以能力立意是數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題是今后高考的一大特點(diǎn)和方向,與概率交匯的試題正是在這種背景下“閃亮登場(chǎng)”,頻頻出現(xiàn)在各類試題中.除了上一節(jié)講解的概率統(tǒng)計(jì)的常見(jiàn)綜合問(wèn)題外,概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列,概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的交匯應(yīng)用也比較常見(jiàn).
角度一 概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的交匯應(yīng)用
例1(2023·新高考Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則 記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).
解 (1)設(shè)事件A:“第2次投籃的人是乙”, 則P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(3)由(2)知,設(shè)隨機(jī)變量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,則Xi服從兩點(diǎn)分布.
角度二 概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的交匯應(yīng)用
1.概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合例2(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.
解 (1)當(dāng)p(c)=0.5%時(shí),由患病者頻率分布直方圖可得第一個(gè)小矩形面積為0.002×5=0.01,由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)當(dāng)c∈[95,100)時(shí),p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當(dāng)c∈[100,105]時(shí),p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.故當(dāng)c=100時(shí),f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.
2.概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合例3(2024·河南三門峽模擬)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí),某大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽分為初賽與決賽,初賽通過(guò)后才能參加決賽.(1)初賽從6道題中任選2題作答,若2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中的4道,記小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下,仍未進(jìn)入決賽的概率;(2)該大學(xué)為鼓勵(lì)學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī),對(duì)進(jìn)入決賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:進(jìn)入決賽的學(xué)生可連續(xù)抽獎(jiǎng)3次,中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元,中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元,中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元,若3次均未中獎(jiǎng),則獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為p(0

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