1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．
3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知集合，，則中的元素個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知平面向量，均為單位向量，且它們的夾角為，則（ ）
A．7B．3C．D．1
4．自1972年慕尼黑奧運會將射箭運動重新列入奧運會項目以來，這項運動逐漸受到越來越多年輕人的喜愛．已知甲、乙兩位射箭運動員射中10環(huán)的概率均為，且甲、乙兩人射箭的結(jié)果互不影響，若兩人各射箭一次，則甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．秦九韶（1208年～1268年），字道古，祖籍魯郡（今河南省范縣），出生于普州（今四川安岳縣）．南宋著名數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家.1247年秦九韶完成了著作《數(shù)書九章》，其中的大衍求一術(shù)（一次同余方程組問題的解法，也就是現(xiàn)在所稱的中國剩余定理）、三斜求積術(shù)和秦九韶算法（高次方程正根的數(shù)值求法）是有世界意義的重要貢獻．設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”公式為，若，，則由“三斜求積術(shù)”公式可得的面積為（ ）
A．B．C．D．1
6．中國古代建筑具有悠久的歷史傳統(tǒng)和光輝的成就，這些古建筑除了歷史背景方面的研究價值外，還有著幾何結(jié)構(gòu)的研究意義．例如古建筑屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)形式就分為：圓錐形、三角錐形、四角錐形、八角錐形等，已知某古建筑的屋頂可近似看作一個圓錐，其母線長，底面的半徑為，則該屋頂?shù)捏w積約為（ ）
A．B．C．D．
7．已知等比數(shù)列中所有項均為正數(shù)，，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知直線過雙曲線的左焦點，且與雙曲線的左支交于，兩點，并滿足，點與點關(guān)于原點對稱，若，則雙曲線的離心率（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
9．已知定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圓上的兩個動點，始終滿足，直線與軸交于點（，，三點不共線），則（ ）
A．直線與圓恒有交點B．
C．的面積的最大值為D．被圓截得的弦長最小值為
11．已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，的中點，點滿足，點為棱（包含端點）上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．平面截正方體得到的截面多邊形是矩形
B．二面角的大小為
C．存在，使得平面平面
D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
12．已知函數(shù)的圖象與直線有三個交點，記三個交點的橫坐標(biāo)分別為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．存在實數(shù)，使得
B．
C．
D．為定值
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．的二項展開式中，項的系數(shù)為 ．
14．“圓錐容球”是指圓錐形容器里放了一個球，且球與圓錐的側(cè)面及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）．已知某圓錐形容器的母線與底面所成的角為，底面半徑為2，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為 ．（容器壁的厚度忽略不計）
15．《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，已知“鱉臑”中，平面，，，，則“鱉臑”外接球體積的最小值為 ．
16．已知平面向量滿足：，，，設(shè)向量（為實數(shù)），則的取值范圍為 ．
四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；
(2)在中，角的對邊分別是，且滿足，求函數(shù)的取值范圍．
18．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且．
(1)求；
(2)記為數(shù)列的前項和，求．
19．某校高三年級嘟嘟老師準(zhǔn)備利用高中數(shù)學(xué)知識對甲、乙、丙三名學(xué)生在即將到來的全省適應(yīng)性考試成績進行預(yù)測，為此，他收集了三位同學(xué)近三個月的數(shù)學(xué)月考、周測成績（滿分150分），若考試成績超過100分則稱為“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙三名同學(xué)的考試成績相互獨立．
(1)分別估計甲、乙、丙三名同學(xué)“破百”的概率；
(2)設(shè)這甲、乙、丙三名同學(xué)在這次決賽上“破百”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
20．如圖，在三棱柱中，，，為的中點，平面平面．
(1)證明：平面；
(2)若，二面角的余弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
21．已知橢圓的左焦點為，上頂點為，離心率為，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，橢圓的左、右頂點分別為，，證明：直線與的交點在定直線上．
22．已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)是否存在正整數(shù)，使得恒成立？若存在，求出正整數(shù)的取值集合；若不存在，請說明理由．
1．C
【分析】先計算集合，然后運算即可.
【詳解】由題意得：，
所以，
故共5個元素，
故選：C．
2．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】因為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.
故選：D．
3．D
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，以及平面向量的運算法則，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】由平面向量均為單位向量，且它們的夾角為，
則，所以.
故選：D．
4．D
【分析】利用獨立事件的乘法公式及對立事件的概率公式即可求解.
【詳解】記“甲射中10環(huán)”為事件，“乙射中10環(huán)”為事件，，
甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為：
.
故選：D．
5．B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理和余弦定理，求得，，結(jié)合“三斜求積術(shù)”的公式，代入即可求解.
【詳解】因為，由正弦定理得，所以，
又因為，由余弦定理得，
可得，
所以.
故選：B．
6．A
【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計算即得.
【詳解】由該圓錐的底面半徑為，母線長為，得圓錐的高為，
所以該屋頂?shù)捏w積約為.
故選：A
7．A
【分析】
借助等比數(shù)列求出，利用找到，再利用基本不等式計算即可.
【詳解】
設(shè)的公比為，則，
因為，所以，解得或（舍去），
，
故，即，
因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
故的最小值等于.
故選:A．
8．C
【分析】設(shè)雙曲線的右焦點為，得到四邊形為矩形，設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義和為直角三角形，求得，在直角中，利用勾股定理，列出方程，即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，
因為，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
由雙曲線的定義得：，，
又因為為直角三角形，所以，
即，解得，所以，
又因為為直角三角形，，所以，
即，所以，即.
故選：C．
9．BD
【分析】利用函數(shù)的奇偶性及周期性,結(jié)合函數(shù)值的定義即可求解.
【詳解】已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，
即，解得，B正確；A錯誤；
因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，
又因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，
所以，
所以，即.
又因為，即，從而周期為8，
，，．
因為當(dāng)時，，
所以，
從而，，，
所以，D正確；C錯誤.
故選:BD．
10．ABD
【分析】由題意，可知，且在圓內(nèi)部，可判斷選項A、B；當(dāng)?shù)降木嚯x最大時，的面積的最大，可判定選項C；被截得的弦的長度的最小時，圓心到直線的距離最大，由弦長公式判定選項D.
【詳解】直線與軸交于點，
，且在圓內(nèi)部，所以與恒有公共點，A正確；
因為點在圓內(nèi)部，為鈍角，故，B正確；
因為，即為圓的直徑，
當(dāng)?shù)降木嚯x最大時，即為到圓心的距離為1，
，故C錯誤；
被截得的弦的長度的最小時，圓心到直線的距離最大，
且此距離為到圓心的距離為1，故弦長為，故D正確.
故選：ABD．
11．ACD
【分析】根據(jù)幾何體為正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用面面平行的性質(zhì)的定理及線面平行的判定定理，結(jié)合矩形的性質(zhì)即可可判斷A的正誤，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式與二面角的關(guān)系即可判斷B的正誤，利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可判斷C的正誤，最后利用直線的方向向量和平面的法向量計算線面角的正弦值后可判斷D的正誤.
【詳解】由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
設(shè)，其中，
對于A：連接，，，則，
由正方體的性質(zhì)可得點是側(cè)面的中心，點是正方體的中心，
所以連接并延長交側(cè)面于點，則
點是側(cè)面的中心，且．
設(shè)平面交于點，交于點，交于點，連接，，
因為平面平面，
所以，．
因為，平面，
所以平面，又平面，
所以，所以，
易知，所以，
所以平面截正方體得到的截面多邊形是矩形，故A正確；
對于B：，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，即，
取，則，，故．
設(shè)平面的法向量為，則
，即，
取，則，，故，
故，
而二面角為銳二面角，故其余弦值為，不為，
故二面角的平面角不是，故B錯誤．
對于C：因為點是正方體的中心，
所以，，三點共線，
所以平面即為平面，
因為，，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，即平面平面，
當(dāng)時，點與點重合，平面即為平面，
由此可知平面平面，即平面平面，故正確；
對于D： 因為平面，
故為平面的法向量，
而，
設(shè)直線與平面所成的角為．
故，
而，
，故D正確，
故選：ACD．
12．BCD
【分析】化簡方程，令，得，構(gòu)造，則，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于x的方程三個不相等的實數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根， ，結(jié)合韋達定理，推出所求表達式的關(guān)系式，然后對選項一一判斷即可得出答案．
【詳解】由方程，可得．
令，則有，即．
令函數(shù)，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，作出圖象如圖所示，
要使關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，且，
結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根，，
且，或，，
令，若，，
則故．
若，，則，無解，
綜上：，故C正確；
由圖結(jié)合單調(diào)性可知，故B正確；
若，則，又，故A不正確；，
故D正確，
故選：BCD．
關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)即可求解.
13．960
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.
【詳解】的二項展開式的通項公式為，
令，解得，
所以項的系數(shù)為．
故960
14．
【分析】根據(jù)相切的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理、球的表面積公式進行求解即可.
【詳解】作圓錐的軸截面圖，如圖，

由圖，母線與底面所成的角為，為等邊三角形，
又，所以，
所以在正中，，
設(shè)內(nèi)切球球心為，則在上，且，
在中，，所以，解得，
所以外接球表面積．
故答案為.
15．
【分析】利用割補法及長方體的體對角線為外接球的直徑，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及球的體積公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意三棱錐可以補成分別以，，為長、寬、高的長方體，如圖所示，
其中為長方體的對角線，則三棱錐的外接球球心即為的中點，
要使三棱錐的外接球的體積最小，則最?。?br>設(shè)，則，，，
所以當(dāng)時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．
故答案為.
16．
【分析】以為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，為線段上一點，則，得到點在以為圓心的圓上，所以，得到，根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，邊長為2的正方形的，所在直線為軸和軸，建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，為線段上一點，則，
因為，所以以為圓心，為半徑畫圓，點為圓上一點，
設(shè)，，，所以，
所以，，所以，所以，
可得直線表示斜率為，縱截距為的直線，
當(dāng)圓心為點時，與相切且點在軸的下方時，
可得圓的方程為，可得切線坐標(biāo)為，
此時，取得最小值；
當(dāng)圓心為點時，經(jīng)過圓心時，圓的方程為，
當(dāng)點時，此時，取得最大值，
所以的取值范圍為．
故．

17．(1)，對稱軸方程為：
(2)
【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，求得，再由，且，進而求得 的取值范圍.
【詳解】（1）解：由函數(shù)
，
因為，可得，故，
令，解得，
所以函數(shù)對稱軸方程為：．
（2）解：由，可得，
所以，
因為，可得，所以，
又因為，所以，
所以，且，可得，
所以，即，所以 的取值范圍為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列基本量運算，求解出首項和公差，表示出的通項公式，再轉(zhuǎn)化為即可；
（2）結(jié)合（1）問，表示出以及，利用裂項相消法計算.
【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，為該數(shù)列第、、項，并設(shè)公差為，
因為，且，所以，解得：，
所以即,
所以的通項公式為：，
即，所以．
（2）由（1）可得：，所以，
所以，即，
所以，
整理得：，
所以數(shù)列的前項和為．
19．(1)甲同學(xué)“破百”的概率為，乙同學(xué)“破百”的概率為，丙同學(xué)“破百”的概率為
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接計算得解；
（2）寫出的可能取值，計算對應(yīng)的概率，根據(jù)期望公式求解即可.
【詳解】（1）甲同學(xué)“破百”的概率為，
乙同學(xué)“破百”的概率為，
丙同學(xué)“破百”的概率為．
（2）的可能取值為0，1，2，3，則：
，
，
，
，
所以的分布列為
所以，期望．
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）連接與相交于點，連接，則側(cè)面是平行四邊形，據(jù)此即可證明；
（2）二面角的平面角為，作直線的垂線，垂足為，以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量即可求解.
【詳解】（1）
如圖，連接與相交于點，連接，

三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，
則為的中點，又為的中點，有，
平面，平面，所以平面；
（2）
平面平面，平面平面，
底面為正三角形，為的中點，則，
平面，則平面，
，平面，，，
則二面角的平面角為，
有余弦值為，中，
由余弦定理，
即，解得，
過作直線的垂線，垂足為，則，
故在的延長線上，，
，，，四邊形為矩形，
則，以為原點，，，分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則有，
令，則，，即，
，，
設(shè)平面的一個法向量為，則有，
令，則，，即，
平面與平面夾角的余弦值為．
21．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由橢圓幾何性質(zhì)可求的值；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，，消元，列出韋達定理，即可得到直線、的方程，設(shè)直線與的交點坐標(biāo)為，求出，即可得解.
【詳解】（1）依題意可得：．
又，，故，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）得，所以直線的方程為，
由可得，
設(shè)，，顯然，
所以，，
故．
由（1）可得，，則直線的方程為，
直線的方程為．
設(shè)直線與的交點坐標(biāo)為，
則，
故
，
解得，故直線與的交點在直線上．
方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達定理求解.
22．(1)
(2)存在；
【分析】（1）由題意得，求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值以及最值的關(guān)系即可得解.
（2）由題意將不等式等價轉(zhuǎn)換為，恒成立，對正整數(shù)從小大到分類討論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)，（舍）；當(dāng)，恒成立；當(dāng)，令， 所以（舍）；由此即可得解.
【詳解】（1）由題設(shè)，
則，
若，則，，可得，遞增；
若，則，，可得，遞減．
又，，，
綜上，的值域為．
（2）由，，則，
令，，則，
且，
當(dāng)，（舍）；
當(dāng)，則，故，
令，則
，
又，對于，有，即遞增，
所以，故恒成立，
所以，即在上遞增，
又，則，所以在上遞增，
又，即，，符合題意；
當(dāng)，令，則，，
所以（舍）；
綜上，正整數(shù)的取值集合為．
關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是分類討論，且為不等于2的正整數(shù)時，要找到使得，由此即可順利得解.
0
1
2
3

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