1. 分別以點(diǎn) A、B 為圓心，以大于 AB 的長為半徑作弧，兩弧相交于 C、D 兩點(diǎn)；
2. 作直線 CD，CD 為所求直線
垂直平分線的性質(zhì)：
垂直平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等
【典例1】（2021秋?鄧州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分線交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分線交MN于C，交AN于F．
（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，則△ABC的形狀是 ；
（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的條件，其他不變，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)∠M與∠N滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△ABC是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．
【解答】解：（1）等邊三角形，
理由：∵AM＝AN，∠MAN＝120°，
∴∠M＝∠N＝30°，
∵BE是線段AM的垂直平分線，
∴AB＝BM，
∴∠MAB＝∠M＝30°，
∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°，
同理，CA＝NC，
∴∠NAC＝∠N＝30°，
∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
故答案為：等邊三角形；
（2）△ABC是等腰三角形，
理由：∵AM＝AN，
∴∠M＝∠N，
∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）當(dāng)∠M＝∠N時，AB＝AC；
當(dāng)2∠M+∠N＝90°時，∠BAN＝90°，
∴CF∥BN，
∵CF垂直平分AN，
∴AF＝FN，
∴CN＝BC，
∴CA＝NB＝BC，
同理，當(dāng)∠M+2∠N＝90°時，BA＝BC，
綜上所述，當(dāng)∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°時，△ABC是等腰三角形．
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，PB+CP的值最小，最小值是8cm．
【變式1-1】（秋?密云區(qū)期末）已知如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l異側(cè)，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧交直線l于C、D兩點(diǎn)．分別以C、D為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在l下方交于點(diǎn)E，連接AE．
（1）根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；
（2）證明：l垂直平分AE．
【答案】略
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）證明：解法一：如下圖：連接AC，CE，ED，AD，
∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，
∴AC＝CE，AD＝DE，
在△ACD和△ECD中
∵，
∴△ACD≌△ECD（SSS），
∴∠ACD＝∠ECD，
∵AC＝CE，
∴l(xiāng)垂直平分AE．
解法二：如下圖：連接AC，CE，ED，AD，
∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，
∴AC＝CE，AD＝DE，
∴l(xiāng)垂直平分AE．
【變式1-2】（2020?建湖縣模擬）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD．若∠A＝25°，則∠CDB＝（ ）
A．25°B．50°C．60°D．90°
【答案】B
【解答】解：∵根據(jù)做法可知：MN是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周長為10，
∴AD+CD+AC＝10，
∴BD+DC+AC＝10，
∴AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周長為AB+AC+BC＝7+10＝17，
故選：B．
【變式1-3】（2021春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，在△ABC中，線段AB的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D，連接BD，邊AC的長為12cm，邊BC的長為7cm，則△BCD的周長為（ ）
A．18cmB．19cmC．20cmD．21cm
【答案】B
【解答】解：∵線段AB的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周長＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC，
∵AC＝12cm，BC＝7cm，
∴△BCD的周長＝BC+AC＝12+7＝19（cm），
故選：B．
【變式1-4】（2022春?鄆城縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；
（3）若AE＝6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．
【解答】解：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（3）∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AE＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∵△CBD的周長為20，
∴AC+BC＝20，
∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
【變式1-5】（2021秋?思南縣校級月考）如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，DM與EN相交于點(diǎn)F．
（1）若△CMN的周長為16cm，求AB的長；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵DM是AC邊的垂直平分線，
∴MA＝MC，
同理，NC＝NB，
∵△CMN的周長為16cm，
∴MC+MN+NC＝16cm，
∴AB＝AM+MN＝BN＝16cm；
（2）∵AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，
∴MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB＝180°﹣∠MFN＝110°，
∴∠A+∠B＝70°，
∵M(jìn)A＝MC，NB＝NC，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝∠ACB﹣（∠A+∠B）＝110°﹣70°＝40°．
1.（2021春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D．則∠ACD的大小為（ ）
A．60°B．75°C．65°D．70°
【答案】B
【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，線段BC的垂直平分線交AB于D，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∵∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，
故選：B
2．（2020?寶安區(qū)二模）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，連接MN，交AB于點(diǎn)H，以點(diǎn)H為圓心，HA的長為半徑作的弧恰好經(jīng)過點(diǎn)C，以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，連接CD，若∠A＝22°，則∠BDC＝（ ）
A．52°B．55°C．56°D．60°
【答案】C
【解答】解：連接CH，
由題意得，直線MN是線段AB的垂直平分線，
∴AH＝BH，
∵CH＝AH，
∴CH＝AB，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝22°，
∴∠ACH＝∠A＝22°，
∴∠BCH＝∠B＝68°，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣68°）＝56°，
故選：C．
3．（2021?長春一模）如圖，∠AOB＝30°．按下列步驟作圖：①在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓弧DE，交射線OB于點(diǎn)F，連接CF；②以點(diǎn)F為圓心，CF長為半徑作圓弧，交弧DE于點(diǎn)G；③連接FG、CG，作射線OG．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．∠AOG＝60°B．OF垂直平分CG
C．OG＝CGD．OC＝2FG
【答案】D
【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，F(xiàn)G＝FC，
則OF垂直平分CG，所以B選項的結(jié)論正確；
∵C點(diǎn)與G點(diǎn)關(guān)于OF對稱，
∴∠FOG＝∠FOC＝30°，
∴∠AOG＝60°，所以A選項的結(jié)論正確；
∴△OCG為等邊三角形，
∴OG＝CG，所以C選項的結(jié)論正確；
在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，
∴OC＝2CM，
∵CF＞CM，F(xiàn)C＝FG，
∴OC≠2FG，所以D選項的結(jié)論錯誤．
故選：D．
4．（2020秋?鄞州區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠BAC＝100°，則∠EAG的度數(shù)是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，
∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，
故選：B．
5．（2021春?葉縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D；
②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點(diǎn)E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．
【答案】略
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D，射線AE即為所求．
（2）∵DF垂直平分線段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
6．（2021秋?洪江市期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．
（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．
【解答】解：（1）△CDE的周長為10．
∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
7．（2021秋?興山縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，則∠NMA的度數(shù)是 ；
（2）探究∠B與∠NMA的關(guān)系，并說明理由；
（3）連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PB+CP的值最??？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）若∠B＝70°，則∠NMA的度數(shù)是 50°，
故答案為：50°；
（2）猜想的結(jié)論為：∠NMA＝2∠B﹣90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B，
又∵M(jìn)N垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．
（3）如圖：
①∵M(jìn)N垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周長是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．

相關(guān)試卷

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項12 角平分線+垂直構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項12 角平分線+垂直構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項12角平分線+垂直構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項12角平分線+垂直構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項09 平行+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項09 平行+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項09平行+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項09平行+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型綜合應(yīng)用解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁， 歡迎下載使用。

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項08 對角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項08 對角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項08對角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項08對角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共39頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項07 半角模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項07 半角模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）
人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項06 手拉手綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項06 手拉手綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）
2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】考點(diǎn)13圓的相關(guān)證明與計算(原卷版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】考點(diǎn)13圓的相關(guān)證明與計算(原卷版+解析)
人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題13 與中點(diǎn)有關(guān)的計算與證明（原卷版+解析）

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題13 與中點(diǎn)有關(guān)的計算與證明（原卷版+解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部