2024-2025學年貴州省貴陽市高三上學期第二次月考數(shù)學質量檢測試卷（附解析）-試卷下載-教習網

1．答題前，務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2．答題時使用0.5毫米黑色簽字筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.
4．保持答題卡面清潔，不折疊，不破損.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】化簡集合，由交集運算即可求解.
【詳解】解：
所以
故選：A．
2. 設x∈R，則“”是“”的（）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】先解不等式，然后根據充分、必要條件的知識求得正確答案.
【詳解】因為，所以或，所以或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
3. 已知，則的值為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】借助輔助角公式與二倍角公式計算即可得.
【詳解】，即，
則.
故選：A.
4. 若向量，，則在上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】首先求出、，再根據投影向量的定義計算可得.
【詳解】因為，，所以，，
所以在上的投影向量為.
故選：C
5. 已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結合分段函數(shù)單調性列式求解即可.
【詳解】因為函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，
不妨假設，則，可得，即，
可知函數(shù)在R上遞減，
則，解得：，
所以的取值范圍是.
故選：D.
6. 已知正實數(shù)滿足，則（）
A. 的最小值為B. 的最小值為8
C. 的最小值為D. 沒有最大值
【正確答案】A
【分析】根據題意，得到，結合二次函數(shù)的性質，可判定A正確；利用基本不等式，可得判定B錯誤；由，可判定C錯誤，利用對數(shù)的運算性質，得到，得到，設函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，由正實數(shù)滿足，可得，且，
則，當時，取得最小值為，所以A正確；
對于B中，由，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以B不正確；
對于C中，由，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，所以C錯誤；
對于D中，由，
因為，設，
可得，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減，
所以，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，
則的最大值為，所以D不正確.
故選：A.
7. 已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．若，則（）
A. 23B. 24C. 25D. 26
【正確答案】C
【分析】根據函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關于直線對稱和關于點對稱，則得到其周期，再計算其一個周期內的和，最后代入計算即可.
【詳解】為偶函數(shù)，則則關于對稱，
為奇函數(shù)，則，
即，則關于點對稱，
則由其關于對稱有，則，
則，作差有，
為周期函數(shù)，且周期為4，因為，，則，
因為，，則，
，則，
，，
故選：C.
8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列不正確的個數(shù)有（）
①函數(shù)的圖象關于點中心對稱
②函數(shù)的單調增區(qū)間為
③函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
④函數(shù)在0,π上有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【正確答案】B
【分析】根據圖象求出，然后結合正弦函數(shù)性質判斷各命題．
【詳解】，
由圖象知函數(shù)的最小正周期為，因此，即，
，因此函數(shù)的圖象關于點中心對稱，①正確；
由得，，②正確；
，因此把的圖象向左平移個單位長度得的圖象，③正確；
由題意，時，
當時，，在上有2個零點，則，解得，
當時，，在上有2個零點，則，解得，
因此的范圍是或，④錯．
故選：B．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，，則（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則與的夾角為D. 若，則
【正確答案】AD
【分析】根據向量的坐標運算求解判斷各選項．
【詳解】選項A，，，即，所以，A正確；
選項B，，，，B錯；
選項C，，，，C錯；
選項D，，，，D正確．
故選：AD．
10. 在中，，，分別為，，的對邊，下列敘述正確的是（）
A. 若，則為等腰三角形
B. 若為銳角三角形，則
C. 若，則為鈍角三角形
D 若，則
【正確答案】BCD
【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正確；由銳角三角形，得到，結合正弦函數(shù)的單調性，可判定B正確；由，得到中一定有一個小于0成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由，可得，即，
因為，可得或，即或，
所以為等腰或直角三角形，所以A不正確；
對于B中，由為銳角三角形，可得，則，
因為，可得，
又因為函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，所以，
所以B正確；
對于C中，因為，由，
可得中一定有一個小于0成立，不妨設，可得，
所以為鈍角三角形，所以C正確；
對于D中，因，由正弦定理可得，
因為，可得，
所以，可得，
因為，可得，所以，即，所以，所以D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，且當時，，則（）
A. 只有4個極值點
B. 在上是增函數(shù)
C. 當時，
D. 實數(shù)a的最小值為1
【正確答案】BCD
【分析】對A，借助圖形可確定極值個數(shù)為無窮個，故可判斷A選項；對B，對函數(shù)二次求導，從而確定函數(shù)的單調性，可判斷B選項；對C，確定為奇函數(shù)，根據性質可判斷C選項；對D，對兩個項分別分析，可得的無限接近值，從而可判斷D選項.
詳解】根據題意知，所以
令，可得，做出圖像
交點個數(shù)即為極值個數(shù)，
對A，設，，
當，是單調遞減函數(shù)，
且當時，
是周期函數(shù)值域是，
所以?x與有無數(shù)交點，故A 錯誤；
對B，當時，顯然單調遞減，
，
所以在上單調遞增，故B正確；
對C，因為，所以是奇函數(shù)，
由題意知當時，，
所以當時，，所以，則，故C正確；
對D，，的最大值為1，當時，，
當比較大正整數(shù)時，，
且注意到在單調遞增，
所以x>0時，，且fx可以無限趨近于1，
若時，恒成立，則，所以D正確.
故選：BCD
關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵在于得到x>0時，，且fx可以無限趨近于1，由此即可順利得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 曲線在點處的切線方程為______.
【正確答案】
【分析】對求導，得到，利用導數(shù)的幾何意義，得到切線的斜率為，即可求解.
【詳解】易知函數(shù)定義域為?1,1，
因，所以，
當時，，又當時，，
所以曲線在點處的切線方程為，
故答案為.
13. 已知平面向量，，，正實數(shù)，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為_________________.
【正確答案】
【分析】根據給定條件，利用數(shù)量積的運算律，結合二次函數(shù)最值求解即得.
【詳解】由，得，而，與的夾角為，
則
，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故
14. 已知函數(shù)，則不等式的解集為_________________.
【正確答案】
【分析】要先證明函數(shù)的中心對稱性，即，這樣原不等式就可以化為，再用求導來證明單調遞增，從而就可以解出結果.
【詳解】由已知得：，
所以，即
則不等式等價于，
再由，
可得在上單調遞增，所以，解得，
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）求的圖象的對稱中心和對稱軸；
（2）當時，求的最值．
【正確答案】（1）對稱中心為，對稱軸方程為
（2）最小值為，最大值為2
【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡，然后利用整體法求解即可；
（2）利用整體代入法求最值即可.
【小問1詳解】
由題意，得函數(shù)
．
令，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為．
令，，
所以函數(shù)的對稱軸方程為
【小問2詳解】
當時，，
所以，
當即時，函數(shù)取得最小值為；
當即時，函數(shù)取得最大值為2．
16. 已知分別為的三個內角的對邊，且，，．
（1）求及的面積；
（2）若為邊上一點，且，求的正弦值．
【正確答案】（1），
（2）
【分析】（1）利用余弦定理可得出關于的二次方程，可解出的值，進而可求得的面積；
（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進而可求得的正弦值.
【小問1詳解】
由余弦定理得，
整理得，即，
因為，解得，
所以.
【小問2詳解】
由正弦定理得：，
所以，
在三角形中，因為，則，
所以.
17. 已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．
（1）證明：；
（2）若，求的取值范圍．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡得，進一步即可證明；
（2）由題意首先求得的取值范圍，進一步將目標式子轉換為只含有的式子即可求解．
【小問1詳解】
因為，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，則或，
即或（舍去），故．
【小問2詳解】
因為是銳角三角形，所以，解得，
所以的取值范圍是，
由正弦定理可得：，則，
所以，所以，
因為，
所以，所以，
所以，
因，所以，
所以的取值范圍是．
18. 已知函數(shù)，其中．
（1）當時，求函數(shù)的極值；
（2）若，，求a的取值范圍．
【正確答案】（1）極小值為，極大值為
（2）
【分析】（1）利用導數(shù)判斷出單調性可得答案；
（2）求出，分、、討論，利用的單調性可得答案.
【小問1詳解】
當時，，
則，
令，解得或．
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減．
函數(shù)的極小值為，極大值為；
【小問2詳解】
，
①若，即時，，函數(shù)單調遞減，
，不符合題意．
②若，令函數(shù)，則的圖象開口向下，
且與x軸有兩個交點，令，則，，
注意到且，，
不可能是函數(shù)的極大值．
，即．
當，即時，
若，則，函數(shù)單調遞減；
若，則，函數(shù)單調遞增．
，符合題意．
當，即時，
若，則，函數(shù)單調遞減；
若，則，函數(shù)單調遞增；
若，則，函數(shù)單調遞減；
又，故只需即可，解得，∴，
綜上，a的取值范圍為．
方法點睛：（1）求函數(shù)的極值點個數(shù)時，可求導討論函數(shù)的單調性，再判斷極值點和極值情況；（2）對于形式較復雜的函數(shù)不等式恒成立問題可考慮采用主元變換法，將參數(shù)看成未知數(shù)，將看成參數(shù)求導分析.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）當函數(shù)僅有兩個零點時．
①求實數(shù)的取值范圍；
②求證：．
【正確答案】（1）答案見解析
（2）①②答案見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導，對參數(shù)分類討論，由導數(shù)與單調性的關系即可求解；
（2）①分類討論，利用函數(shù)單調性討論零點問題；
②構造新函數(shù)討論與大小關系，利用在上單調性，證明結論.
【小問1詳解】
定義域為，且，
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，令，得或，
當，即時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當，即時，恒成立，在上單調遞增；
當，即時，在和上單調遞增，在上單調遞減.
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.
【小問2詳解】
①時，只有一個零點；
當時，在上單調遞增，在上恒小于0，不存在兩個零點；
當時，時，，在上單調遞減，在上單調遞增，不存在兩個零點；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
，當且
此時函數(shù)有兩個零點.∴.
②證明：設，由①知，
∵為零點，∴，
∴，
∴，
令，
，
當時，
∴在上單調遞減，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在上單調遞減，
∴，
∴.
方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．

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