◎結(jié)論1：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.
則△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.

【證明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，
∴∠C=∠BAD=∠E=90°，
∴∠1+∠3=∠1+∠2=90o，∴∠2=∠3
在△ABC和△DAE 中，
∠C= ∠E=90°
∠2=∠3
AB=DA,
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE，
∴CE=CA+AE=BC+DE.
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
長(zhǎng)手+短手
◎結(jié)論2：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.
則△ABC≌△DAE，CE= DE -BC.
【證明】 證明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AE
CE= AC -AE= DE -BC.

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
長(zhǎng)手-短手
1．(2023·福建·福州教院二附中八年級(jí)期末）一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見(jiàn)了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．40cmB．48cmC．56cmD．64cm
2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm
3．(2023·江西上饒·八年級(jí)期中）課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（ ）．
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
1．(2023·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．
2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．
3．(2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點(diǎn)C離地面的距離是____ cm．
1．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，AB???AC，AF是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是 ；DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）類(lèi)比延伸：如圖②，，BA?=BC，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使與△ABC全等．直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．（1）觀察理解：
如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．
（2）理解應(yīng)用：
如圖2，過(guò)△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．
（3）類(lèi)比探究：
①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；
②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為 ．
全等三角形
模型（十一）—— K型模型
◎結(jié)論1：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.
則△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.

【證明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，
∴∠C=∠BAD=∠E=90°，
∴∠1+∠3=∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3
在△ABC和△DAE 中，
∠C= ∠E=90°
∠2=∠3
AB=DA,
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE，
∴CE=CA+AE=BC+DE.
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
長(zhǎng)手+短手
◎結(jié)論2：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.
則△ABC≌△DAE，CE= DE -BC.
【證明】 證明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AE
CE= AC -AE= DE -BC.

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
長(zhǎng)手-短手
1．(2023·福建·福州教院二附中八年級(jí)期末）一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見(jiàn)了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．40cmB．48cmC．56cmD．64cm
答案:C
【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長(zhǎng)為7塊磚的厚度的和．
分析解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．
2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm
答案:B
分析根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵∠ACE＝90°，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
3．(2023·江西上饒·八年級(jí)期中）課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（ ）．
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
答案:A
分析設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，
由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵AC=CB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴CD=BE=2xcm，
∵，，
∴，
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．
1．(2023·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．
答案:7
分析根據(jù)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；
【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵，
∴；
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等．
2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．
答案:13
分析先根據(jù)AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．
【詳解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB
∴∠DAC=∠ECB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴CE=AD=5，CD=BE=8，
∴DE=CD+CE=13，
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．
3．(2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點(diǎn)C離地面的距離是____ cm．
答案:28
分析作CD⊥OB于點(diǎn)D，依據(jù)AAS證明,GMF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，如圖，
∴
∵是等腰直角三角形
∴AB=CB，
∴
又
∴
在和中，

∴
∴
故答案為：28．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．
1．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，AB???AC，AF是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是 ；DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）類(lèi)比延伸：如圖②，，BA?=BC，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使與△ABC全等．直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
答案:（1）CE，DE=BD+CE；（2）（?3，5）；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)分別為(?5，2)，(3，1)，(1，?2)．
分析（1）由BD⊥AE，∠BAC?90°，推進(jìn)而得到即可求解；
（2）作軸于點(diǎn)E，得出（AAS）即可求解；
（3）分兩種情況，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，討論并構(gòu)造全等三角形即可求解．
【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，，CE⊥AE
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE．
故答案為：CE，DE=BD+CE；
（2）作軸于點(diǎn)E，
∵軸，OA⊥OB，，
∴，，，
∴∠ABO=∠BCE．
又∵，
∴（AAS），
∴，
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，
∴，
∴，
∴(-3，5)；
（3）分類(lèi)討論：
①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，，
∴，．
∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，
∴，，
設(shè)P(x，y)，
∴，，
∴，
解得：，，
∴(?5，2)，(1，?2)，如圖；
②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，，
∴AP=AC，BP=AB，
∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，
∴，，
設(shè)P(x，y)，
∴，，
∴，
解得：，，
∵點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合，
∴(?3，5)舍去，
∴(3，1)，如圖．
綜上，存在這樣的P點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(?5，2)，(3，1)，(1，?2)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
2．（1）觀察理解：
如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．
（2）理解應(yīng)用：
如圖2，過(guò)△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．
（3）類(lèi)比探究：
①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；
②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為 ．
答案:（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①ED=EA－BD；②1
分析（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS證得△AEC≌△CDB，即可；
（2）分別過(guò)點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）可證得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，從而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，從而得到EI=IG，即可求證；
（3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，從而得到DP=EQ，然后根據(jù)兩平行線間的距離，可得AP=BC，進(jìn)而得到PD=1，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）證明：分別過(guò)點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，
由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，
∴EM＝AH，GN=AH，
∴EM=GN，
在△EMI和△GNI中，
∴△EMI≌△GNI（AAS）；
∴EI=IG，
即I是EG的中點(diǎn)；
（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，
∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CD-CE，
∴ED=EA－BD ；
故答案為：ED=EA－BD
②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，
由（1）得：△CDP≌△DEQ，
∴DP=EQ，
直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，
∴AB∥CP，
∴BC⊥CP，
∵BC=3，
∴AP=BC=3，
∵AD=2，
∴DP=AP-AD=1，
∴EQ=1，
∴△ADE的面積為．
故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，平行間的距離，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行間的距離，并利用類(lèi)比思想解答是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型15 全等三角形——雨傘模型-（原卷版+解析）：

這是一份中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型15 全等三角形——雨傘模型-（原卷版+解析），共15頁(yè)。

中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型14 全等三角形——平行線中點(diǎn)模型-（原卷版+解析）：

這是一份中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型14 全等三角形——平行線中點(diǎn)模型-（原卷版+解析），共18頁(yè)。

中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型13 全等三角形——倍長(zhǎng)中線模型-（原卷版+解析）：

這是一份中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型13 全等三角形——倍長(zhǎng)中線模型-（原卷版+解析），共13頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型12 全等三角形——手拉手模型-（原卷版+解析）

中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型12 全等三角形——手拉手模型-（原卷版+解析）
中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)幾何專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線三等角及“K”模型（2份打包，原卷版+含解析）

中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)幾何專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線三等角及“K”模型（2份打包，原卷版+含解析）
中考數(shù)學(xué)幾何專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線三等角及“K”模型

中考數(shù)學(xué)幾何專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線三等角及“K”模型
初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 專(zhuān)題15 “8字型”模型與“燕尾”模型（原卷版）

初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 專(zhuān)題15 “8字型”模型與“燕尾”模型（原卷版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部