△ABC中 , AD是BC邊中線
方式1：直接倍長 延長AD到E，使DE=AD，連接BE


方式2：間接倍長
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E （2）延長MD到N，使DN=MD，連接CN


倍長中線法原理：
延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則 對應(yīng)角 對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。 此法常用于構(gòu)造 全等三角形 ，利用中線的性質(zhì)、 輔助線 、 對頂角 一般用“ SAS ”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系。 （在一定范圍中）
延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則 對應(yīng)角 對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。 此法常用于構(gòu)造 全等三角形 ，利用中線的性質(zhì)、 輔助線 、 對頂角 一般用“ SAS ”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系。 （在一定范圍中）
【典例1】（2021春?吉安縣期末）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故選B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故選C．
（3）證明：
延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，
∵AD是△ABC中線，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△MDB中
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【變式1-1】（2021秋?肥西縣期末）一個三角形的兩邊長分別為5和9，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7
【答案】D
【解答】解：如圖，AB＝5，AC＝9，AD為BC邊的中線，
延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，CE，
∵AD＝x，
∴AE＝2x，
在△BDE與△CDA中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，
即5+9＞2x，9﹣5＜2x，
∴2＜x＜7，
故選：D．
【變式1-2】（2019秋?貴港期中）如圖，AE是△ABD的中線AB＝CD＝BD．
求證：AB+AD＞2AE；
【解答】證明：（1）延長AE到M，使AE＝EM，連接DM，
∵AE為△ABD的中線，
∴BE＝DE，
在△AEB和△MED中
∴△AEB≌△MED（SAS），
∴AB＝DM，
在△AMD中，AD+DM＞AM，
即AB+AD＞2AE；
【變式1-3】（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應(yīng)用：
如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
證明：（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分線，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
1．（2021秋?新城區(qū)校級期中）已知AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，則中線AD的取值范圍是（ ）
A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不對
【解答】解：如圖，延長AD至點(diǎn)E，使AD＝DE，連接BE，
∵AD是△ABC的邊BC上的中線，
∴BD＝CD，
又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE
∴△ACD≌△EBD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，
∴4＜AE＜20，
∴2＜AD＜10．
故選：A．
2．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝DE．
求證：BE∥CF．
【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF．
3．（2021秋?濱湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，已知：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長到點(diǎn)E，連接BE．
（1）請你添加一個條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
【解答】（1）結(jié)論：若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AC∥BE或AD＝DE；
證明：當(dāng)AC∥BE時，
∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，
又∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
當(dāng)AD＝DE時，
∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴BD＝DC，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
4．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
（2）受到（1）啟發(fā)，請你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.
【解答】解：（1）延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延長FD到點(diǎn)G，使GD＝DF，連接BG，EG，
∵D是BC邊上的中點(diǎn)，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分線，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
5．（2020秋?津南區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求證：AD＝AC；
（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，中線BD與AE相交于點(diǎn)P，AP＝BC．求證：PE＝BE．
【解答】證明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）過點(diǎn)A作AF∥BC交BD的延長線于點(diǎn)F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE
6．（2021秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：
（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是 ．
（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫出線段DF的長．
【解答】解：（1）延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案為：1＜AD＜5．
（2）結(jié)論：AD＝AB+DC．
理由：如圖②中，延長AE，DC交于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
7．（2021秋?通榆縣期末）【閱讀理解】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故選B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故選C．
（3）證明：
延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，
∵AD是△ABC中線，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
8．（2021春?歷下區(qū)期中）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），
①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是 ；
方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案為：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
9．（2020秋?大安市期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案為：B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案為：C．
（3）證明：如圖，延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，
∵AE是△ABD的中線
∴BE＝ED，
在△ABE與△FDE中，，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，
∴DF＝DC，
在△ADF與△ADC中，，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
10．（2020秋?饒平縣校級期中）（1）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝8，AC＝6則AD的取值范圍是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（2）在（1）問的啟發(fā)下，解決下列問題：如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．
【解答】解：（1）延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，
∵AD＝DM，BD＝CD，∠ADC＝∠MDB，
∴△ADC≌△BDM，
∴BM＝AC，
在△ABM中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得2＜AM＜14，
即2＜2AD＜14，所以AD的范圍是1＜AD＜7．
故選：C．
（2）∵△ADC≌△MDB，
∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠MFB＝∠AFE，
∴∠BMF＝∠BFM，
∴BM＝BF，
∴AC＝BF．
11．（2019秋?新吳區(qū)期中）（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是 ；
（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C為頂點(diǎn)作∠ECF，使得角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，且EF＝BE+DF，試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：（1）閱讀理解：
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案為：1＜AD＜4；
（2）問題解決：
解：（1）延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．
∵CD＝DB，DF＝DG，∠CDF＝∠BDG，
∴△CDF≌△BDG（SAS）
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°，
理由如下：延長AB至點(diǎn)N，使BN＝DF，連接CN，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴∠D＝∠CBN，且CD＝CB，DF＝BN，
∴△CDF≌△CBN（SAS）
∴CF＝CN，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BN＝EN，
在△CEF和△CEN中，
，
∴△CEF≌△CEN（SSS）
∴∠FCE＝∠NCE＝∠FCN＝∠DCB，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠A+2∠ECF＝180°．

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