TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc3668" PAGEREF _Tc3668 \h 2
\l "_Tc27901" 模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直） PAGEREF _Tc27901 \h 2
\l "_Tc3235" 模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直） PAGEREF _Tc3235 \h 5
\l "_Tc29441" 模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等） PAGEREF _Tc29441 \h 7
\l "_Tc18280" PAGEREF _Tc18280 \h 10
模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）
角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊距離相等。

圖1 圖2 圖3
條件：如圖1，為的角平分線，于點A，于點B.
結(jié)論：、≌.
證明：∵為的角平分線，，，
∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL）
常見模型1（直角三角形型）
條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點D作.
結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時，還有.）
證明：∵，為的角平分線，，
∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL）
常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）
條件：如圖3，OC是∠AOB的角平分線，AC=BC，過點C作CD⊥OA、CE⊥OB。
結(jié)論：①；②；③.
證明：∵OC是∠AOB的角平分線，CD⊥OA、CE⊥OB，
∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE；
∵，∴，∴，
同圖1中的證法易得：≌（HL），∴，
∴，
例1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，E是邊上一點，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為 ．
例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，的外角，的平分線，相交于點，于，于，下列結(jié)論：（1）；（2）點在的平分線上；（3）；（4）若，則，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
例3．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，和分別平分和，點E，F(xiàn)分別在和上．(1)如圖1，過點P，且與垂直，求證：；
(2)如圖2，為過點P的任意一條線段，試猜想還成立嗎？請說明理由．

例4．（23-24九年級下·遼寧本溪·階段練習(xí)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，姜老師給出如下問題：如圖1，平分，M為上一點，N為上一點，連接線段，若．求證：．

①如圖2，小文同學(xué)從已知一邊一角構(gòu)造全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化的視角給出如下思路：在上截取，連接，易證，將線段與的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與的數(shù)量關(guān)系．
②如圖3，小雅同學(xué)也是從已知一邊一角構(gòu)造全等的視角進(jìn)行解題給出了另一種思路，過D點向的兩邊分別作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，易證，得到，接下來只需證，可得．
請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程
【類比分析】（2）姜老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都采用了一邊一角構(gòu)造全等的視角，為了更好的感悟這種視角，姜老師將共頂點的兩個相等的角，變成了不共頂點的兩個相等的角提出了如下問題，請你解答．
如圖4，在中，，平分交與點D，在線段上有一點E，連接交與點F，若．求證：．
【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，垂足為點D，在的延長線上取一點E，使，在線段上截取，點G在線段上，連接，使，若，，，求四邊形的面積．

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）
角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意，在解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等來得到結(jié)論。（因為正確的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦！）

圖1 圖2 圖3
條件：如圖1，為的角平分線，，
結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三線合一等。
證明：∵為的角平分線，∴∠COA=∠COB，
∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三線合一。
條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點F.
結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。
證明：同圖1的證法，
例1．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期末）如圖，中，，，點是的中點，若平分，，線段的長為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，是的角平分線，，則的最大值為 ．

例3．（2024·廣東·九年級期中）如圖，在中，，，
（1）如圖1,平分交于點，為上一點，連接交于點．
（i）若，求證：垂直平分；（ii）若,求證：．（2）如圖2，平分交于點，，垂足在的延長線上，試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3） 如圖3，為上一點，，，垂足為，與交于點，寫出線段和的數(shù)量關(guān)系．（不要求寫出過程）
模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）
角平分線構(gòu)造軸對稱模型是利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
圖1 圖2
條件：如圖1，為的角平分線，A為任意一點，在上截取，連結(jié).
結(jié)論：≌，CB=CA。
證明：∵為的角平分線，∴∠COA=∠COB，
∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。
條件：如圖2，BE、CE分別為和的平分線，，在上截取，連結(jié)。 結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。
證明：∵BE為的平分線，∴∠ABE=∠FBE=，
∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB，
∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE為的平分線，∴∠FCE=∠DCE=，
∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。
例1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的平分線，延長至點，，試求的度數(shù)．
例2．（2022·北京九年級專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點．

（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）；（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．
例3．（2023·山東煙臺·九年級期末）已知在中，滿足，
(1)【問題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，求證：．(2)【問題拓展】如圖2，當(dāng)，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．
(3)【猜想證明】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時，在的延長線上取一點使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．
例4．（24-25八年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在探索利用角平分線來構(gòu)造全等三角形問題．
如圖①，在四邊形中，點是邊的中點，平分，，證明：．
討論思考：當(dāng)同學(xué)們討論到題目中尋找線段之間的和差關(guān)系時，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思廣議，提出了一個截長法：如圖②，在上截取，連接CF，先證明，再證明，即有，即．
解決問題：小明同學(xué)根據(jù)大家的思路，進(jìn)行了如下的證明
，理由如下：如圖②，在上取一點，使，連接CF．
∵平分，∴，在和中， ∴（）
∴，．
（1）小明已經(jīng)完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧．
拓展探究：已知：如圖③，在中，，、分別為上的點，且交于點．若為的角平分線．（2） ；（3）證明：．
（4）如圖④，在中，，延長的邊到點，AD平分交延長線于點，若，，則 ．
1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．只有①
3．（2024·重慶·校考一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點C作于E，則的值為（ ）
A．B．9C．6D．7．2
4．（2024·安徽·一模）如圖，中，AD平分，E是BC中點，，，，則DE的值為（ ）
A．1B．2C．D．
5．（2024·綿陽市·?？家荒＃┮阎鐖D，BC=DC，∠B+∠D=180°． 連接AC，在AB，AC，AD上分別取點E，P，F(xiàn)，連接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，點P為定角的平分線上的一個定點，且與互補(bǔ)，若在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個數(shù)為（ ）

A．3B．2C．1D．0
7．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于，交于，過點作于，下列幾個結(jié)論：
①平分 ② ③當(dāng)時，；
④若，，則．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
8．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖，為的平分線上一點，，但，則與的關(guān)系是 ．
9．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為 ．

10．（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則 ．
11．（2024·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，為上一點，連接，，，若，則線段的長為 ．
12．（2024·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點D，試說明：．
13．（2024·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫，并畫的平分線．
（I）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，（如圖1）．則；若把三角尺繞點旋轉(zhuǎn)（如圖2），則________．（選填：“”或“=”）
（理解應(yīng)用）
（2）在（1）的條件下，過點作直線，分別交，于點，，如圖3．
①圖中全等三角形有________對．（不添加輔助線）
②猜想，，之間的關(guān)系為________．
（拓展延伸）
（3）如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點，作，的兩邊分別與，相交于，兩點，與相等嗎？請說明理由．
14．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°時，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為 ；（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時，（1）中結(jié)論是否還成立，說明理由；（3）如圖2，O為AC中點，M為AB上一點，BM＝AD，求的值．
15．（23-24九年級上·河南開封·階段練習(xí)）如圖，在中，現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點D是邊上一點，另兩條直角邊分別交于點E、F．

(1)如圖1，若，求證：四邊形是矩形．
(2)若點D在的角平分線上，將直角三角板繞點D旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F（如圖2），試證明．（嘗試作輔助線）
16．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計的問題，請你解答．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；②如圖2，的角平分線、相交于點P．當(dāng)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；
（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點P，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當(dāng)有一個內(nèi)角是時，直接寫出邊的長．
17．（2023·山東濟(jì)南·二模）在等腰中，，AM是的角平分線，過點M作，垂足為N，、將繞點M旋轉(zhuǎn)，使的兩邊交直線AB于點E，交直線AC于點F，請解答下列問題：(1)當(dāng)繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：；
(2)當(dāng)繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，請直接寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（1）和（2）的條件下，，，分別求CF的長．
18．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）【情境建?！浚?）蘇科版教材八年級上冊第60頁，研究了等腰三角形的軸對稱性，我們知道“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，簡稱“三線合一”．

小明嘗試著逆向思考：若三角形一個角的平分線與這個角對邊上的高重合，則這個三角形是等腰三角形．即如圖1，已知，點D在的邊上，平分，且，求證：．請你幫助小明完成證明；請嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝行∶鞣此汲龅慕Y(jié)論解決下列問題：
【理解內(nèi)化】（2）①如圖2，在中，是角平分線，過點B作的垂線交、于點E、F，．求證：；②如圖3，在四邊形中，，平分，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，請直接寫出此時的長．
【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，是兩條公路岔路口綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，，，該綠化帶中修建了健身步道，其中入口M、N分別在上，步道分別平分和，，．現(xiàn)要用圍擋完全封閉區(qū)域，修建地下排水和地上公益廣告等設(shè)施，試求需要圍擋多少m？（步道寬度和接頭忽略不計）
19．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）閱讀與思考
下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題
在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問題．
例：如圖1，是內(nèi)一點，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點作交延長線于點，、交于點，
平分，．，．
在和中，，（依據(jù)1）
（依據(jù)2），，，．……
任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；
任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；
應(yīng)用：如圖3，在中，，，平分交于點，過點作交延長線于點．若，求的長．

20．（23-24九年級上·黑龍江雞西·期末）如圖，在等腰中，，是的角平分線，過點作于點，，將圍繞點旋轉(zhuǎn)，使得的兩邊分別交直線、于點、．
(1)當(dāng)圍繞點旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，易證得：；
(2)當(dāng)圍繞點旋轉(zhuǎn)到如圖②、圖③的位置時，、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出來，并選擇一種情況進(jìn)行證明．
專題15 全等三角形模型之角平分線模型
角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。
大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc14944" PAGEREF _Tc14944 \h 2
\l "_Tc11781" 模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直） PAGEREF _Tc11781 \h 2
\l "_Tc16761" 模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直） PAGEREF _Tc16761 \h 8
\l "_Tc22113" 模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等） PAGEREF _Tc22113 \h 13
\l "_Tc6797" PAGEREF _Tc6797 \h 21
模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）
角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊距離相等。

圖1 圖2 圖3
條件：如圖1，為的角平分線，于點A，于點B.
結(jié)論：、≌.
證明：∵為的角平分線，，，
∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL）
常見模型1（直角三角形型）
條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點D作.
結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時，還有.）
證明：∵，為的角平分線，，
∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL）
常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）
條件：如圖3，OC是∠AOB的角平分線，AC=BC，過點C作CD⊥OA、CE⊥OB。
結(jié)論：①；②；③.
證明：∵OC是∠AOB的角平分線，CD⊥OA、CE⊥OB，
∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE；
∵，∴，∴，
同圖1中的證法易得：≌（HL），∴，
∴，
例1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，E是邊上一點，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為 ．
【答案】60
【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理：過點作，，根據(jù)等邊對等角結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，得到，進(jìn)而得到四邊形的面積等于，設(shè)，勾股定理求出的長，再利用面積公式求出的面積即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴平分，
過點作，，則：，
∵，且，∴，
∴四邊形的面積，
∵，∴，設(shè)，則：，
由勾股定理，得：，
∴，解：，∴，
∴，∴四邊形的面積為60．故答案為：60．
例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，的外角，的平分線，相交于點，于，于，下列結(jié)論：（1）；（2）點在的平分線上；（3）；（4）若，則，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】過點P作PG⊥AB，由角平分線的性質(zhì)定理，得到，可判斷（1）（2）；由，可得，，，，得到，可判斷（3）；根據(jù)，,可判斷（4），進(jìn)而可得到答案．
【詳解】解：過點P作PG⊥AB，連接,如圖：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正確；∴點在的平分線上；故（2）正確；
，，
，，
，，
又，∴；故（3）錯誤；
,，
，，
，
，
∴正確的選項有3個；故選C．
【點睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題．
例3．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，和分別平分和，點E，F(xiàn)分別在和上．(1)如圖1，過點P，且與垂直，求證：；
(2)如圖2，為過點P的任意一條線段，試猜想還成立嗎？請說明理由．

【答案】(1)證明見詳解(2)成立，理由見詳解
【分析】（1）過點P作于點M，由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論；
（2）過點P作于點G，交于點H，證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖，過點P作于點M，

∵，，．
和分別是和的平分線，
且，，，
，．．
（2）成立．理由如下：
如圖，過點P作于點G，交于點H，

，，，，
由（1）得，在和中，
，．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
例4．（23-24九年級下·遼寧本溪·階段練習(xí)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，姜老師給出如下問題：如圖1，平分，M為上一點，N為上一點，連接線段，若．求證：．

①如圖2，小文同學(xué)從已知一邊一角構(gòu)造全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化的視角給出如下思路：在上截取，連接，易證，將線段與的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與的數(shù)量關(guān)系．
②如圖3，小雅同學(xué)也是從已知一邊一角構(gòu)造全等的視角進(jìn)行解題給出了另一種思路，過D點向的兩邊分別作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，易證，得到，接下來只需證，可得．
請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程
【類比分析】（2）姜老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都采用了一邊一角構(gòu)造全等的視角，為了更好的感悟這種視角，姜老師將共頂點的兩個相等的角，變成了不共頂點的兩個相等的角提出了如下問題，請你解答．
如圖4，在中，，平分交與點D，在線段上有一點E，連接交與點F，若．求證：．
【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，垂足為點D，在的延長線上取一點E，使，在線段上截取，點G在線段上，連接，使，若，，，求四邊形的面積．

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；（3）
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理等知識點，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）①小文，由“”可證，可得，由補(bǔ)角的性質(zhì)可得，可證即可求解；②小雅：由“”可證，可得，由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得，由三角形內(nèi)角和定理可求，可得；（3）由“”可證，可得，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求的長，的長，最后由三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：（1）①證明：如圖2，在上截取，連接，

∵平分，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
②證明：如圖3，過D點向∠BAC的兩邊分別作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，
∵平分，∴，
又∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴；
（2）證明：延長至點M使，連接，

又∵，∴，∴，
∴為的平分線，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（3）如圖：在上截取，連接，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．即△ABE的面積為．
模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）
角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意，在解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等來得到結(jié)論。（因為正確的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦?。?br>
圖1 圖2 圖3
條件：如圖1，為的角平分線，，
結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三線合一等。
證明：∵為的角平分線，∴∠COA=∠COB，
∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三線合一。
條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點F.
結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。
證明：同圖1的證法，
例1．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期末）如圖，中，，，點是的中點，若平分，，線段的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，延長交于，利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，再求出并判斷出是的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，延長交于點，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中， ，∴，
∴，，∴，
又∵點為的中點，∴是的中位線，∴，故選：．
例2．（2024·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，是的角平分線，，則的最大值為 ．

【答案】
【分析】延長，交點于，可證，得出，，則，當(dāng)時，取最大值，即取最大值．
【詳解】解：如圖：延長，交點于，

平分，，，，
在和中，，，，；
，，即； ，，
當(dāng)時，取最大值，即取最大值．．故答案為：．
【點睛】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用三角形中線的性質(zhì)得到．
例3．（2024·廣東·九年級期中）如圖，在中，，，
（1）如圖1,平分交于點，為上一點，連接交于點．
（i）若，求證：垂直平分；（ii）若,求證：．（2）如圖2，平分交于點，，垂足在的延長線上，試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3） 如圖3，為上一點，，，垂足為，與交于點，寫出線段和的數(shù)量關(guān)系．（不要求寫出過程）
【答案】（1）（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）CE＝FD．
【分析】（1）（?。┯傻妊切蔚男再|(zhì)即可證得結(jié)論；
（ⅱ）過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，如圖1，先根據(jù)AAS證明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠FCM＝∠EAD，進(jìn)而可根據(jù)ASA證明△AED≌△CMF，于是可得結(jié)論；（2）延長BA、CE相交于點F，如圖2，先利用ASA證明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可證明△ABD和△ACF全等，進(jìn)而可得BD＝CF，進(jìn)一步即得結(jié)論；（3）過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點G，如圖3，先利用ASA證明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）（ⅰ）證明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，
∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；
（ⅱ）證明：過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，如圖1，
∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，
在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，
∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，
在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；
（2）解：BD＝2CE．理由如下：如圖2，延長BA、CE相交于點F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．
（3）解：CE＝FD．過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點G，如圖3，
∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，
在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，
∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．
又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）
角平分線構(gòu)造軸對稱模型是利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
圖1 圖2
條件：如圖1，為的角平分線，A為任意一點，在上截取，連結(jié).
結(jié)論：≌，CB=CA。
證明：∵為的角平分線，∴∠COA=∠COB，
∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。
條件：如圖2，BE、CE分別為和的平分線，，在上截取，連結(jié)。 結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。
證明：∵BE為的平分線，∴∠ABE=∠FBE=，
∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB，
∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE為的平分線，∴∠FCE=∠DCE=，
∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。
例1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的平分線，延長至點，，試求的度數(shù)．
【答案】40°
【分析】在上截取，連接，通過證明，可得，再通過證明，即可求得
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，
是的平分線，，
在和中，
，，，
∴DE=DF，，又，，
，，
在和中，，故．
【點睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022·北京九年級專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點．

（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）；（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，證明見解析．
【分析】（1）在AE上取一點F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；
（2）在AE上取點F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連結(jié)CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF＝CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG＝CG＝BD，從而可證得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖（1），在AE上取一點F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD邊的中點，∴BC＝CD．∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案為：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋BD．
證明：如圖（2），在AE上取點F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連結(jié)CG．
∵C是BD邊的中點，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可證：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°?120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等邊三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
例3．（2023·山東煙臺·九年級期末）已知在中，滿足，
(1)【問題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，求證：．(2)【問題拓展】如圖2，當(dāng)，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．
(3)【猜想證明】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時，在的延長線上取一點使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．
【答案】(1)證明見解析(2)成立，證明見解析(3)猜想，證明見解析
【分析】（1）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；（2）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；
（3）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證．
（1）證明：∵為的角平分線，∴，
在與中，，∴，∴，，
又∵，，∴，，
∴，∴，∴，∴，∴．
（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：∵為的角平分線時，∴，
在與中，，∴，
∴，，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴．
（3）解：猜想，證明如下：∵平分，∴，
在與中,，∴，∴，，
如圖，∴，即，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．
例4．（24-25八年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在探索利用角平分線來構(gòu)造全等三角形問題．
如圖①，在四邊形中，點是邊的中點，平分，，證明：．
討論思考：當(dāng)同學(xué)們討論到題目中尋找線段之間的和差關(guān)系時，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思廣議，提出了一個截長法：如圖②，在上截取，連接CF，先證明，再證明，即有，即．
解決問題：小明同學(xué)根據(jù)大家的思路，進(jìn)行了如下的證明
，理由如下：如圖②，在上取一點，使，連接CF．
∵平分，∴，在和中， ∴（）
∴，．
（1）小明已經(jīng)完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧．
拓展探究：已知：如圖③，在中，，、分別為上的點，且交于點．若為的角平分線．（2） ；（3）證明：．
（4）如圖④，在中，，延長的邊到點，AD平分交延長線于點，若，，則 ．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析；（4）
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)；（1）根據(jù)題意再證明得出，進(jìn)而即可得證；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（3）在上截取，證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；（4）在上截取，證明，結(jié)合已知可得，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角可得，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）補(bǔ)充證明如下：∵，∴，
又∵∴，∴
∵點是邊的中點，∴，又∵∴，
在中，∴∴，
又，∴，即；
（2）∵，∴，
∵為的角平分線，∴
∴，故答案為：．
（3）證明：如圖所示，在上截取，

∵，∴，∵是的角平分線，∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，
又∵∴∵是的角平分線，∴，
在中，∴∴∴；
（4）解：如圖所示，在上截取，∵AD平分∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴∴，
∴，
∴ 故答案為：．
1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；
第二個圖，由作圖可知：，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴為的平分線；
第三個圖，由作圖可知，∴，，
∴∴，∴為的平分線；
第四個圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．
2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．只有①
【答案】B
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進(jìn)行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得， 可證明，有，可得，進(jìn)一步證明，得，繼而可證明，得，得到是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；
在圖③中，利用作法得，

在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線；
在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
則①③可得出射線平分．
故選：B．
3．（2024·重慶·?？家荒＃┤鐖D，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點C作于E，則的值為（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求值，主要求出AE和BE的長即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長線于點F，可以證得兩對全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長，從而解決問題．
【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長線于點F，則∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四邊形ABCD對角互補(bǔ)， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
設(shè)BE=a，則DF=a， ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得，
∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故選B．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．
4．（2024·安徽·一模）如圖，中，AD平分，E是BC中點，，，，則DE的值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】延長BD交AC于點F，先證明，得到BD=DF，D是BF的中點，再由中位線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：延長BD交AC于點F，如圖
AD平分，
D是BF的中點，
E是BC中點，故選：D．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
5．（2024·綿陽市·校考一模）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°． 連接AC，在AB，AC，AD上分別取點E，P，F(xiàn)，連接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】作于點，于點，延長，取，連接，先證明，由全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，得到，結(jié)合等邊對等角得到，再由角平分線的性質(zhì)證得，最后根據(jù)三角形面積公式解題即可.
【詳解】解：如圖，作于點，于點，延長，取，連接，
故選：C.
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、角平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，作出正確的輔助線、掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
6．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，點P為定角的平分線上的一個定點，且與互補(bǔ)，若在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個數(shù)為（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】作于E，于F，根據(jù)平分可知，結(jié)合即可證明．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關(guān)系可得，進(jìn)而還可證明；利用全等三角形的性質(zhì)可以得到多組相等的邊，由此判斷①的正誤．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得定值，還可判斷③的正誤；
【詳解】解：如圖，作于E，于F．

∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，于E，于F，∴．
在和中，∴，∴．
在和中，
∴，∴，故①正確．
∴定值，故③正確．
∴定值，故②正確．故選：A．
【點睛】本題側(cè)重考查角平分線的題目，需要掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
7．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于，交于，過點作于，下列幾個結(jié)論：
①平分 ② ③當(dāng)時，；
④若，，則．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】過分別作交于點、交，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 ，證明即可判定①正確；由角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理得與的關(guān)系，判定②正確；在上取一點，使，證，得，再證，得，判定③正確；過作于點，于點，由三角形的面積證得④正確；即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①過分別作交于點、交，
，
平分， 平分，
，，
，
，，
（HL），
，
平分，故①正確；
②和的平分線相交于點，
，，
故②正確；
③，
，
，分別是與的平分線，
，
，
，
，
如圖，在上取一點，使，連接，
是的角平分線，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正確；
④過作于點，于點，
和的平分線相交于點，
點在的平分線上，
，
，故④正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)與判定等知識，正確作出輔助線證得是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖，為的平分線上一點，，但，則與的關(guān)系是 ．
【答案】互補(bǔ)（或度數(shù)和為）
【分析】過點D分別作，，利用角平分線的性質(zhì)得出，再由直角三角形全等的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形，利用等量代換即可得出結(jié)果．
【詳解】解：過點D分別作，，如圖所示：
∵為的平分線上一點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與的關(guān)系是互補(bǔ)，
故答案為：互補(bǔ)．
【點睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
9．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為 ．

【答案】4
【分析】延長交于，由證明，得出，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：延長交于，如圖所示：

平分，垂直于，，，
在和中，，)，，
，∴，
∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．
【點睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，中線的性質(zhì)，證明三角形全等得出是解題關(guān)鍵．
10．（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)作圖可知平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，結(jié)合求出，．
【詳解】解：作圖可知平分，
∵是邊上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：6．
11．（2024·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，為上一點，連接，，，若，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】如下圖，先構(gòu)造并證明，從而得出，再根據(jù)可推導(dǎo)出，最后在Rt△ACM中求解．
【詳解】解析：連接，過點作于點，于點，
，
，
，，
，
，，
，．
設(shè)，則，
．
．
設(shè)，則，
，，
在中，由勾股定理得
解得．
．
【點睛】本題考查了構(gòu)造并證明全等三角形、勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是利用進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，得到邊．
12．（2024·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點D，試說明：．
【答案】證明見解析
【分析】解法一：延長、相交于點，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，證明，得到，再證明，得到，即可證明；
解法二：作的中點E，連接、，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出，由平分就可以得出，從而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四點共圓，求出，證，推出，從而得到結(jié)論．
【詳解】解法一：解：延長、相交于點，
∵平分，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
解法二：解：取的中點E，連接、，
∵，∴，∴，
∵，∴A，B，C，D四點共圓，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
在與中，，∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2024·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫，并畫的平分線．
（I）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，（如圖1）．則；若把三角尺繞點旋轉(zhuǎn)（如圖2），則________．（選填：“”或“=”）
（理解應(yīng)用）
（2）在（1）的條件下，過點作直線，分別交，于點，，如圖3．
①圖中全等三角形有________對．（不添加輔助線）
②猜想，，之間的關(guān)系為________．
（拓展延伸）
（3）如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點，作，的兩邊分別與，相交于，兩點，與相等嗎？請說明理由．
【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由見解析
【分析】（1）PE=PF，利用條件證明△PEM≌△PFN即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OP=PG=PH，證明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根據(jù)勾股定理，全等三角形的性質(zhì)解答；
（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，證明△PGE≌△PHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【詳解】（1）
如圖2，過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵OC是∠AOB的平分線，
∴PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF，
故答案為：=；
（2）①∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
同理可證明△EPO≌△FPH，
∵，
∴△GPO≌△OPH（SAS），
∴全等三角形有3對，
故答案為：3；
②GE2+FH2=EF2，
理由如下：∵△GPE≌△OPF，
∴GE=OF，
∵△EPO≌△FPH，
∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案為：GE2+FH2=EF2；
（4）
如圖，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
【點睛】本題考查幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
14．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°時，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時，（1）中結(jié)論是否還成立，說明理由；
（3）如圖2，O為AC中點，M為AB上一點，BM＝AD，求的值．
【答案】（1）CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由見解析；（3）＝2．
【分析】（1）∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，得出∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得CD＝CB，
（2）過點C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得CE＝CF，再證△CDF≌△CBE（AAS）即可；
（3）延長DO至點N，使ON＝DO，連接AN，先證△AON≌△COD（SAS），可得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再證△AND≌△BCM（SAS），得出CM＝DN＝2DO即可．
【詳解】證明：（1）CD與CB的數(shù)量關(guān)系為：CD＝CB．
∵∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，
∴∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CB⊥AB，
∴CD＝CB，
故答案為：CD＝CB；
（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
過點C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，
則∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
在△CDF和△CBE中
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延長DO至點N，使ON＝DO，連接AN，
在△AON和△COD中，
，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
在△AND≌△BCM中，
，
∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
∴＝2．
【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點與倍分，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點與倍分，利用輔助線構(gòu)造全等圖形是解題關(guān)鍵．
15．（23-24九年級上·河南開封·階段練習(xí)）如圖，在中，現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點D是邊上一點，另兩條直角邊分別交于點E、F．

(1)如圖1，若，求證：四邊形是矩形．
(2)若點D在的角平分線上，將直角三角板繞點D旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F（如圖2），試證明．（嘗試作輔助線）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)四個角是直角的四邊形是矩形即可證明結(jié)論；
（2）作于于，可證四邊形AMDN是正方形，即；進(jìn)而證明可得，再運(yùn)用勾股定理可得，再說明即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
，
，
四邊形是矩形．
（2）解：作于于，

，
點在的角平分線上，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形角平分線的性質(zhì)等知識點，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
16．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計的問題，請你解答．
（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】
①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；
②如圖2，的角平分線、相交于點P．當(dāng)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；
（2）【探究遷移】
如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點P，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當(dāng)有一個內(nèi)角是時，直接寫出邊的長．
【答案】（1）①；②；（2），理由見解析；（3）或10．
【分析】（1）①運(yùn)用角平分線定義證明，即得；②在上取點D，使，連接，，根據(jù)三角形角平分線相交于一點，得到，證明，得到，，根據(jù)，證明，得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和性質(zhì)得到，得到，結(jié)合得到，得到 ，即得；
（2）在上取點E，使，連接，得到，結(jié)合的平分線與的平分線恰好交于邊上的點P，證明， ,即得；
（3）設(shè)，則，當(dāng)時，得到，，過點E作于點G，得到是等腰直角三角形，，根據(jù)，， 證明，得到，，根據(jù)， ，得到，，根據(jù)，，得到，，得到 ；當(dāng)時，過點P作于點H，得到是等腰直角三角形，，根據(jù)，得到，結(jié)合，得到，，得到，，得到；當(dāng)時，，根據(jù)，得到，，得到不成立．
【詳解】（1）①∵是的角平分線，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案為：；
②在上取點D，使，連接，，
∵的角平分線、相交于點P．
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（2），理由：
在上取點E，使，連接，
則，
∵，
∴，
∵的平分線與的平分線恰好交于邊上的點P，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）設(shè)，則，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
∴，
過點E作于點G，
則，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
當(dāng)時，，
過點P作于點H，
則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
當(dāng)時，，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
綜上，或．

【點睛】本題主要考查了角平分線，全等三角形，銳角三角函數(shù)．熟練掌握角平分線定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，四邊形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切定義，是解決問題的關(guān)鍵．
17．（2023·山東濟(jì)南·二模）在等腰中，，AM是的角平分線，過點M作，垂足為N，、將繞點M旋轉(zhuǎn)，使的兩邊交直線AB于點E，交直線AC于點F，請解答下列問題：
(1)當(dāng)繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：；
(2)當(dāng)繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，請直接寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（1）和（2）的條件下，，，分別求CF的長．
【答案】(1)見解析(2)(3)或
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證，再證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）仿照（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先證明，求出，即可求出，，最后求出，再利用勾股定理求出，然后根據(jù)（1）（2）的結(jié)論求解即可．
【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的平分線，，，
∴，，
在四邊形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如圖2，同（1）的方可證，是等腰直角三角形，則，
∵，
∴．
（3）在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①由（1）知，如圖1，，
∴．
②由（2）知，如圖2，，
∴，
故答案為：或．
【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
18．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）【情境建?！浚?）蘇科版教材八年級上冊第60頁，研究了等腰三角形的軸對稱性，我們知道“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，簡稱“三線合一”．

小明嘗試著逆向思考：若三角形一個角的平分線與這個角對邊上的高重合，則這個三角形是等腰三角形．即如圖1，已知，點D在的邊上，平分，且，求證：．請你幫助小明完成證明；
請嘗試直接應(yīng)用“情境建模”中小明反思出的結(jié)論解決下列問題：
【理解內(nèi)化】（2）①如圖2，在中，是角平分線，過點B作的垂線交、于點E、F，．求證：；
②如圖3，在四邊形中，，平分，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，請直接寫出此時的長．
【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，是兩條公路岔路口綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，，，該綠化帶中修建了健身步道，其中入口M、N分別在上，步道分別平分和，，．現(xiàn)要用圍擋完全封閉區(qū)域，修建地下排水和地上公益廣告等設(shè)施，試求需要圍擋多少m？（步道寬度和接頭忽略不計）
【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②；（3）至少需要圍擋．
【分析】（1）根據(jù)角平分線和垂直的性質(zhì)，證明，即可證明；
（2）①由（1）可得，，，進(jìn)而得到，，再利用三角形外角的性質(zhì)得到，從而推出，即可證明結(jié)論；
②延長和相交于點E，由（1）可知，，得到，，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形中線性質(zhì)，得到，當(dāng)時，最大，利用勾股定理求出，即可得到的長；
（3）延長交于點D，延長交于點E，由（1）可知，，，得到，，進(jìn)而證明，得到，再利用勾股定理得到，設(shè)，，則，，，，從而得到，即可求出的周長，得到答案．
【詳解】解：（1）平分，，，，
在和中，，；
（2）①證明：在中，是角平分線，，
由“情境建?！钡慕Y(jié)論得，，，
，，，，
，，，；
②延長和相交于點E，
平分，，由“情境建模”的結(jié)論得：，，，
，，為中點，，
當(dāng)最大時，最大，即時，最大，
，，，為中點，；
（3）延長交于點D，延長交于點E，
、分別平分和，，，
由“情境建?！钡慕Y(jié)論得：，，，，
在和中，，，，
，，，，
設(shè)，，，，
，，，，
，，
的周長，答：至少需要圍擋．
【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的有關(guān)計算，運(yùn)用三線合一的性質(zhì)和作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
19．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）閱讀與思考
下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題
在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問題．
例：如圖1，是內(nèi)一點，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點作交延長線于點，、交于點，
平分，．，．
在和中，，（依據(jù)1）
（依據(jù)2），，，．……
任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；
任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；
應(yīng)用：如圖3，在中，，，平分交于點，過點作交延長線于點．若，求的長．

【答案】任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（或角邊角或），全等三角形的對應(yīng)邊相等；任務(wù)二：見解析；應(yīng)用：12
【分析】任務(wù)一：根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)即可得到答案；
任務(wù)二：先推出，得出，，進(jìn)而可得，即可得到答案；
應(yīng)用：延長、交于點，先推出，得到，進(jìn)而可得，再推出，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（或角邊角或ASA），全等三角形的對應(yīng)邊相等；
任務(wù)二：……
，，；
應(yīng)用：延長、交于點，

平分，，
，，
在和中，
，，，
，，，
在和中，，．
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（23-24九年級上·黑龍江雞西·期末）如圖，在等腰中，，是的角平分線，過點作于點，，將圍繞點旋轉(zhuǎn)，使得的兩邊分別交直線、于點、．
(1)當(dāng)圍繞點旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，易證得：；
(2)當(dāng)圍繞點旋轉(zhuǎn)到如圖②、圖③的位置時，、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出來，并選擇一種情況進(jìn)行證明．
【答案】(1)證明見詳解
(2)圖②；圖③BM＝CF﹣BE，證明見詳解
【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的角平分線，，
∴，
在四邊形中，，
∵，
∴，且，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）證明：圖②，同（1）的方法得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
圖③，同（1）的方法得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，∴．
【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

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