1. 下列防疫的圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列運(yùn)算正確是（ ）
A. B. C. D.
3. 人體中樞神經(jīng)系統(tǒng)中含有1千億個(gè)神經(jīng)元．某個(gè)神經(jīng)元的直徑約為52微米，52微米為5.2 × 10-5米． 將5.2 × 10-5用小數(shù)表示為（ ）
A. 0.00052?B. 0.000052?C. 0.0052D. 0.0000052
4. △ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列數(shù)軸中表示的a的取值范圍，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如與的乘積中不含的一次項(xiàng)，則的值為（ ）
A. B. 3C. 0D. 1
6. 若，則2n－3m的值是（ ）
A. －1B. 1C. 2D. 3
7. 現(xiàn)有兩根木棒，它們的長(zhǎng)是20cm和30cm，若要釘成一個(gè)三角形木架，則應(yīng)選取的第三根木棒長(zhǎng)為（ ）
A. 10cmB. 50cmC. 60cmD. 40cm
8. 如圖，在 ?ABC 中，ED / / BC ，?ABC 和 ?ACB 的平分線分別交 ED 于點(diǎn) G 、F ，若 FG ? 2 ，ED ? 6 ,則EB ? DC 的值為（ ）
A. 6B. 7
C. 8D. 9
9. 下列關(guān)于分式的判斷中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有意義B. 當(dāng)時(shí)，的值為0
C. 無論x為何值，的值總為正數(shù)D. 無論x為何值，不可能得整數(shù)值
10. △ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，如果AB=8，CD=3，則△ABD的面積為（ ）
A. 24B. 12C. 8D. 6
11. 如圖所示，在△ABC中，，，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. 6C. 2D. 1
12. 如圖，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，則∠BAC的度數(shù)的值為（ ）
A. 84°B. 60°C. 48°D. 43°
13. 如圖，長(zhǎng)與寬分別為a、b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，則a3b+2a2b2+ab3的值為（ ）
A. 2560B. 490C. 70D. 49
14. 如果把分式中的，都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（ ）
A. 擴(kuò)大3倍B. 不變
C. 縮小3倍D. 擴(kuò)大9倍
15. 如圖，將長(zhǎng)方形ABCD的各邊向外作正方形，若四個(gè)正方形周長(zhǎng)之和為24，面積之和為12，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為（ ）
A. 4B. C. D. 6
16. 如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，點(diǎn)分別在線段的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，△BED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是（ ）
A. 不變B. 一直變小C. 先變大后變小D. 先變小后變大
二.填空題(本大題共3題，總計(jì) 12分)
17. 分解因式：5x4﹣5x2＝________________．
18. 已知在△ABC中，三邊長(zhǎng)，滿足等式，請(qǐng)你探究之間滿足的等量關(guān)系為__________．
19. 如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別為直線a和直線b上的點(diǎn)，連接MN，∠DMN=70°，點(diǎn)P是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，直線DE始終經(jīng)過點(diǎn)P，且與直線a、b分別交與點(diǎn)D、E，
（1）當(dāng)△MPD與△NPE全等時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的位置：___________________；
（2）當(dāng)△NPE是等腰三角形時(shí)，則∠NPE的度數(shù)為___________________．
三.解答題(共7題，總計(jì)66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
20. （1）計(jì)算：
（2）分解因式：
21. 解分式方程：
（1）
（2）
22. 如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，．
（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使得最小（畫出圖形，找到點(diǎn)P的位置）．
23. 如圖，在△ABC中，射線AM平分∠BAC．
（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）作BC的中垂線，與AM相交于點(diǎn)G，連接BG、CG；
（2）在（1）條件下，∠BAC和∠BGC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
24. 【閱讀】下列是多項(xiàng)式因式分解的過程：．請(qǐng)利用上述方法解決下列問題．
【應(yīng)用】
（1）因式分解：；
（2）若x>5，試比較與0的大小關(guān)系；
（3）【靈活應(yīng)用】若，求的值．
25. 在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司購(gòu)買了、兩種不同型號(hào)口罩，已知型口罩的單價(jià)比型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購(gòu)買型口罩的數(shù)量與用5000元購(gòu)買型口罩的數(shù)量相同．
（1）、兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，該公司還需要增加購(gòu)買一些口罩，增加購(gòu)買型口罩?jǐn)?shù)量是型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過3800元，則增加購(gòu)買型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？
26. 課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且．求證：．小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．
（1）小天提出，如果把小明方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長(zhǎng)線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長(zhǎng)至F，使_________，連接．請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；
（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，，，分別平分，，，且．求證：．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問題；
（3）小東將老師所給問題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分．小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．
石家莊市新華區(qū)2024-2025學(xué)年八年級(jí)（上）數(shù)學(xué)期末模擬測(cè)試
參考答案及解析
一.選擇題
1.【答案】：C
【解析】：解：軸對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，對(duì)折后直線兩旁的部分能完全重合．發(fā)現(xiàn)A，B，D都不符合定義，所以A，B，D都錯(cuò)誤，只有C符合，所以C正確．
故答案為C．
2.【答案】：B
【解析】：A選項(xiàng)，，故不符合題意；
B選項(xiàng)，，故符合題意；
C選項(xiàng)，，故不符合題意；
D選項(xiàng)，，故不符合題意；
故選：B．
3.【答案】：B
【解析】：解：5.2×10-5=0.000052,
故選B
4.【答案】：A
【解析】：解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，
∴1＜a＜5，
∴A符合，
故選：A．
5.【答案】：A
【解析】：，
又與的乘積中不含的一次項(xiàng)，
，
解得．
故選：A．
6.【答案】：B
【解析】：解：∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B
7.【答案】：D
【解析】：解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，
∴三角形的第三邊x滿足：，即，
故選：D．
8.【答案】：C
【解析】：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，
∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，
∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，
∴BE=EG，CD=DF，
∵FG=2，ED=6，
∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，
故選C．
9.【答案】：D
【解析】：A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有意義，故不符合題意；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的值為0，故不符合題意；
C選項(xiàng)，，則無論x為何值，的值總為正數(shù)，故不符合題意；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故符合題意；
故選：D．
10.【答案】：B
【解析】：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3，
∴△ABD的面積為×3×8=12，
故選：B．
11.【答案】：C
【解析】：解： ， ，D為BC中點(diǎn)，
，
，
，D為BC中點(diǎn)，
，
，
， ，
，
．
故答案為：C．
12.【答案】：D
【解析】：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝94°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣94°）＝43°，
∵AE//BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝43°，
∴∠BAC＝∠DAE＝43°．
故選：D．
13.【答案】：B
【解析】：解：∵長(zhǎng)與寬分別為a、b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故選：B．
14.【答案】：B
【解析】：．
故選：B．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變．
15.【答案】：B
【解析】：解：設(shè)AB＝a，AD＝b，由題意得8a＋8b＝24，2a2＋2b2＝12，
即a＋b＝3，a2＋b2＝6，
∴，
即長(zhǎng)方形ABCD的面積為，
故選：B．
16.【答案】：D
【解析】：∵△ABC是等邊三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
則△BED周長(zhǎng)為，
在點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，BC長(zhǎng)不變，AD長(zhǎng)先變小后變大，其中當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)位置時(shí)，AD最小，
在點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，周長(zhǎng)的變化規(guī)律是先變小后變大，
故選：D．
二. 填空題
17.【答案】： 5x2（x＋1）（x－1）
【解析】：5x4-5x2=5x2（x2-1）
=5x2（x+1）（x-1）．
故答案為：5x2（x+1）（x-1）．
18.【答案】：
【解析】：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案為：
19.【答案】： ①. MN中點(diǎn)處 ②. 70°或40°或55°
【解析】：（1）∵a//b
∴∠DMN=∠PNE，∠MDE=∠DEN，
∴當(dāng)△MPD與△NPE全等時(shí)，即△MPD≌△NPE時(shí)MP=NP，
即點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)．
故答案為：MN中點(diǎn)處
（2）①若PN=PE時(shí)，
∵∠DMN=∠PNE=70°，
∴∠DMN =∠PNE=∠PEN=70°．
∴∠NPE=180°-∠PNE-∠PEN=180°-70°-70°=40°．
∴∠NPE =40°；
②若EP=EN時(shí)，則∠NPE =∠PNE=∠DMN =70°；
③若NP=NE時(shí)，則∠PEN=∠NPE，此時(shí)2∠NPE=180°-∠PNE=180°-∠DMN =180°-70°=110°
∴∠NPE =55°；
綜上所述，∠NPE的值是40°或70°或55°．
故答案為：40°或70°或55°．
三.解答題
20【答案】：
（1）
（2）
【解析】：
【小問1詳解】
解：原式；
【小問2詳解】
解：原式．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算、因式分解，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
21【答案】：
（1）
（2）無解
【解析】：
【小問1詳解】
解：方程兩邊同乘以得，
解這個(gè)整式方程，得，
檢驗(yàn)：將代入最簡(jiǎn)公式分母，
原分式方程的解為．
【小問2詳解】
將方程兩邊同時(shí)乘以得：
，
解這個(gè)整式方程，得：，
將代入，
所以是增根，
所以原分式方程無解．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，易錯(cuò)點(diǎn)是漏乘不含未知數(shù)的項(xiàng)．
22【答案】：
（1）圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）；
（3）見解析．
【解析】：
（1）分別找出A，B，C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A1，B1，C1，再順次連接點(diǎn)即可；
（2）利用“關(guān)于誰對(duì)稱誰不變，不關(guān)誰對(duì)稱誰全變”可求出P的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過x軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A1，連接A1C交于x軸的點(diǎn)即為點(diǎn)P，使得最?。?br>【小問1詳解】
解：先找出點(diǎn)A，B，C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A1，B1，C1，再順次連接A1，B1，C1．
如圖所示，即為所求：
的坐標(biāo)為．
【小問2詳解】
解：∵P關(guān)于y軸對(duì)稱，則縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的相反數(shù)，
∴點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．
【小問3詳解】
解：過x軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A1，連接A1C交于x軸的點(diǎn)即為點(diǎn)P，使得最?。c(diǎn)P如圖所示：
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查作軸對(duì)稱圖形，找關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，以及動(dòng)點(diǎn)問題．關(guān)鍵是掌握畫軸對(duì)稱圖形的方法：先找對(duì)稱點(diǎn)，再連線；熟記關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化特征；利用對(duì)稱性解決動(dòng)點(diǎn)問題．
23【答案】：
（1）詳見解析；（2）∠BAC+∠BGC＝180°，證明詳見解析．
【解析】：
解：（1）線段BC的中垂線EG如圖所示：
（2）結(jié)論：∠BAC+∠BGC＝180°．
理由：在AB上截取AD＝AC，連接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，
∵G在BC的垂直平分線上，
∴BG＝CG，
∴BG＝DG，
∴∠ABG＝∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG＝180°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，
∴∠BAC+∠BGC＝180°．
24【答案】：
（1）
（2）
（3）5
【解析】：
【小問1詳解】
解：，
【小問2詳解】
解：，，
∴x+1＞0，x-5＞0，
，
；
【小問3詳解】
解：，
，
∵，
∴，
∴a=1，，
．
25【答案】：
（1）型口罩單價(jià)為4元/個(gè)，型口罩單價(jià)為2.5元/個(gè)；
（2）增加購(gòu)買型口罩的數(shù)量最多是422個(gè)
【解析】：
（1）設(shè)型口罩單價(jià)為元/個(gè)，則型口罩單價(jià)為元/個(gè)，
根據(jù)題意，得：，解方程，得，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，∴（元），
答：型口罩單價(jià)為4元/個(gè)，型口罩單價(jià)為2.5元/個(gè)；
（2）設(shè)增加購(gòu)買型口罩的數(shù)量是個(gè)，則增加購(gòu)買型口罩?jǐn)?shù)量是2個(gè)，
根據(jù)題意，得：，
解不等式，得：，
∵為正整數(shù)，∴正整數(shù)的最大值為422，
答：增加購(gòu)買型口罩的數(shù)量最多是422個(gè)．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和不等式的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、找準(zhǔn)相等與不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
26【答案】：
（1）BD，證明見解析；（2）見解析；（3）見解析．
【解析】：
（1）延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC＝2∠F，則可利用SAS證明△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，則可利用SAS證明△ADB≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AB至G，使BG＝BD，連接DG，則可利用SSS證明△ADG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，
則∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F ，
∴∠ABC＝2∠ACB．
故答案為：BD．
（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，
∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB．
（3）如圖4，延長(zhǎng)AB至G，使BG＝BD，連接DG，
則∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

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河北省石家莊市新華區(qū)2022-2023學(xué)年七年級(jí)（上）數(shù)學(xué)期末模擬測(cè)試(解析版)

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