1．在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向星對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．下列四個條件中，使成立的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
3．在的二項展開式中，第3項的二項式系數(shù)是（ ）
A．8B．C．28D．
4．已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．3B．C．D．
5．已知直線與直線互相垂直，則為（ ）
A．B．或0C．D．或0
6．已知圓錐的母線長度為4，一個質(zhì)點從圓錐的底面圓周上一點出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面運動一周，再回到出發(fā)點的最短距離為，則此圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)．若有兩個極值點，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．在中，內(nèi)角所對邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．2
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，可以作為基底，則B．若，則
C．若，則D．若與的夾角為，則或9
10．已知冪函數(shù)，則（ ）
A．B．的定義域為R
C．為非奇非偶函數(shù)D．不等式的解集為
11．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的第2項小于1B．
C．為等比數(shù)列D．中存在大于100的數(shù)
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知雙曲線，其漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為 ．
13．已知，函數(shù)有最小值，則 ．
14．已知甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有2個紅球，4個白球，兩個袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致．現(xiàn)從兩袋中各隨機取出一個球，若2個球同色，則將取出的2個球全部放入甲袋中，若2個球不同色，則將取出的2個球全部放入乙袋中，每次取球互不影響，按上述方法重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰有4個小球的概率是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知拋物線，過拋物線上點且斜率為的直線與拋物線僅有一個交點．
(1)求拋物線的方程；
(2)求的值．
16．如圖，某市擬在長為16km的道路的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)的圖象，且圖象的最高點為；賽道的后一部分為折線段，為保證參賽運動員的安全，限定．

(1)求的值和兩點間的距離；
(2)若，求折線段賽道的長度．
17．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點滿足，點為棱上的動點（含端點）．
(1)當(dāng)與重合時，證明：平面平面；
(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
18．函數(shù)．
(1)求在點處的切線方程；
(2)若存在，使得成立，求的取值范圍．
19．為確保飲用水微生物安全性，某自來水廠計劃改進原有飲用水消毒方法．據(jù)已有數(shù)據(jù)記錄，原有消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率均為，現(xiàn)檢驗出一批未經(jīng)消毒的水中大腸桿菌含量為500個/升．
(1)經(jīng)原有消毒方法處理后，計算一升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率；（結(jié)果保留3位小數(shù)）
(2)在獨立重復(fù)實驗中，為事件在試驗中出現(xiàn)的概率，為試驗總次數(shù)，隨機變量為事件發(fā)生的次數(shù)．若較小，較大，而的大小適中，不妨記，則，經(jīng)計算，當(dāng)時，．若隨機變量的概率分布密度函數(shù)為，稱服從參數(shù)為的泊松分布，記作．（其中，為自然對數(shù)底數(shù)）
①若經(jīng)原有消毒方法處理后的一升水中含有的大腸桿菌個數(shù)服從泊松分布，計算一升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率（結(jié)果保留3位小數(shù)），并證明：；
②改進消毒方法后，從經(jīng)消毒后的水中隨機抽取50升樣本，化驗每升水中大腸桿菌的個數(shù)，結(jié)果如下：
若每升水中含有的大腸桿菌個數(shù)X仍服從泊松分布，要使出現(xiàn)上述情況的概率最大，則改進后的消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率為多少？
參考數(shù)據(jù)：
（Ⅰ）指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式為，
（Ⅱ），，，，，
答案
1．【正確答案】D
【詳解】因為，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故選：D．
2．【正確答案】D
【詳解】對于A，由，得，
反之，當(dāng)時，不能推出，
故是成立的充分不必要條件，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，不成立，故不是成立的充分條件，
反之，當(dāng)時，成立，故是成立的必要不充分條件，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，成立，但不成立，所以是成立的不充分條件，
反之，滿足成立，但不成立，所以是成立的不必要條件，
所以是的既不充分也不必要條件，故C錯誤；
對于D，由在上單調(diào)遞增，可得是的充要條件，故D正確.
故選：D．
3．【正確答案】C
【詳解】第3項的二項式系數(shù)為.
故選：C.
4．【正確答案】C
【詳解】由題意數(shù)列滿足，由，
得，，，，
由此可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.
故選：C
5．【正確答案】B
【詳解】因為直線與直線互相垂直，
所以 ，解得或.
故選：B
6．【正確答案】A
【詳解】設(shè)圓錐的頂點為，記點是底面圓周上的一點，作出圓錐側(cè)面展開圖如圖所示：

又因為質(zhì)點運動最短距離為，故，
又因為，所以，所以,
設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，解得，
所以，
所以圓錐的體積.
故選：A.
7．【正確答案】A
【詳解】函數(shù)的定義域為，
又，因為有兩個極值點為，
所以在上有兩個不同的零點，
此時方程在上有兩個不同的實根，
則，解得.
若不等式恒成立，則恒成立，
因為
，
則，設(shè)，，
則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
8．【正確答案】B
【詳解】由題可得，
，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
所以.
故選：B.
9．【正確答案】ACD
【詳解】對于A，若，可以作為基底，則與不共線，
當(dāng)與共線時，，，故，可以作為基底時，，故A正確；
對于B，，，
，解得或，故B錯誤；
對于C，若，則，，故C正確；
對于D，，，或，故D正確.
故選：ACD
10．【正確答案】AC
【詳解】A：由冪函數(shù)知，，解得，故A正確；
B，C：，則的定義域為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤，C正確；
D：由知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以由可得，解得，
即不等式的解集為，故D錯誤.
故選：AC
11．【正確答案】AD
【詳解】對于A，由題意，當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，解得，
，所以B錯誤；
對于C，假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，
則，，矛盾，故C錯誤；
對于D，因為，所以，
所以，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，
假設(shè)對任意的，，則，
取，則，矛盾，
所以中存在大于100的數(shù)，故D正確.
故選：AD.
12．【正確答案】
【詳解】因為，所以雙曲線的焦點在軸上，
又雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，
雙曲線的離心率為.
故答案為.
13．【正確答案】4
【詳解】，
令，則或（舍），
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】若兩次取球后，乙袋中恰有4個球，則兩次取球均為同色；
若第一次取球均取到紅球，其概率為，
第一次取球后甲袋中有4個紅球和2個白球，乙袋有1個紅球和4個白球，
第二次取到同色球概率為；
此時乙袋中恰有4個小球的概率是；
若第一次取球均取到白球，其概率為，
第一次取球后甲袋中有3個紅球和3個白球，乙袋有2個紅球和3個白球，
第二次取到同色球概率為；
此時乙袋中恰有4個小球的概率是；
所以乙袋中恰有4個小球的概率是.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）因為點在拋物線上，
所以，解得，
拋物線方程為．
（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立，得，
若，方程只有一解，滿足要求，
若，則需滿足，解得，
綜上：或.
16．【正確答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由題可得，
，
當(dāng)時，，即，
又，（千米）；
（2）在中，設(shè)，則，
，
，
，
，
（千米），
折線段賽道的長度為千米.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）如圖，取中點，連接，
因為側(cè)面為菱形，，
所以，
又因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因為為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面；

（2）連接，因為為等邊三角形，則，
所以兩兩垂直，則以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示：
令三棱柱的棱長為2，所以，
故，
，
又，所以，
設(shè)，，
則，
即；
又，
設(shè)平面的法向量為，
則則，取，則，
故平面的法向量可為，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
由題可得，即，
整理得：，解得，
故當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為．
18．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
所以，
則，又，
所以在處的切線方程為；
（2）因為，，
令，，則，
因為在上單調(diào)遞增，，，
所以，使得，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
，，
所以，使得，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
又，，所以，
所以，即的取值范圍為．
19．【正確答案】(1)一升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率約為0.786
(2)①；證明見解析；
②改進后的消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率為99.8%
【詳解】（1）由題意可得，每個大腸桿菌的存活率為，
設(shè)一升水中大腸桿菌個數(shù)為，則，，
故一升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率約為0.786；
（2）①因為，，
所以，，
，，
，
，
；
②因為…
則出現(xiàn)上述情況的概率為
，
令，取對數(shù)得，
令，則，
令，得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，
因為，所以，
則，
故改進后的消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率為99.8%.大腸桿菌數(shù)/升
0
1
2
3
4
5
升數(shù)
17
20
10
2
1
0

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