第6課時(shí)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布
理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．
1．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含________結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為_____________．(2)二項(xiàng)分布在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝______________，k＝0，1，2，…，n，則稱隨機(jī)變量X服從________，記作X～________．
(4)正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．(5)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X )＝_，D(X )＝__．提醒：正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量，要注意它是用面積表示概率，解決問題一定用到對(duì)稱性．
一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．(　　)(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(　　)(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望值相同．(　　)(4)正態(tài)曲線與x軸圍成的面積隨參數(shù)μ，σ的變化而變化．(　　)
2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P78探究改編)設(shè)50個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，任取產(chǎn)品20個(gè)，取到的次品可能有X個(gè)，則E(X)＝(　　)A．4 　　　B．3 　　C．2 　　　D．1
3．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P87練習(xí)T2改編)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝(　　)A．0.477 　　　B．0.628 　　C．0.954 　　　D．0.977
C　[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]
4．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P78例5改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝2)＝________．
名師點(diǎn)評(píng)　二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵提醒：下列問題能轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布①條件不變，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，一般取球后再放回；②該地區(qū)人數(shù)多或不知總體，從中抽取幾個(gè)；③某產(chǎn)品服從正態(tài)分布，若干個(gè)產(chǎn)品服從二項(xiàng)分布；④用頻率表示概率，有時(shí)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某地區(qū)鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取樹苗A，B，C各一棵，估計(jì)自然成活的棵數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X )；(2)將(1)中的E(X )取得最大值時(shí)p的值作為B種樹苗自然成活的概率．該農(nóng)戶決定引種n棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活．①求一棵B種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？
E(X )＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)當(dāng)p＝0.9時(shí)，E(X )取得最大值．①一棵B種樹苗最終成活的概率為0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②記Y為n棵樹苗的成活棵數(shù)，M為n棵樹苗的利潤(rùn)，則Y～B(n，0.96)，E(Y )＝0.96n，M＝300Y－50(n－Y )＝350Y－50n，E(M )＝350E(Y )－50n＝286n，要使E(M )≥200 000，則有n＞699.所以該農(nóng)戶為獲利不低于20萬元，需至少引種700棵B種樹苗．
【教師備選資源】1．已知隨機(jī)變量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，則D(kX＋1)＝________．
考點(diǎn)二　超幾何分布[典例3]　某公司采購(gòu)部需要采購(gòu)一箱電子元件，供貨商對(duì)該電子元件整箱出售，每箱10個(gè)．在采購(gòu)時(shí)，隨機(jī)選擇一箱并從中隨機(jī)抽取3個(gè)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)．若其中沒有次品，則直接購(gòu)買該箱電子元件；否則，不購(gòu)買該箱電子元件．(1)若某箱電子元件中恰有一個(gè)次品，求該箱電子元件能被直接購(gòu)買的概率；(2)若某箱電子元件中恰有兩個(gè)次品，記對(duì)隨機(jī)抽取的3個(gè)電子元件進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)次品的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望．
名師點(diǎn)評(píng)　(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．(2)超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．(3)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(2024·重慶模擬)已知一個(gè)袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球．(1)若從袋中一次任取3個(gè)球，設(shè)取到的3個(gè)球中有X個(gè)黑球，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若從袋中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，記下顏色后將球放回袋中，重復(fù)此過程，直至他連續(xù)2次取到黑球才停止，設(shè)他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)．
考點(diǎn)三　正態(tài)分布[典例4]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)A．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大B．該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5C．該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D．該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)的概率與落在(10，10.3)內(nèi)的概率相等(2)設(shè)隨機(jī)變量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，則c的值為________，P(－4≤X≤8)＝________．(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|≤2σ)＝0.954 5)
(1)D　(2)2　0.954 5　[(1)σ越小，正態(tài)分布的圖象越瘦長(zhǎng)，總體分布越集中在對(duì)稱軸附近，A正確．由于正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為μ＝10，B，C正確．D顯然錯(cuò)誤．故選D.(2)由X～N(2，9)可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(如圖所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.∴P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.954 5．]
名師點(diǎn)評(píng)　解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ； (3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率；μ決定正態(tài)曲線位置，σ的大小決定正態(tài)曲線的穩(wěn)定與波動(dòng)大小，即高矮與胖瘦；注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.
(3)為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試．經(jīng)數(shù)據(jù)分析，高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布X～N(100，17.52)．已知成績(jī)?cè)?17.5分以上(不含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)低于82.5分的概率為_________；如果成績(jī)大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有______人．(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
【教師備選資源】(2023·江蘇南通一模)已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，有下列四個(gè)命題：甲：P(X>m＋1)>P(Xm)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；?。篜(m－1

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