素養(yǎng)提升微專題7　平面圖形折疊問題的解題技巧
2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是　　　　　　　　,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.?
(2)判定定理與性質(zhì)定理
3.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(2)線面角θ的范圍:θ∈[0°,90°].4.二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的　　　　　　　所組成的圖形叫做二面角.?(2)在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.
直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.
1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(　　)(2)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(　　)(3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(　　)(4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(　　)(5)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則α⊥β.(　　)
2.(2020黑龍江大慶高三三模)設(shè)l,m,n均為直線,其中m,n在平面α內(nèi),“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m,且l⊥n”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
答案 A　解析 設(shè)l,m,n均為直線,其中m,n在平面α內(nèi),若l⊥α,則l⊥m,且l⊥n,反之若l⊥m,且l⊥n,當(dāng)m∥n時(shí),推不出l⊥α,故“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m,且l⊥n”的充分不必要條件,故選A.
3.(多選)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,點(diǎn)C是圓周上異于A,B任意一點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是(　　)A.PB⊥ACB.PC⊥BCC.AC⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面PBC
答案 BD　解析因?yàn)镻A垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,所以PA⊥BC,PA⊥AC.又點(diǎn)C是圓周上異于A,B的任意一點(diǎn),所以AC⊥BC.對(duì)于選項(xiàng)A,若PB⊥AC,則可得AC⊥平面PBC,則AC⊥PC,與PA⊥AC矛盾,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B、D,可知BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,由BC?平面PBC,可得平面PAC⊥平面PBC,故選項(xiàng)B,D正確;對(duì)于選項(xiàng)C,由AC與PC不垂直,可得AC⊥平面PBC不成立,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選BD.
4.(2020新高考全國(guó)1,4)日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為(　　)A.20°B.40°C.50°D.90°
答案B　解析由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.圓O1是在點(diǎn)A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點(diǎn)B在圓O上,則∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為40°,故選B.
5.在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的　　　　心;?(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的　　　　心.?
答案(1)外　(2)垂　解析 (1)如圖,連接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以O(shè)A=OB=OC,即點(diǎn)O為△ABC的外心.(2)如圖,延長(zhǎng)AO,BO,CO分別交BC,AC,AB于H,D,G.因?yàn)镻C⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,所以PC⊥AB,因?yàn)锳B⊥PO,PO∩PC=P,所以AB⊥平面PGC,又CG?平面PGC,所以AB⊥CG,即CG為△ABC邊AB上的高.同理可證BD,AH分別為△ABC邊AC,BC上的高,即點(diǎn)O為△ABC的垂心.
考向1　證明線面垂直【例1】 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥DC,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn),且DF= AB,PH為△PAD中AD邊上的高.求證:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.
證明 (1)∵AB⊥平面PAD,AB?平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,∴PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中點(diǎn)M,連接MD,ME.∵E是PB的中點(diǎn),∴ME? AB.又∵DF ? AB,∴ME ? DF,∴四邊形MEFD是平行四邊形,∴EF∥MD.∵PD=AD,∴MD⊥PA.∵AB⊥平面PAD,∴MD⊥AB.∵PA∩AB=A,∴MD⊥平面PAB,∴EF⊥平面PAB.
考向2　證明線線垂直【例2】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為D1D的中點(diǎn),O為底面ABCD的中心,求證:B1O⊥AP.?
證明 如圖,易證AB1=CB1.又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以B1O⊥AC.在矩形BDD1B1中,O,P分別為BD,D1D的中點(diǎn).易證△POD∽△OB1B,所以∠POD=∠OB1B.所以B1O⊥PO.又AC∩PO=O,所以B1O⊥平面PAC.又AP?平面PAC,所以B1O⊥AP.
解題心得證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用,其思維流程為:
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F在BB1上.(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;(2)在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可以使AB1⊥平面C1DF?請(qǐng)選擇并證明你的結(jié)論.①F為BB1的中點(diǎn);②AB1= ;③AA1= .
(1)證明 ∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面A1B1C1.∵A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中點(diǎn),∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)解 選①③能證明AB1⊥平面C1DF.連接A1B,∴DF∥A1B,在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,則AB= ,又AA1= ,則A1B⊥AB1,∴DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1?平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF.
【例3】 (一題多解)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn).求證:(1)CE∥平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.
證明 (1)(方法1)取PA的中點(diǎn)H,連接EH,DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以EH? AB.又CD ? AB,所以EH ? CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形,所以CE∥DH.又DH?平面PAD,CE?平面PAD,所以CE∥平面PAD.
(方法2)連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn),所以AF= AB.又CD= AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD,又CF?平面PAD,AD?平面PAD,所以CF∥平面PAD.因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又EF?平面PAD,PA?平面PAD,所以EF∥平面PAD.因?yàn)镃F∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF,所以CE∥平面PAD.
(2)因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又因?yàn)锳B⊥PA,所以EF⊥AB,同理可證AB⊥FG.又因?yàn)镋F∩FG=F,EF,FG?平面EFG,所以AB⊥平面EFG.又因?yàn)镸,N分別為PD,PC的中點(diǎn),所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.又因?yàn)镸N?平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.
思維變式1(變?cè)O(shè)問)在本例條件下,證明:平面EMN⊥平面PAC.
證明 因?yàn)锳B⊥PA,AB⊥AC,且PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB,所以MN⊥平面PAC.又MN?平面EMN,所以平面EMN⊥平面PAC.
思維變式2(變?cè)O(shè)問)在本例條件下,證明:平面EFG∥平面PAC.
證明 因?yàn)镋,F,G分別為PB,AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥PA,FG∥AC,又EF?平面PAC,PA?平面PAC,所以EF∥平面PAC.同理FG∥平面PAC.又EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面PAC.
解題心得1.面面垂直判定的2種方法與1個(gè)轉(zhuǎn)化(1)2種方法:①面面垂直的定義;②面面垂直的判定定理.(2)1個(gè)轉(zhuǎn)化:在已知兩個(gè)平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.2.面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.
【例4】 如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF=a,求證:DF∥a;(2)若EF=CF=2BC,試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G,使得平面DFG⊥平面CDE?若存在,請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明 在三棱臺(tái)ABC-DEF中,AC∥DF,AC?平面ACE,DF?平面ACE,∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,∴DF∥a.(2)解 線段BE上存在點(diǎn)G,且BG= BE時(shí),使得平面DFG⊥平面CDE.取CE的中點(diǎn)O,連接FO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接GD,∵CF=EF,∴GF⊥CE.在三棱臺(tái)ABC-DEF中,AB⊥BC,可得DE⊥EF.由CF⊥平面DEF,可得CF⊥DE.
又CF∩EF=F,∴DE⊥平面CBEF,∵GF?平面CBEF,∴DE⊥GF.∵CE∩DE=E,CE?平面CDE,DE?平面CDE,∴GF⊥平面CDE.又GF?平面DFG,∴平面DFG⊥平面CDE.∵O為CE的中點(diǎn),EF=CF=2BC,
解題心得(1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題,首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)條件下,利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證,尋找假設(shè)滿足的條件,若滿足則肯定假設(shè),若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).(2)對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,在四棱錐S-ABCD中,側(cè)棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC與BD交于O點(diǎn).(1)求證:AC⊥平面SBD;(2)若E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),并保持PE⊥AC,試指出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,并證明.
(1)證明 連接SO,∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD.又SA=SC,∴AC⊥SO.而SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD.(2)解 取棱SC中點(diǎn)M,CD中點(diǎn)N,連接MN,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡即是線段MN.連接EM,EN,∵E是BC的中點(diǎn),M是SC的中點(diǎn),∴EM∥SB.同理,EN∥BD,∴平面EMN∥平面SBD,∵AC⊥平面SBD,∴AC⊥平面EMN.因此,當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí),總有AC⊥PE.
【例5】 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PCD,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD⊥平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
(1)解 如圖,由已知AD∥BC,故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)锳D⊥平面PCD,PD?平面PCD,所以AD⊥PD.
(2)證明 由(1)知AD⊥PD,又因?yàn)锽C∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.(3)解 過點(diǎn)D作DF∥AB,交BC于點(diǎn)F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC,故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.由已知,得CF=BC-BF=2.
解題心得1.本題證明的關(guān)鍵是垂直與平行的轉(zhuǎn)化,如由AD∥BC,AD⊥PD,得PD⊥BC,進(jìn)而利用線面垂直的判定定理證明PD⊥平面PBC.2.利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角一定注意“作角、證明、計(jì)算”是完整統(tǒng)一過程,缺一不可.(1)線面角的求法:找出斜線在平面上的射影,關(guān)鍵是作垂線,找垂足,要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角來(lái)度量.平面角的作法常見的有:①定義法;②垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)證明:PE⊥FG.(2)求二面角P-AD-C的平面角的正切值.(3)求直線PA與直線FG所成的角的余弦值.
(1)證明 ∵PD=PC,且E為CD的中點(diǎn),∴PE⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE?平面PDC,∴PE⊥平面ABCD,又FG?平面ABCD,∴PE⊥FG.
(3)解 如圖,連接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,∴AC∥FG.∴直線PA與FG所成的角即直線PA與AC所成的角.在Rt△PDA中,PA2=AD2+PD2=25,∴PA=5.
類型一　將平面圖形折疊成立體圖形【例1】 (2020山東德州一中高考模擬)如圖是正四棱錐P-ABCD的平面展開圖,其中點(diǎn)P1,P2,P3,P4是頂點(diǎn)P展開后的四個(gè)點(diǎn),E,F,G,H分別為P3A,P2D,P4C,P4B的中點(diǎn),在此四棱錐中,給出下面五個(gè)結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　.?
答案①②③④解析先把平面展開圖還原為一個(gè)四棱錐,如圖所示.①∵E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn)∴EF∥AD,GH∥BC.∵AD∥BC,∴EF∥GH,∴EF,GH確定平面EFGH.∵EF?平面EFGH,AD?平面EFGH,∴AD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,∴平面EFGH∥平面ABCD,故①正確;
②連接AC,BD交于點(diǎn)O,則O為AC中點(diǎn),連接OG,G為PC中點(diǎn),∴OG∥PA,OG?平面BDG,PA?平面BDG,∴PA∥平面BDG,故②正確;③∵E,F分別為PA,PD的中點(diǎn),∴EF∥AD.∵四邊形ABCD為正方形,∴AD∥BC,∴EF∥BC.又BC?平面PBC,EF?平面PBC,∴EF∥平面PBC.故③正確;④連接FH,∵F,H為PD,PB的中點(diǎn),∴FH∥BD.∵BD?平面BDG,FH?平面BDG,∴FH∥平面BDG.故④正確;⑤由題知,EF∥GH,GH與平面BDG相交,∴EF與平面BDG相交,故⑤錯(cuò)誤.故答案為①②③④.
解題心得畫折疊圖形一般以某個(gè)面為基礎(chǔ),依次將其余各面翻折,當(dāng)然,畫圖之前要對(duì)翻折后形成的立體圖形有所認(rèn)識(shí),這是解答此類問題的關(guān)鍵.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖是一個(gè)正方體表面的一種平面展開圖,圖中的四條線段AB,CD,EF和GH在原正方體中相互異面的有　　　　對(duì).?
答案 3　解析 平面圖形的折疊應(yīng)注意折前折后各元素相對(duì)位置的變化.畫出圖形即可判斷,相互異面的線段有AB與CD,EF與GH,AB與GH,共3對(duì).
類型二　折疊中的“變”與“不變”
(1)證明:A'O⊥平面BCDE;(2)求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.
(2)解過點(diǎn)O作OH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接A'H,因?yàn)锳'O⊥平面BCDE,所以A'H⊥CD,所以∠A'HO為二面角A'-CD-B的平面角.
解題心得折疊中的“變”與“不變”一般地,在同一半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的.涉及兩個(gè)半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是要變化的.分別位于兩個(gè)半平面內(nèi),但垂直于折疊棱的直線翻折后仍然垂直于折疊棱.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2020安徽肥東綜合高中二模)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在AD上,且AM= AD,將△AED,△DCF分別沿DE,DF折疊,使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P,如圖2所示.(1)試判斷PB與平面MEF的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求二面角M-EF-D的平面角的余弦值.
(2)連接BD交EF于點(diǎn)N,圖2中的三角形PDE與三角形PDF分別是圖1中的Rt△ADE與Rt△CDF,∴PD⊥PE,PD⊥PF.又PE∩PF=P,∴PD⊥平面PEF,則PD⊥PN,∵PE=PF,點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),∴PN⊥EF.
類型三　立體圖形的表面展開圖的應(yīng)用【例3】 如圖,在一個(gè)底面直徑是5 cm,高為2π cm的圓柱形玻璃杯子的上沿B處有一只蒼蠅,而恰好在相對(duì)的底沿A處有一只蜘蛛,A,B兩點(diǎn)是圓柱的一個(gè)軸截面的頂點(diǎn),蜘蛛要想用最快的速度捕捉到這只蒼蠅,蜘蛛所走的最短的路程是　　　　.?
解題心得求從一點(diǎn)出發(fā)沿幾何體表面到另一點(diǎn)的最短距離問題:通常把幾何體的側(cè)面展開,轉(zhuǎn)化為平面圖形中的距離問題.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖所示,已知圓錐中,底面半徑r=1,母線長(zhǎng)l=4,M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn),且SM=x,從點(diǎn)M拉一根繩子,圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.求:(1)繩子的最短長(zhǎng)度的平方f(x);(2)繩子最短時(shí),圓錐的頂點(diǎn)S到繩子的最短距離;(3)f(x)的最大值.
解 將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上,如圖所示,則該圖為扇形,且弧AA'的長(zhǎng)度L就是圓錐底面圓的周長(zhǎng),

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高中數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課件7.4　空間直線、平面的垂直
新教材2022版高考人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：7.4　空間直線、平面的垂直

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