第7課時　向量法求空間角
能用空間向量的方法解簡單的線線、線面、面面的夾角問題.
體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
[常用結(jié)論]最小角定理如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cs θ＝cs θ1cs θ2．
2．(人教A版選擇性必修第一冊P37例8改編)已知兩平面的法向量分別為(0，－1，3)，(2，2，4)，則這兩個平面夾角的余弦值為________．
4．(人教A版選擇性必修第一冊P38練習T2改編)PA，PB，PC是從點P出發(fā)的三條射線，其中∠APC＝∠BPC＝45°，∠APB＝60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為________．
考點二　直線與平面所成的角[典例2]　(2022·北京高考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分別為A1B1，AC的中點．(1)求證：MN∥平面BCC1B1；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：AB⊥MN；條件②：BM＝MN.
選條件②：取AB的中點H，連接HM，HN，因為M，N，H分別為A1B1，AC，AB的中點，所以B1B∥MH，CB∥NH，而CB⊥BB1，故NH⊥MH.又因為AB＝BC＝2，所以NH＝BH＝1.在△MHB和△MHN中，BM＝MN，NH＝BH，公共邊MH，那么△MHB≌△MHN，因此∠MHN＝∠MHB＝90°，即MH⊥AB，故B1B⊥AB.在三棱柱ABC-A1B1C1中，BA，BC，BB1兩兩垂直，故以B為坐標原點，分別以BC，BA，BB1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
名師點評　利用空間向量求線面角的解題步驟
[跟進訓練]2．(2022·浙江高考)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點．(1)證明：FN⊥AD；(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．
考點三　平面與平面的夾角 [典例3]　(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.
名師點評　利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟
鞏固課堂所學 · 激發(fā)學習思維夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？本節(jié)課還有什么疑問點？
課時分層作業(yè)(四十八)

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