考點一 四邊形中構(gòu)造全等三角形解題 考點二 一線三等角模型
考點三 三垂直模型 考點四 倍長中線模型
典型例題

考點一 四邊形中構(gòu)造全等三角形解題
【例題】（2021·天津·耀華中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證∠C＝∠A．
【變式訓(xùn)練】
1．（2020·河南洛陽·八年級期中）已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE＝DF．
2．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．
(1)若，，求四邊形AECF的面積；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
3．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且DE＝BF．
(1)求證：CE＝CF；
(2)若G在AB上且∠ECG＝60°，試猜想DE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
考點二 一線三等角模型
【例題】（2021·湖北·黃石八中八年級階段練習(xí)）如圖，D，A，E三點都在一條直線上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC，求BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如圖1，求證：BD＝CE；
(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
2．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，中，．點、、分別是、、邊上的點，．
（1）若，求證：；
（2）若，，，求的長：
（3）把（1）中的條件和結(jié)論反過來，即：若，則；這個命題是否成立?若成立，請證明：若不成立，請說明理由．
3．（2022·全國·八年級）（1）如圖①，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．
（2）應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，且CD＝2BD，點E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．
4．（2022·陜西·西安市第三中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，分別從點B、C向直線l作垂線，垂足分別為D、E．請寫出圖中全等的一對三角形是______．
（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，點D、E分別在直線l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE、BD、CE有何數(shù)量關(guān)系？給予證明．
（3）某學(xué)校學(xué)生小明在科技創(chuàng)新大賽上，創(chuàng)作了一幅機(jī)器人圖案，大致圖形如圖3，以△ABC的邊AB、AC為腰向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是BC邊上的高，延長GA交DE于點H，經(jīng)測量，DE＝50cm，求HE的長．
考點三 三垂直模型
【例題】（2021·福建·武夷山市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于點E，AD ⊥CE于點D．
（1）求證：△BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的長．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·天津·八年級期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于E．
(1)如圖（1）所示，若B，C在AE的異側(cè)，易得BD與DE，CE的關(guān)系是DE＝ ；
(2)若直線AE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE，CE的關(guān)系如何？請予以證明；
(3)若直線AE繞點A旋轉(zhuǎn)，（BD＞CE），問BD與DE，CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．
2．（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時， 度；
(2)求證：DE=CD+BE；
(3)當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．
3．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．
（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，
①求證：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．
（2）將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點D（D不與AB點重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）
4．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）（1）模型的發(fā)現(xiàn)：
如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點，且、兩點在直線的同側(cè)，直線，直線，垂足分別為點，．請直接寫出、和的數(shù)量關(guān)系．
（2）模型的遷移1：位置的改變
如圖2，在（1）的條件下，若，兩點在直線的異側(cè)，請說明、和的關(guān)系，并證明．
（3）模型的遷移2：角度的改變
如圖3，在（1）的條件下，若三個直角都變?yōu)榱讼嗟鹊拟g角，即，其中，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明、和的關(guān)系，并證明．
考點四 倍長中線模型
例題：（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長m的取值范圍是_______．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·江蘇·徐州市第二十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．
2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．
(1)求證：△ABD≌△ECD
證明：延長AD到點E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中點定義）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是 ；
(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．
3．（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：
如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
【閱讀理解】
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：
（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE． 根據(jù)______可以判定 ______，得出______．
這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．
【方法感悟】
當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．
【問題解決】
（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．
【問題拓展】
（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．
4．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），
①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是 ；
方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

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