正確的序號(hào)）
4． (2023·沈陽(yáng)市九年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）已知：如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CE、CF分別平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分別交AC、CF于點(diǎn)H、F求證：EH=HF
4． (2023·河南南陽(yáng)·三模）閱讀理解：如圖（1），△ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)X，Y再分別以點(diǎn)X，Y為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線BD與AC交干點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交AB于．
觀察思考：依據(jù)上述操作可，①∠ABE與∠CBE的大小關(guān)系為_________；②BF與EF的數(shù)關(guān)系為________．
拓展延伸：如圖（2）在△ABC中，∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)判斷EF與BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決：如圖（3），在中，，，連接BD，將△ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A落在直線DC上方的處，當(dāng)△DC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB的長(zhǎng)度．
模型3.面積模型
【模型解讀與圖示】

已知條件：、、分別是∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分線
輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GD⊥BC、GE⊥AC、FG⊥AB（求面積需要高，作垂直得到高）
結(jié)論：
1． (2023·內(nèi)蒙古·九年級(jí)期末）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是，，，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則：：等于（）
A．：： B．：： C．：： D．：：
2． (2023·安徽滁州·二模）如圖，的面積為，的平分線與垂直，垂足為點(diǎn)，，那么的面積為______．
3． (2023·湖北武漢·九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角角平分線都交于一點(diǎn)，點(diǎn)叫做該多邊形的內(nèi)心，點(diǎn)到其中一邊的距離叫做．
問(wèn)題解決：如圖1，在面積為的中，，，，內(nèi)心到邊的距離為，試說(shuō)明．
類比推理：如圖2，存在內(nèi)心的四邊形面積為，周長(zhǎng)為，用含有與的式子表示內(nèi)心到邊的距離________；
理解應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，，，對(duì)角線，點(diǎn)與分別為與的內(nèi)心，它們到各自三角形的邊的距離分別為和，求的值．
模型4.角平分線定理模型（角平分線分線段成比例（二級(jí)結(jié)論））
【模型解讀與圖示】
條件：已知如圖，AD是∠BAC的角平分線，
證明思路：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,再利用等面積的思路，證得：
簡(jiǎn)證：，∵ ∴ ∴
1． (2023·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過(guò)證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問(wèn)題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是________
2． (2023·北京東城·九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖，△ABC中， AD是角平分線．
求證：．
證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．
∴． ①
AD是角平分線，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
（1）上述證明過(guò)程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫出兩條即可）（2）用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長(zhǎng)；
（3）我們知道如果兩個(gè)三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請(qǐng)你通過(guò)研究△ABD和△ACD面積的比來(lái)證明三角形內(nèi)角平分線定理．
3． (2023·江西贛州·九年級(jí)期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：在四邊形中，，或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．
(1)【概念理解】如圖（1），四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．
①若，則∠D的度數(shù)是_________；
②若，且，則_______．
(2)【拓展延伸】如圖（2），四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，猜測(cè)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
(3)【類比運(yùn)用】如圖（3），如圖（4），在四邊形中，，平分．
①如圖（3），求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；
②如圖（4），設(shè)，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．
4． (2023·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明＝．
(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；
(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長(zhǎng)；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長(zhǎng)（用含m，的式子表示）．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·廣東·佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）
A．10B．12C．9D．6
2． (2023·山東棗莊·二模）如圖，、、分別平分、、，，的周長(zhǎng)為18，，則的面積為（）
A．18B．30C．24D．27
3． (2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，若∠BAC＝80°，則∠CPB＝___°．
4． (2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則________．
5． (2023·蘇州九年級(jí)期中）如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．
6. (2023·山東九年級(jí)期中）如圖、∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分線CF相交于點(diǎn)F.過(guò)F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，則CE的長(zhǎng)度為________；
7． (2023·福建中考真題）如圖，是的角平分線．若，則點(diǎn)D到的距離是_________．
8． (2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=70°， BD、CE為角平分線，則∠BOC=______°
9． (2023·湖北荊門市·八年級(jí)期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列結(jié)論：①：②點(diǎn)到各邊的距離相等；③：④；⑤設(shè)，，則；其中正確的結(jié)論是______．
10． (2023·北京市宣武外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．
三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線．
求證：．
證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∵AD是角平分線，
∴∠1＝∠2．
∴∠3＝∠E．
∴AC＝AE．
又∵CE∥DA，
∴．……①
∴．
(1)上述證明過(guò)程中，步驟①處的理由是_____
(2)用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，則BD的長(zhǎng)為_____cm．
11． (2023湖北中考模擬）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面積是_____．
12． (2023·云南昆明八年級(jí)期末）（1）如圖 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 交 AC 于 F，過(guò)點(diǎn) F 作 DF∥BC，求證：BD=DF．（2）如圖 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 與∠ACB 的平分線 CF 相交于 F，過(guò)點(diǎn) F 作 DE∥BC，交直線 AB 于點(diǎn) D，交直線 AC 于點(diǎn) E．那么 BD，CE，DE 之間存在什么關(guān)系？并證明這種關(guān)系．（3）如圖 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 與∠ACB 的外角平分線 CF 相交于 F，過(guò)點(diǎn) F 作 DE∥BC，交直線 AB 于點(diǎn)D，交直線 AC 于點(diǎn) E．那么 BD，CE，DE 之間存在什么關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想．（不需證明）
13． (2023·江陰市學(xué)九年級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時(shí)圖中有個(gè)等腰三角形．（2）如圖②，寫出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由．
14． (2023·江西·九年級(jí)期中）如圖，在中，已知：是它的角平分線，且．（1）求的面積；（2）在解完（1）問(wèn)后，小智經(jīng)過(guò)反思后發(fā)現(xiàn)，小慧發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由．
專題08 角平分線的重要模型（二）非全等類
角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。
模型1.雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）
【模型解讀】
雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）指的是當(dāng)三角形的內(nèi)角（外角）的平分線相交時(shí)，可以導(dǎo)出平分線的夾角的度數(shù)。
【模型圖示】
條件：BD，CD是角平分線.

結(jié)論：
1． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．
【詳解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM?∠CBP=50°?20°=30°，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
2． (2023·山東·濟(jì)南中考模擬）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)AE+CD=AC，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計(jì)算即可求解．
（1）證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
（2）解：AE+CD=AC，
證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，
則在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
過(guò)M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．
3. (2023?蓬溪縣九年級(jí)月考）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝ °，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R＝ °．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）結(jié)合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分線的性質(zhì)），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ 12∠ABC+12∠ACB）＝180°?12（∠ABC+∠ACB）
＝180°?12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案為：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC=12∠A=12α；
（3）結(jié)論∠BQC＝90°?12∠A．
∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°?12（∠A+∠ACB）?12（∠A+∠ABC），
＝180°?12∠A?12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°?12∠A﹣90°＝90°?12∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°?12∠A＝90°?12×64°=58°，
由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；
由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案為119，29．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
4． (2023·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題
(1)已知在△ABC中，∠A=60°，圖1-3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出下列角度的度數(shù)，如圖1，∠O＝；如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；
(2)如圖4，點(diǎn)O是△ABC的兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：∠O＝90°+∠A
(3)如圖5，在△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．
【答案】(1)120°，30°，60°(2)見(jiàn)解析(3)70°
【分析】（1）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是內(nèi)角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進(jìn)而可求得答案；
（2）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；
（3）先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A的度數(shù)．
（1）①在圖1中：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠BAC）
=（180°-60°）=60°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；
②在圖2中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A∴∠OCD=（∠ABC+∠A）
∵∠OCD=∠OBC+∠O
∴∠O=∠OCD-∠OBC=∠ABC+∠A-∠ABC=∠A=30°．
③在圖3中：∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠EBC+∠BCD）=（∠A+∠ACB+∠BCD）=（∠A+180°）=（60°+180°）=120°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案為：120°，30°，60°．
（2）證明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
（3）設(shè)∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，
∴2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25°
∴∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，∴∠A=70°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及基本圖形是解題的關(guān)鍵．
模型2.角平分線加平行線等腰現(xiàn)（角平分線+平行線）
【模型解讀】
1）過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形；2）有角平分線時(shí)，過(guò)角一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線，交角的另一邊的直線于一點(diǎn)，也可構(gòu)造等腰三角形。
【模型圖示】
已知如圖1，為的角平分線，點(diǎn)角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.
如圖1 如圖2
已知如圖2，OC平分，點(diǎn)D是OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//OC交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則OD=OE.
注意：平行線、角平分線、等腰△知二推一即：
①AD∥BC+AC是∠BAD的角平分線△ABC是等腰三角形；
②AD∥BC+△ABC是等腰三角形AC是∠BAD的角平分線；
③AC是∠BAD的角平分線+△ABC是等腰三角形AD∥BC。
常見(jiàn)模型：
1． (2023·安徽·二模）如圖，在中，與的平分線BD，CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，，則AE的長(zhǎng)為（）
A．2.5B．4.5C．3.75D．6.75
【答案】A
【分析】由角平分線的性質(zhì)得到，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到，進(jìn)而證明，解得EF的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線判定，最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．
【詳解】解：BD平分，CD平分，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2． (2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE//BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°．其中正確的有___．（填正確的序號(hào)）
【答案】①②③⑤
【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解．
【詳解】①∵BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，
∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，
∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①選項(xiàng)正確，符合題意；
②∵DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②選項(xiàng)正確，符合題意；
③∵△ADE的周長(zhǎng)為=AD+DE，
∵DE=DB+CE，∴△ADE的周長(zhǎng)為=AD+DB+AE+CE=AB+AC，∴③選項(xiàng)正確，符合題意；
④根據(jù)題意不能得出BF＞CF，∴④選項(xiàng)不正確，不符合題意；
⑤∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，
∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，
∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，
∴⑤選項(xiàng)正確，符合題意；故答案為：①②③⑤．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．
4． (2023·沈陽(yáng)市九年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）已知：如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CE、CF分別平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分別交AC、CF于點(diǎn)H、F求證：EH=HF
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由角平分線的定義可得∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，由平行線的性質(zhì)可得∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，利用等量代換可得∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，根據(jù)等角對(duì)等邊即可求得EH=CH=HF，進(jìn)而求得EH=HF．
【詳解】∵CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，
∴∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，∴EH＝CH，CH=HF，∴EH＝HF.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角對(duì)等邊求解是解題關(guān)鍵.
4． (2023·河南南陽(yáng)·三模）閱讀理解：如圖（1），△ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)X，Y再分別以點(diǎn)X，Y為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線BD與AC交干點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交AB于．
觀察思考：依據(jù)上述操作可，①∠ABE與∠CBE的大小關(guān)系為_________；②BF與EF的數(shù)關(guān)系為________．
拓展延伸：如圖（2）在△ABC中，∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)判斷EF與BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決：如圖（3），在中，，，連接BD，將△ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A落在直線DC上方的處，當(dāng)△DC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB的長(zhǎng)度．
【答案】觀察思考：①∠ABE=∠CBE；②；拓展延伸：；問(wèn)題解決：4或6
【分析】觀察思考：①根據(jù)作圖可知是的角平分線，可得，
②根據(jù)可得，等量代換可得，∠ABE=∠CBE；等角對(duì)等邊即可得，；
拓展延伸：方法同上可得，進(jìn)而可得；
問(wèn)題解決：分和，兩種情形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解即可求得的長(zhǎng)
【詳解】觀察思考：①根據(jù)作圖可知是的角平分線，，
②，
∠ABE=∠CBE；，；
拓展延伸：平分
平分
問(wèn)題解決：當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn),
四邊形是平行四邊形
折疊，
中，
當(dāng)時(shí)，如圖，
四邊形是平行四邊形
折疊，
四邊形是矩形
綜上所述，的長(zhǎng)為或
【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
模型3.面積模型
【模型解讀與圖示】

已知條件：、、分別是∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分線
輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GD⊥BC、GE⊥AC、FG⊥AB（求面積需要高，作垂直得到高）
結(jié)論：
1． (2023·內(nèi)蒙古·九年級(jí)期末）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是，，，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則：：等于（）
A．：： B．：： C．：： D．：：
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作于，于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得：，依據(jù)三角形面積公式求比值即可得．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，于，于，
點(diǎn)是三條角平分線交點(diǎn)，，
：：：：，故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式，理解角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2． (2023·安徽滁州·二模）如圖，的面積為，的平分線與垂直，垂足為點(diǎn)，，那么的面積為______．
【答案】
【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)，為的角平分線，可得，，可證，則有，得，，即有，再根據(jù)，且的角平分線到與的距離相等，可得，則，再根據(jù)求解即可．
【詳解】如圖延長(zhǎng)交于，
∵，∴，
∵為的角平分線，∴，
在與中，
,∴ ，∴，
∴，，∴
∵，且的角平分線到與的距離相等，
∴，
則．
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·湖北武漢·九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角角平分線都交于一點(diǎn)，點(diǎn)叫做該多邊形的內(nèi)心，點(diǎn)到其中一邊的距離叫做．
問(wèn)題解決：如圖1，在面積為的中，，，，內(nèi)心到邊的距離為，試說(shuō)明．
類比推理：如圖2，存在內(nèi)心的四邊形面積為，周長(zhǎng)為，用含有與的式子表示內(nèi)心到邊的距離________；
理解應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，，，對(duì)角線，點(diǎn)與分別為與的內(nèi)心，它們到各自三角形的邊的距離分別為和，求的值．
【答案】問(wèn)題解決：見(jiàn)解析；類比推理：；理解應(yīng)用：
【分析】問(wèn)題解決：連接、、，被劃分為三個(gè)小三角形．利用三角形的面積公式求解即可．
類比推理：已知已給出示例，我們仿照例子，連接，，，，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過(guò)程，易得．
理解應(yīng)用：上面已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果．但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作垂線，進(jìn)一步易得的長(zhǎng)，則、、易得．
【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：如圖（1），在面積為的中，，，，三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離為．連接、、，被劃分為三個(gè)小三角形．
，
．
類比推理：如圖2中，連接、、、，
，
．故答案為：．
理解應(yīng)用：，；
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形面積計(jì)算以及等腰梯形等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用，這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．
模型4.角平分線定理模型（角平分線分線段成比例（二級(jí)結(jié)論））
【模型解讀與圖示】
條件：已知如圖，AD是∠BAC的角平分線，
證明思路：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,再利用等面積的思路，證得：
簡(jiǎn)證：，∵ ∴ ∴
1． (2023·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過(guò)證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問(wèn)題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是________
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出k的范圍，反向延長(zhǎng)中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．
【詳解】如圖，反向延長(zhǎng)中線至，使得，連接，
是的內(nèi)角平分線，
可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，
由三角形三邊關(guān)系可知，
∴故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2． (2023·北京東城·九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖，△ABC中， AD是角平分線．
求證：．
證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．
∴． ①
AD是角平分線，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
（1）上述證明過(guò)程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫出兩條即可）
（2）用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長(zhǎng)；
（3）我們知道如果兩個(gè)三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請(qǐng)你通過(guò)研究△ABD和△ACD面積的比來(lái)證明三角形內(nèi)角平分線定理．
【答案】（1）①平行線的性質(zhì)定理；②等腰三角形的判定定理；③平行線分線段成比例定理；（2）cm．（3）證明見(jiàn)解析．
【詳解】試題分析：（1）由比例式，想到作平行線，用到了平行線的性質(zhì)定理；只要證明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，寫出比例式，用到了平行線分線段成比例定理（推論）；
（2）利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，列出比例式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果．
（3）根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行證明即可．
試題解析：（1）證明過(guò)程中用到的定理有：
①平行線的性質(zhì)定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行線分線段成比例定理；
（2）∵AD是角平分線，
∴，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴，
∴BD=（cm）．
（3）∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面積的比=，
可得：．
考點(diǎn)：相似形綜合題．
3． (2023·江西贛州·九年級(jí)期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：在四邊形中，，或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．
(1)【概念理解】如圖（1），四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．
①若，則∠D的度數(shù)是_________；
②若，且，則_______．
(2)【拓展延伸】如圖（2），四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，猜測(cè)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
(3)【類比運(yùn)用】如圖（3），如圖（4），在四邊形中，，平分．
①如圖（3），求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；
②如圖（4），設(shè)，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．
【答案】(1)①；②4
(2)，證明見(jiàn)解析
(3)①見(jiàn)解析；②的值是2或
【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，結(jié)合，即可求出答案；
②根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可由，得出∠，再運(yùn)用勾股定理即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)EA至點(diǎn)K，使得，連接BK，依據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可證明，再證明，從而可證得結(jié)論；
（3）①過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，BN⊥AC于點(diǎn)N，則，可證R，進(jìn)而可證得結(jié)論；
②設(shè)，可得，再運(yùn)用面積建立方程求解即可．
（1）解：①∵，
設(shè)，
根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，
，
即，
解得，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
②在“對(duì)補(bǔ)四邊形”中，連續(xù)，
∵，
則，
在中，，
在中，
∴，
故答案為：4；
（2）解：，理由如下：
延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，
∵四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）①證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，垂足為，則，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即與互補(bǔ)，
∴四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；
②由①知四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，
∴，
∵，
∴，
∵，則，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
解得：或，
∴的值是2或．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，四邊形內(nèi)角和，全等三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和全等三角形判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解并能夠應(yīng)用新定義“對(duì)補(bǔ)四邊形”解決問(wèn)題．
4． (2023·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明＝．
(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；
(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長(zhǎng)；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長(zhǎng)（用含m，的式子表示）．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析
(2)①DE=；②
【分析】（1）利用AB∥CE，可證得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可證得結(jié)果；
（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可．
(1)
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
(2)
①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折疊可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·廣東·佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）
A．10B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】如圖：過(guò)D作DF⊥AB于F,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=CD=3,然后再根據(jù)中點(diǎn)的定義求得BE的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖：過(guò)D作DF⊥AB于F,
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴DF=CD=3
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)， AB＝12∴BE=AB=6
∴△DBE的面積為．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線定理、中點(diǎn)的定義、三角形的高等知識(shí)點(diǎn)，作出△DBE的高并運(yùn)用角平分線定理求出成為解答本題的關(guān)鍵．
2． (2023·山東棗莊·二模）如圖，、、分別平分、、，，的周長(zhǎng)為18，，則的面積為（）
A．18B．30C．24D．27
【答案】D
【分析】過(guò)I點(diǎn)作IE⊥AB于點(diǎn)E，IF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到IE=IF=ID=3，然后根據(jù)三角形面積公式得到，據(jù)此即可求得．
【詳解】解：過(guò)I點(diǎn)作IE⊥AB于點(diǎn)E，IF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，
∵AI，BI，CI分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴IE=IF=ID=3，
∴
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積．
3． (2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，若∠BAC＝80°，則∠CPB＝___°．
【答案】40
【分析】如圖所示，由△ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，可以推出BP和PC分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，則，，由三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵△ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，
∴BP和PC分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴，，
∵，
∵，∴
∴，
∵，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握角平分線的性質(zhì)．
4． (2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則________．
【答案】
【分析】首先連接BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判斷出，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，判斷出；最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，用即可求出∠A的度數(shù).
【詳解】如下圖所示，連接BC，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，
∴∠3=∠5，∠4=∠6，
又∵，∴，
∴，
∴.故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)角度的和差計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.
5． (2023·蘇州九年級(jí)期中）如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．
【答案】52°
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，從而求出，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．
【詳解】解：、分別平分、，，，
，，
即，，，
、分別平分、，
，，，
，∴，
∴，
、分別平分、，
，，
∴，
，故答案為：52°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
6. (2023·山東九年級(jí)期中）如圖、∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分線CF相交于點(diǎn)F.過(guò)F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，則CE的長(zhǎng)度為________；
【答案】5
【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可得，由等角對(duì)等邊可得，所以.
【詳解】解： BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.

故答案為：5
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，靈活利用角平分線及平行線的性質(zhì)判證明角相等是解題的關(guān)鍵.
7． (2023·福建中考真題）如圖，是的角平分線．若，則點(diǎn)D到的距離是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求得．
【詳解】如圖，過(guò)D作，則D到的距離為DE
平分，，
點(diǎn)D到的距離為．故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，理解點(diǎn)到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8． (2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=70°， BD、CE為角平分線，則∠BOC=______°
【答案】125
【分析】先用角平分線的性質(zhì)求出∠2+∠4的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理便可求出∠BOC的度數(shù)．
【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-55°=125°．故答案為：125．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．
9． (2023·湖北荊門市·八年級(jí)期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列結(jié)論：①：②點(diǎn)到各邊的距離相等；③：④；⑤設(shè)，，則；其中正確的結(jié)論是______．
【答案】①②③④
【分析】由∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，可得結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得再次利用內(nèi)角和定理可判斷①，如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，結(jié)合利用角平分線的性質(zhì)可判斷②，利用平行線的性質(zhì)與角平分線的定義證明可判斷③，如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，證明可得同理可得：從而可判斷④，如圖2，由，結(jié)合從而可判斷⑤．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴
∴故①符合題意；
如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，
∵平分∠ABC，平分∠ACB，故②符合題意；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O， ∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵， ∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC， ∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF， ∴EF=OE+OF=BE+CF，故③符合題意；
如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，
平分
同理可得：
故④符合題意，如圖2，由②得：ON=OD=OM=m，
∴
，故⑤不符合題意．故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10． (2023·北京市宣武外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．
三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線．
求證：．
證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∵AD是角平分線，
∴∠1＝∠2．
∴∠3＝∠E．
∴AC＝AE．
又∵CE∥DA，
∴．……①
∴．
(1)上述證明過(guò)程中，步驟①處的理由是_____
(2)用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，則BD的長(zhǎng)為_____cm．
【答案】平行線分線段成比例定理
【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．
（2）設(shè)BD＝xcm，則CD＝（6﹣x）cm，利用（1）中結(jié)論解決問(wèn)題即可．
【詳解】(1)①的理由是：平行線分線段成比例定理．
(2)設(shè)BD＝xcm，則CD＝(6﹣x)cm，
∵AD平分∠ABC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴BD＝cm，
故答案是：平行線分線段成比例定理，．
【點(diǎn)睛】考查平行線分線段成比例定理和用分式方程解決問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確理解題意，利用分式方程解決問(wèn)題．
11． (2023湖北中考模擬）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面積是_____．
【答案】42
【分析】先連接AO，把△ABC變成三個(gè)小的三角形，根據(jù)等高計(jì)算即可．
【詳解】解：連接AO，可知AO平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)可知
點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離相等，
把求△ABC的面積轉(zhuǎn)化為求△AOB、△AOC、△BOC的面積之和，
即
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)．
12． (2023·云南昆明八年級(jí)期末）（1）如圖 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 交 AC 于 F，過(guò)點(diǎn) F 作 DF∥BC，求證：BD=DF．（2）如圖 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 與∠ACB 的平分線 CF 相交于 F，過(guò)點(diǎn) F 作 DE∥BC，交直線 AB 于點(diǎn) D，交直線 AC 于點(diǎn) E．那么 BD，CE，DE 之間存在什么關(guān)系？并證明這種關(guān)系．（3）如圖 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 與∠ACB 的外角平分線 CF 相交于 F，過(guò)點(diǎn) F 作 DE∥BC，交直線 AB 于點(diǎn)D，交直線 AC 于點(diǎn) E．那么 BD，CE，DE 之間存在什么關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想．（不需證明）
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）BD+CE＝DE，證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（3）BD﹣CE＝DE，證明過(guò)程見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可；（2）與（1）證明過(guò)程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結(jié)論；
（3）與（1）證明過(guò)程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；
（2）BD+CE＝DE，理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；
同理可證：CE＝EF，∵DE＝DF+EF，∴BD+CE＝DE；
（3）BD﹣CE＝DE．理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；
同理可證：CE＝EF，∵DE＝DF﹣EF，∴BD﹣CE＝DE．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，本題具有一定的代表性，三個(gè)問(wèn)題證明過(guò)程類似．
13． (2023·江陰市學(xué)九年級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時(shí)圖中有個(gè)等腰三角形．（2）如圖②，寫出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由．
【答案】（1）5；（2）EF=BE+CF，理由見(jiàn)解析；（3）EF=BE-CF，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形；
（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，根據(jù)等量代換得到∠1=∠3，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE+CF；
（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，根據(jù)等量代換得到∠4=∠6，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE-CF．
【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形．如圖1，由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，
又∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB，
根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO，
由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形．故答案為：5；
（2）關(guān)系式：EF=BE+CF如圖，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OE=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，
∵EF=EO+FO，∴EF=BE+CF；
（3）關(guān)系式：EF=BE-CF如圖，∵OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴OE=BE，
在△CFO中，同理可證OF=CF，∵EF=EO-FO，∴EF=BE-CF．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
14． (2023·江西·九年級(jí)期中）如圖，在中，已知：是它的角平分線，且．（1）求的面積；（2）在解完（1）問(wèn)后，小智經(jīng)過(guò)反思后發(fā)現(xiàn)，小慧發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）36，（2）都正確，證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，利用角平分線性質(zhì) 有DF=DE，分別求S△ABD和S△ACD，則S△ABC= S△ABD+ S△ACD計(jì)算即可
（2）都正確 AD是它的角平分線，，DF⊥AB，則DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求兩個(gè)三角形面積之比，
過(guò)A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分別求出利用高表示的三角形的面積，，再求求兩個(gè)三角形面積之比即可．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，，DF=DE=4，
S△ABD=，S△ACD=，S△ABC= S△ABD+ S△ACD=20+16=36，

（2）都正確，
AD是它的角平分線，，DF⊥AB，則DE=DF，
S△ABD=，S△ACD=，，
過(guò)A作AG⊥BC于G，，，
，由，，
小智和小慧的發(fā)現(xiàn)都正確．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積與角平分線定理，掌握三角形的面積與角平分線定理，會(huì)求三角形的面積，會(huì)用面積證明角分線分得的兩線段的比是解題關(guān)鍵．

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