貴州省貴陽(yáng)市第三實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．答題時(shí)使用0.5毫米黑色簽字筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.
3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.
4．保持答題卡面清潔，不折疊，不破損.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，由交集運(yùn)算即可求解.
【詳解】解：
所以
故選：A．
2. 設(shè)x∈R，則“”是“”的（）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】因?yàn)?，所以或，所以或?br>所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
3. 已知，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助輔助角公式與二倍角公式計(jì)算即可得.
【詳解】，即，
則.
故選：A.
4. 若向量，，則在上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出、，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，?br>所以在上的投影向量為.
故選：C
5. 已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，
不妨假設(shè)，則，可得，即，
可知函數(shù)在R上遞減，
則，解得：，
所以的取值范圍是.
故選：D.
6. 已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（）
A. 的最小值為B. 的最小值為8
C. 的最小值為D. 沒(méi)有最大值
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定A正確；利用基本不等式，可得判定B錯(cuò)誤；由，可判定C錯(cuò)誤，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到，得到，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A中，由正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，可得，且，
則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以A正確；
對(duì)于B中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以B不正確；
對(duì)于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由，
因?yàn)?，設(shè)，
可得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
則的最大值為，所以D不正確.
故選：A.
7. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)．若，則（）
A. 23B. 24C. 25D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)和關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，則得到其周期，再計(jì)算其一個(gè)周期內(nèi)的和，最后代入計(jì)算即可.
【詳解】為偶函數(shù)，則則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
為奇函數(shù)，則，
即，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則由其關(guān)于對(duì)稱(chēng)有，則，
則，作差有，
為周期函數(shù)，且周期為4，因?yàn)?，，則，
因?yàn)?，，則，
，則，
，，
故選：C.
8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列不正確的個(gè)數(shù)有（）
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
③函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
④函數(shù)在0,π上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象求出，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各命題．
【詳解】，
由圖象知函數(shù)的最小正周期為，因此，即，
，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，①正確；
由得，，②正確；
，因此把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象，③正確；
由題意，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
因此的范圍是或，④錯(cuò)．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，則（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則與的夾角為D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷各選項(xiàng)．
【詳解】選項(xiàng)A，，，即，所以，A正確；
選項(xiàng)B，，，，B錯(cuò)；
選項(xiàng)C，，，，C錯(cuò)；
選項(xiàng)D，，，，D正確．
故選：AD．
10. 在中，，，分別為，，的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）
A. 若，則為等腰三角形
B. 若為銳角三角形，則
C. 若，則為鈍角三角形
D 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正確；由銳角三角形，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定B正確；由，得到中一定有一個(gè)小于0成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)得到，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，由，可得，即，
因?yàn)?，可得或，即或?br>所以為等腰或直角三角形，所以A不正確；
對(duì)于B中，由為銳角三角形，可得，則，
因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，
所以B正確；
對(duì)于C中，因?yàn)椋桑?br>可得中一定有一個(gè)小于0成立，不妨設(shè)，可得，
所以為鈍角三角形，所以C正確；
對(duì)于D中，因，由正弦定理可得，
因?yàn)?，可得?br>所以，可得，
因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A. 只有4個(gè)極值點(diǎn)
B. 在上是增函數(shù)
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 實(shí)數(shù)a的最小值為1
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)A，借助圖形可確定極值個(gè)數(shù)為無(wú)窮個(gè)，故可判斷A選項(xiàng)；對(duì)B，對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，可判斷B選項(xiàng)；對(duì)C，確定為奇函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；對(duì)D，對(duì)兩個(gè)項(xiàng)分別分析，可得的無(wú)限接近值，從而可判斷D選項(xiàng).
詳解】根據(jù)題意知，所以
令，可得，做出圖像
交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為極值個(gè)數(shù)，
對(duì)A，設(shè)，，
當(dāng)，是單調(diào)遞減函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，
是周期函數(shù)值域是，
所以?x與有無(wú)數(shù)交點(diǎn)，故A 錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減，
，
所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，
由題意知當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，則，故C正確；
對(duì)D，，的最大值為1，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)比較大正整數(shù)時(shí)，，
且注意到在單調(diào)遞增，
所以x>0時(shí)，，且fx可以無(wú)限趨近于1，
若時(shí)，恒成立，則，所以D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于得到x>0時(shí)，，且fx可以無(wú)限趨近于1，由此即可順利得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線的斜率為，即可求解.
【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)?1,1，
因，所以，
當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
故答案為：.
13. 已知平面向量，，，正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，與的夾角為，且，則的最小值為_(kāi)________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)最值求解即得.
【詳解】由，得，而，與的夾角為，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)________________.
【答案】
【解析】
【分析】要先證明函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性，即，這樣原不等式就可以化為，再用求導(dǎo)來(lái)證明單調(diào)遞增，從而就可以解出結(jié)果.
【詳解】由已知得：，
所以，即
則不等式等價(jià)于，
再由，
可得在上單調(diào)遞增，所以，解得，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）求的圖象的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最值．
【答案】（1）對(duì)稱(chēng)中心為，對(duì)稱(chēng)軸方程為
（2）最小值為，最大值為2
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用整體法求解即可；
（2）利用整體代入法求最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，得函數(shù)
．
令，解得，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為．
令，，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值為；
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最大值為2．
16. 已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，．
（1）求及的面積；
（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進(jìn)而可求得的面積；
（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進(jìn)而可求得的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
由余弦定理得，
整理得，即，
因?yàn)椋獾茫?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
由正弦定理得：，
所以，
在三角形中，因?yàn)?，則，
所以.
17. 已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．
（1）證明：；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)一步即可證明；
（2）由題意首先求得的取值范圍，進(jìn)一步將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為只含有的式子即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br>所以，
所以，
而，則或，
即或（舍去），故．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，
所以的取值范圍是，
由正弦定理可得：，則，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，
因，所以，
所以的取值范圍是．
18. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若，，求a的取值范圍．
【答案】（1）極小值為，極大值為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得答案；
（2）求出，分、、討論，利用的單調(diào)性可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
則，
令，解得或．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
函數(shù)的極小值為，極大值為；
【小問(wèn)2詳解】
，
①若，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，不符合題意．
②若，令函數(shù)，則的圖象開(kāi)口向下，
且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，，
注意到且，，
不可能是函數(shù)的極大值．
，即．
當(dāng)，即時(shí)，
若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；
若，則，函數(shù)單調(diào)遞增．
，符合題意．
當(dāng)，即時(shí)，
若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；
若，則，函數(shù)單調(diào)遞增；
若，則，函數(shù)單調(diào)遞減；
又，故只需即可，解得，∴，
綜上，a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)和極值情況；（2）對(duì)于形式較復(fù)雜的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題可考慮采用主元變換法，將參數(shù)看成未知數(shù)，將看成參數(shù)求導(dǎo)分析.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②求證：．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）①②答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；
（2）①分類(lèi)討論，利用函數(shù)單調(diào)性討論零點(diǎn)問(wèn)題；
②構(gòu)造新函數(shù)討論與大小關(guān)系，利用在上單調(diào)性，證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得或，
當(dāng)，即時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
①時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上恒小于0，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
，當(dāng)且
此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).∴.
②證明：設(shè)，由①知，
∵為零點(diǎn)，∴，
∴，
∴，
令，
，
當(dāng)時(shí)，
∴在上單調(diào)遞減，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在上單調(diào)遞減，
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．

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