第5課時(shí)　空間直線(xiàn)、平面的垂直
從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀(guān)感知，了解空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．
1．直線(xiàn)與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的____一條直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)直線(xiàn)l與平面α互相垂直．(2)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：
(3)直線(xiàn)和平面所成的角①定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在____________所成的角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角．②范圍：____________．2．二面角(1)從一條直線(xiàn)出發(fā)的__________所組成的圖形叫做二面角．以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作________的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范圍：_____________．
3．平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：
[常用結(jié)論]直線(xiàn)與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線(xiàn)．(2)若兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線(xiàn)垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面．
一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．(　　)(2)若α⊥β，a⊥β?a∥α．(　　)(3) 若直線(xiàn)a⊥α，b⊥α，則a∥b．(　　)(4) 若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．(　　)
1．(人教A版必修第二冊(cè)P162練習(xí)T2改編)已知平面α，β和直線(xiàn)m，l，則下列命題正確的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βD　[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l?β或l∥β或l與β相交，A錯(cuò)誤；若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l與β相交但不一定垂直，B錯(cuò)誤；若α⊥β，l?α，則l?β或l∥β或l與β相交，C錯(cuò)誤；若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β，由面面垂直的性質(zhì)定理可知D正確．故選D.]
2．(人教A版必修第二冊(cè)P158例8改編)如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A(yíng)，B的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且AD垂直圓柱的底面，則必有(　　)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB　[因?yàn)锳B是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC，又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥BC，因?yàn)锳C∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因?yàn)锽C?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故選B.]
3．(人教A版必修第二冊(cè)P152例4改編)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_(kāi)_______．
4．(人教A版必修第二冊(cè)P152練習(xí)T4改編)已知點(diǎn)P為邊長(zhǎng)為a的正△ABC所在平面外一點(diǎn)且PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)_______．
考點(diǎn)一　直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例1]　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明]　(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
名師點(diǎn)評(píng)　判定線(xiàn)面垂直的四種方法
[解]　(1)證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.
考點(diǎn)二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例2]　(2024·江西吉安模擬)如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E為PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥BC；(2)BE⊥平面PDC.[證明]　(1)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA?平面PAB，PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD.∵BC?平面ABCD，∴PA⊥BC.
名師點(diǎn)評(píng)　證明面面垂直的兩種方法提醒：在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC＝CA＝AA1．求證：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.[證明]　(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M，所以B1M⊥平面ABC，又因?yàn)锳C?平面ABC，所以B1M⊥AC，又由BC⊥AC，B1M∩BC＝M且B1M，BC?平面B1C1CB，所以AC⊥平面B1C1CB，因?yàn)锳C?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)連接B1C，因?yàn)锳C⊥平面B1C1CB，且BC1?平面B1C1CB，所以AC⊥BC1，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)锽C＝CC1，所以四邊形B1C1CB為菱形，所以B1C⊥BC1.又因?yàn)锽1C∩AC＝C，且B1C，AC?平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1，因?yàn)锳B1?平面ACB1，所以BC1⊥AB1.
(2)證明：∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點(diǎn)，∴SE⊥AD.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點(diǎn)，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE?平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG?平面SEC，∴AD⊥EG，又四邊形AFGE是平行四邊形，∴四邊形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，F(xiàn)G?平面SBC，SB?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF?平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.
考點(diǎn)三　垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例3]　如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的大小．[解]　(1)證明：作AD⊥PC于D，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，則AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，則AD⊥BC，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，則PA⊥BC，又PA，AD?平面PAC，PA∩AD＝A，則BC⊥平面PAC.
名師點(diǎn)評(píng)　三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
線(xiàn)線(xiàn)垂直 線(xiàn)面垂直 面面垂直
[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，四邊形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD.求：(1)直線(xiàn)BP與平面PACQ所成角的正弦值；(2)平面BPQ與平面DPQ的夾角的大?。?3)點(diǎn)C到平面BPQ的距離．
拓展視野1　三垂線(xiàn)定理及其逆定理1．三垂線(xiàn)定理如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直．2．三垂線(xiàn)定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和該平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)在該平面內(nèi)的射影垂直．[典例1]　(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為正方體所在棱的中點(diǎn)，則滿(mǎn)足MN⊥OP的是(　　)
BC　[本題可以用基本性質(zhì)和判定定理等進(jìn)行分析，但如果學(xué)會(huì)了三垂線(xiàn)定理，本題將很直觀(guān)．如圖所示：選項(xiàng)A：OP在上底面的射影與MN重合，因此不滿(mǎn)足題意．選項(xiàng)B：OP在左側(cè)面的射影為PQ，P，Q均為棱的中點(diǎn)，PQ⊥MN，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可知滿(mǎn)足題意．選項(xiàng)C：OP在右側(cè)面的射影為QR，Q，R均為棱的中點(diǎn)，QR⊥MN，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可知滿(mǎn)足題意．選項(xiàng)D：OP在后表面的射影為QR，QR與MN不垂直，因此不滿(mǎn)足題意．綜上，故選BC.]
[典例2]　如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面邊長(zhǎng)為2，E是BC的中點(diǎn)，求平面C1DE與平面CDE所成二面角的正切值．
鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí) · 熟悉命題方式自我檢測(cè)提能 · 及時(shí)矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點(diǎn)？本節(jié)課還有什么疑問(wèn)點(diǎn)？
課時(shí)分層作業(yè)(四十五)
空間直線(xiàn)、平面的垂直(一)
課時(shí)分層作業(yè)(四十六)
空間直線(xiàn)、平面的垂直(二)

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