考點(diǎn)一 由一次函數(shù)圖象求三角形的面積 考點(diǎn)二 由面積求一次函數(shù)表達(dá)式
考點(diǎn)三 一次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)類面積問(wèn)題 考點(diǎn)四 一次函數(shù)中與面積有關(guān)的存在性問(wèn)題
典型例題

考點(diǎn)一 由一次函數(shù)圖象求三角形的面積
例題：（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）已知：如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．
(1)點(diǎn)A坐標(biāo)是______，點(diǎn)B的坐標(biāo)是______．
(2)求的面積．
【答案】(1)，
(2)16
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形面積公式求解；
（1）
解：當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
故答案為：，；
（2）
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形，求得一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是______，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是_____，與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是_____．
【答案】 (，0) (0，4) 1
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸相交的坐標(biāo)特點(diǎn)可直接進(jìn)行求解，然后再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：由題意得：
當(dāng)x=0時(shí)，則有y=4；當(dāng)y=0時(shí)，則有0=?8x+4，解得x=，
∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，
圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：S=××4=1；
故答案為：(，0)，(0，4)，1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·云南臨滄·八年級(jí)期末）直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是____________，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是____________，圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是____________．
【答案】 （-2，0） （0，2） 2
【分析】令y=0，計(jì)算出x的值，可得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，計(jì)算出y的值，可得與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積．
【詳解】解：∵當(dāng)y=0時(shí)，x+2=0，
解得：x=-2，
∴圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，0），
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），
圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是：×2×2=2，
故答案為：（-2，0）；（0，2）；2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．
3．（2022·陜西渭南·八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，是一次函數(shù)在x軸上方這部分上的一點(diǎn)，連接PO．
(1)求一次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積．
【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=x+3；
(2)△OPA的面積為3．
【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求出k的值；
（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)論．
（1）
解∶把A (-6，0)代入直線y=kx+3得，
-6k+3=0，解得，
答∶一次函數(shù)的解析式為y=x+3；
（2）
解：當(dāng)x=-4時(shí)， n=+3=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4，1)；
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6，0) ．
∴OA=6，
∴S△OPA====3．
答：△OPA的面積為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法一次函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·黑龍江大慶·七年級(jí)期末）如圖，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（-3，-2）．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)△ABC的面積為8．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式，解一元一次方程求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）結(jié)合圖形、根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
（1）
解：設(shè)直線a的函數(shù)表達(dá)式為+y=kx+b，
把點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（-3，-2）代入得：
，
解得：，
∴直線a的函數(shù)表達(dá)式為：y=2x+4；
（2）
解：設(shè)直線a與y軸交于C，
令x=0，則y=4，
∴C（0，4），
∴S△ABO=S△AOC+S△BOC=×4×1+×4×3=8，
∴△ABC的面積為8．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的求法，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·安徽安慶·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，﹣4)，直角頂點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1，0)，一次函數(shù)y＝kx+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C交x軸于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求直線AC與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明即可求解；
（2）待定系數(shù)法求得直線的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
（1）
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
設(shè)過(guò)的直線解析式為，
，
解得，
∴直線的解析式為：，
令，則，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，求直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·陜西西安·八年級(jí)期中）已知，直線：與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線：且與軸交于C點(diǎn)．
(1)求直線的解析式；
(2)證明：直線和直線相交于一點(diǎn)；
(3)求的面積
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)28
【分析】(1)根據(jù)平移的上加下減規(guī)律，確定解析式即可．
(2) 先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A的坐標(biāo)代入的解析式．滿足函數(shù)的解析式，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A即得證二線相交．
(3) 根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）因?yàn)橹本€的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線：，
所以的解析式．
（2）因?yàn)橹本€：與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
所以點(diǎn)，
因?yàn)榈慕馕鍪剑?br>所以當(dāng)時(shí)，
，
所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
因?yàn)橐步?jīng)過(guò)點(diǎn)A．
所以直線和直線相交于一點(diǎn)．
（3）因?yàn)橹本€：與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
所以點(diǎn)，
因?yàn)榈慕馕鍪剑?br>所以點(diǎn)．
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)的相交，坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)的距離，熟練掌握上加下減平移規(guī)律，弄清交點(diǎn)與一次函數(shù)解析式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·新疆直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）在直角坐標(biāo)系中，一條直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．
(1)求直線的解析式；
(2)求直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)求直線和坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．
【答案】(1)直線解析式為y=2x-4；
(2)（2，0），（0，-4）；
(3)4
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式；
（2）根據(jù)解析式求出直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形面積公式求解．
（1）
解：設(shè)直線解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（1，-2），與B（3，2）兩點(diǎn)代入得，
解得，
∴直線解析式為y=2x-4；
（2）
解：將x=0代入y=2x-4，得y=-4，
∴與y軸交于點(diǎn)（0，-4），
將y=0代入y=2x-4，得x=2，
∴與x軸交于點(diǎn)（2，0）；
（3）
解：直線AB和坐標(biāo)軸圍成三角形的面積S=×2×4=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，再把兩組對(duì)應(yīng)值代入得到k、b的方程組，然后解方程組得到一次函數(shù)解析式．
8．（2022·廣東·八年級(jí)單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)直線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)求的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)24
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線的解析式；
（2）計(jì)算函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，利用進(jìn)行計(jì)算.
（1）
解：設(shè)直線的解析式為：，
把，分別代入得：，
解得，
直線的解析式為：；
（2）
當(dāng)時(shí)，，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）
．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和求三角形的面積，掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 由面積求一次函數(shù)表達(dá)式
例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2），且與y軸交于點(diǎn)B，若△AOB的面積為1，則直線l的解析式為_(kāi)_________．
【答案】或
【分析】過(guò)A作AD⊥y軸于D，求出AD，根據(jù)三角形的面積公式求出OB，得出B的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式得出方程組，求出即可（注意有兩個(gè)解）．
【詳解】解：如圖，過(guò)A作AD⊥y軸于D，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∴AD＝2，
∵△AOB的面積為1，
∴OB×AD＝1，
∴OB×2＝1，
OB＝1，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）或（0，﹣1），
①當(dāng)B（0，1）時(shí)，把A、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝1，
②當(dāng)B（0，﹣1）時(shí)，把A、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b得：
解得：k＝，b＝-1．
∴直線l的解析式為y＝x+1或y＝x﹣1
故答案為y＝x+1或y＝x﹣1．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能求出符合條件的所有情況．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）把8個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖所示擺放在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l將這8個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過(guò)A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標(biāo)即可得到該直線l的解析式．
【詳解】解：如圖，設(shè)直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過(guò)A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，
∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，
∴，
而OB＝3，
∴AB?3＝5，
AB＝，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），
設(shè)直線方程為y＝kx，
則3＝k，
∴k＝，
∴直線l解析式為y＝x．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了面積相等問(wèn)題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，此題難度較大，解題的關(guān)鍵是作AB⊥y軸，作AC⊥x軸，根據(jù)題意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面積公式求出AB的長(zhǎng)．
2．（2022·河南·清豐鞏營(yíng)鄉(xiāng)二中八年級(jí)期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，與軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 若△AOB的面積為6，則該一次函數(shù)的解析式為_(kāi)____________ ．
【答案】或
【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸時(shí)，然后利用待定系數(shù)法進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：點(diǎn)，
，
的面積為6，
，
，
，
或，
將，代入得：
，解得：，
一次函數(shù)的解析式為：，
將，代入得：
，解得：，
一次函數(shù)的解析式為：，
綜上所述：一次函數(shù)的解析式為：或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河北·石家莊市第二十二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，的面積為12.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)B，求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式．
【答案】
【分析】對(duì)于一次函數(shù)，分別令與為0求出與的值，確定出與坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積求出的長(zhǎng)，確定出坐標(biāo)，將與坐標(biāo)代入求出與的值，即可確定出一次函數(shù)解析式．
【詳解】解：對(duì)于一次函數(shù)，
令，得，點(diǎn)坐標(biāo)為
令，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，即，
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或，
點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，
，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
將與坐標(biāo)代入得：，
解得：，
這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
4．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）如圖，過(guò)點(diǎn)A（1，0）的兩條直線，分別交y軸于點(diǎn)B，C，其中點(diǎn)B在原點(diǎn)上方，點(diǎn)C在原點(diǎn)下方，已知．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)若△ABC的面積是3，求直線的解析式．
【答案】(1)（0，3）
(2)y=3x－3
【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求得線段BO的長(zhǎng)，再寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)△ABC的面積為3，求得線段CO的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線l2的解析式．
（1）
解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，0)，
∴AO= 1，
又∵AB= ，
∴BO==3，
∵點(diǎn)B在原點(diǎn)上方，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3)；
（2）
解：∵△ABC的面積為3，
∴ =3，
∴×1 =3，即BC=6，
∵BO=3，
∴CO=3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，－3），
設(shè)l2的解析式為y= kx + b(k≠0)，
則，
解得，
∴直線l2的解析式為y=3x－3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理求點(diǎn)的坐標(biāo)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)及待定系數(shù)法．
5．（2022·福建省福州格致中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，0），直線與x軸，y軸分別交于A（10，0），B（0，10）兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）是第一象限直線上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求直線的解析式；
(2)設(shè)△POQ的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
(3)當(dāng)△POQ的面積等于20時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)C，使∠CPO＝22.5°，若存在，請(qǐng)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)y= -x+10
(2)S= -4x+40(0＜x＜10)
(3)存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）
【分析】(1)設(shè)直線的解析式為y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）兩點(diǎn)代入解方程組即可．
（2）根據(jù)題意點(diǎn)P(x，y)可變形為P(x，-x+10)，根據(jù)S=計(jì)算即可．
（3）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D，作PC平分∠DPO，交y軸于點(diǎn)C，作過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OP，垂足為E，利用勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
(1)
設(shè)直線的解析式為y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）兩點(diǎn)代入，得
，
解得，
∴直線的解析式為．
(2)
∵點(diǎn)P是直線的點(diǎn)，
∴P（x，），
∴S===-4x+40(0＜x＜10) ．
(3)
∵ S=-4x+40=20，
解得x=5，y=5，
故點(diǎn)P（5，5），
∴過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D，
則PD=DO=5，∠DPO=∠DOP=45°，PO=．
作PC平分∠DPO，交y軸于點(diǎn)C，
則∠CPO=22.5°，
∴過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OP，垂足為E，
則DC=CE，由PC=PC，得△PDC≌△PEC，
∴PD=PE=5，
∵∠DOP=45°，CE⊥OP，
∴CE=OE=PO-PE=，
∴CO=,
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)三 一次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)類面積問(wèn)題
例題：（2022·安徽·淮北一中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始按的方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，三角形的面積為．（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，）
(1)寫出與之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在圖2中畫(huà)出此函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)圖象，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間三角形的面積為4？
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)由圖象知點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或8秒，的面積為4．
【分析】（1）分點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在DC上三種情況，根據(jù)三角形面積公式表示即可；
（2） 先列表，再畫(huà)出三段圖象即可；
（3）代入關(guān)系式計(jì)算即可．
（1）
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上．
；
當(dāng)肘，點(diǎn)在上，
；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上．
．
所以與之時(shí)的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）
列表：
描點(diǎn)、連線得到如圖所示的函數(shù)圖象
（3）
當(dāng)S=4時(shí)，2t=4，
解得t=2；
-2t+20=4，
解得t=8．
所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或8秒，的面積為4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)分段函數(shù)圖像等，分情況討論是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B與點(diǎn)A，，點(diǎn)C是直線AB上的一點(diǎn)，且位于第二象限，當(dāng)△OBC的面積為3時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，由題意易得，然后根據(jù)△OBC的面積可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而問(wèn)題可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖所示：
∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B與點(diǎn)A，
∴令時(shí)，則有y=-3，即OA=3，
∵，
∴，即，代入直線解析式得：，解得：；
∴直線AB的解析式為，
∵△OBC的面積為3，
∴，
∴，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6，
∴，解得：，
∴；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，熟練掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·河南·三門峽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)．
(1)求和的值；
(2)直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
①若點(diǎn)在線段上，且的面積為10，求的值；
②是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使為等腰三角形，的值為或或4
【分析】（1）將點(diǎn)代入，求出m的值，再將確定的點(diǎn)C代入中，即可求b的值；
（2）①由題意可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，再由，求出t的值即可；
②由①分別求出，再根據(jù)等腰三角形的邊的關(guān)系分三種情況建立方程，求出t的值即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，
∴，
∵直線過(guò)點(diǎn)C，
∴，
解得；
（2）解：①∵，
∴直線解析式為，
∴，
直線與x軸交點(diǎn)A為，與y軸交點(diǎn)B，
由題意可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使為等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得或；
當(dāng)時(shí)，，
解得（舍或（舍；
當(dāng)時(shí)，，
解得；
綜上所述：的值為或或4．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河北·原競(jìng)秀學(xué)校七年級(jí)期中）已知：如圖1，線段AB＝14cm，的頂點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A-O-B運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨著點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程的變化，發(fā)生了變化．圖2表示這種變化規(guī)律．
(1)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5cm時(shí)，的面積為_(kāi)_____；當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為_(kāi)_____cm時(shí)，的面積最大為_(kāi)_____；
(2)求圖1中線段AO、OB的長(zhǎng)，以及O到AB的距離；
(3)直接寫出a的值為_(kāi)_____．
【答案】(1)28，15，84
(2)OA=15cm，OB=13cm，點(diǎn)O到AB的距離為12cm
(3)21.5
【分析】（1）根據(jù)圖2所示即可得出．
（2）根據(jù)三角形面積公式求解即可．
（3）求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而即可求解．
（1）
當(dāng)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5cm時(shí)，根據(jù)圖2可得△PAB的面積為28 ，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為15cm時(shí)，△PAB的面積最大為84；
故答案為：28，15，84；
（2）
由題意得，AO＝15cm，OB＝28-15=13cm，
設(shè)O到AB的距離為h，則，解得h＝12，
∴O到AB的距離為12cm；
（3）
解：設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b，
把（15，84），（28，0）代入一次函數(shù)函數(shù)可得，

解得
∴
當(dāng)y=42時(shí)，解得：a=21.5
【點(diǎn)睛】此題考查了動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖像，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把圖看懂，得出需要的信息，求出一次函數(shù)解析式．
4．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）將直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形（也稱為直線的坐標(biāo)三角形）．如圖，一次函數(shù)y=kx-7的圖像與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，那么為此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形（也稱為直線AB的坐標(biāo)三角形）．
(1)如果點(diǎn)C在x軸上，將沿著直線AB翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)上，求直線BC的坐標(biāo)三角形的面積；
(2)如果一次函數(shù)y=kx-7的坐標(biāo)三角形的周長(zhǎng)是21，求k值；
(3)在（1）（2）條件下，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)是，直線AB上有一點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，求此時(shí)△PBC的面積．
【答案】(1)84；
(2)；
(3)112．
【分析】（1）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，繼而可得OB，由翻折性質(zhì)可得：BC=BD=25，根據(jù)勾股定理可得OC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）設(shè)OA=x，AB=14?x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)A坐標(biāo)，將點(diǎn)A（，0）代入y=kx?7可得k的值；
（3）連接CE交AB于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)P、C、E在一條直線上時(shí)，△DPE的周長(zhǎng)最小，將直線AB和直線CE的解析式聯(lián)立可得點(diǎn)P，繼而利用分割法求出的面積．
（1）
∵將代入，得：，
∴點(diǎn)B（0，-7），
∴，
又∵點(diǎn)D（0，18），即，
∴，
由翻折的性質(zhì)可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直線BC的坐標(biāo)三角形的面積為：；
（2）
設(shè)，，
∵在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴點(diǎn)A（，0），
∵將點(diǎn)A（，0）代入，得：，
∴；
（3）
如圖，連接CE交AB于點(diǎn)P，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AB對(duì)稱，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)P、C、E在一條直線上時(shí)，有最小值，
又∵DE的長(zhǎng)度不變，
∴當(dāng)點(diǎn)P、C、E在一條直線上時(shí)，△DPE的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線CE的解析式，
將點(diǎn)C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直線CE的解析式，
聯(lián)立，解得：，
∴點(diǎn)P（-9，5），
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到翻折的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求解析式、方程組與交點(diǎn)坐標(biāo)、軸對(duì)稱路徑最短等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求得各直線解析式，明確當(dāng)點(diǎn)P、C、E在一條直線上時(shí)，△DPE的周長(zhǎng)最?。?br>考點(diǎn)四 一次函數(shù)中與面積有關(guān)的存在性問(wèn)題
例題：（2021·重慶八中八年級(jí)期中）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，直線軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直線CD的解析式；
（2）直線AB上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用AO＝2OD求出D點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合E點(diǎn)坐標(biāo)求出解析式即可；
（2）設(shè)Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
【詳解】解：（1），
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
設(shè)直線CD的解析式為
將E(－2，2)，D（0，-2）代入得：
∴
∴直線CD的解析式為
（2）直線CD的解析式為
令，解得，則
設(shè)Q（m，m+4），
過(guò)作軸交于點(diǎn)，則
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合題的知識(shí)，此題涉及到求一次函數(shù)解析式、兩直線交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積等知識(shí)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·新疆喀什·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)求一次函數(shù)的表達(dá)式；
(3)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且的面積為3，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)點(diǎn)C坐標(biāo)為
(2)
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求解；
（2）根據(jù)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且的面積為3，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵點(diǎn)在的圖象上，
∴把代入得，，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為．
（2）
解：∵一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，
∴
解得：
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：．
（3）
解：由，令，得，
則，
點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且的面積為3，
設(shè)，則，
解得或，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求△AOC的面積；
(3)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=-2x+6
(2)3
(3)（5，2）或（5，8）
【分析】（1）先求點(diǎn)A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
（2）求點(diǎn)C坐標(biāo)，以O(shè)C為底，點(diǎn)A到x軸距離為高計(jì)算．
（3）觀察面積相等兩個(gè)三角形，有公共邊OA，故可看作是以O(shè)A為底，高相等．所以點(diǎn)P在與OA平行的直線上，且到直線OA距離等于點(diǎn)C到OA距離．其中一條即為過(guò)點(diǎn)C的直線，根據(jù)平移，另一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)C關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)．求出直線后，把x=5代入即求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
（1）
∵點(diǎn)A（2，a）在直線l2：y=x上，
∴a=2，即A（2，2），
∵直線l1：y=kx+b過(guò)點(diǎn)A（2，2）、點(diǎn)B（0，6），
∴
解得：，
∴直線直線l1的函數(shù)表達(dá)式為：y=-2x+6；
（2）
令y=-2x+6=0，解得：x=3，
∴點(diǎn)C（3，0）即OC=3，
∴S△AOC=OC?yA=×3×2＝3，
（3）
∵S△AOP=S△AOC，
∴當(dāng)以AO為底邊時(shí)，兩三角形等高，
∴過(guò)點(diǎn)P且與直線AO平行的直線l3為：y=x+d，
①直線l3過(guò)點(diǎn)C（3，0），得l3為：y=x-3，
當(dāng)x=5時(shí)，m=5-3=2，
∴點(diǎn)P（5，2），
②點(diǎn)C（3，0）關(guān)于點(diǎn)A（2，2）的對(duì)稱點(diǎn)為（1，4），
直線l3過(guò)點(diǎn)（1，4），得l3為：y=x+3，
當(dāng)x=5時(shí)，m=5+3=8，
∴點(diǎn)P（5，8）
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，2）或（5，8）
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積，考查了分類討論思想．三角形面積相等底相等即高相等是解題關(guān)鍵．
3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，將直線向右平移6個(gè)單位得到直線，分別交x軸、y軸交于點(diǎn)C、D，連接、．
(1)分別求直線、的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)在直線上是否存在點(diǎn)E，使得？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)C(2，0)，D(0，-3)
(3)E(-4，-9)，或E(4，3)
【分析】（1）設(shè)l1的解析式為y=kx+b，把A(-4,0)，B(0,6)代入，解得，，b=6，得到，根據(jù)平移知，l1∥l2，設(shè)l2的解析式是，根據(jù)點(diǎn)A(-4,0)向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C(2,0)，得到，c=-3，得到；
（2）根據(jù)（1）小問(wèn)知，C(2,0)，在中，x=0時(shí)，y=-3，得到D(0,-3)；
（3）設(shè)，根據(jù)C(2,0)，D(0,-3)，得到，，根據(jù)l1∥l2，得到，根據(jù)，得到，得到x=-4，或x=4，求得，或，得到E(-4,-9)，或E(4,3)．
（1）
設(shè)l1的解析式為y=kx+b，
把A(-4，0)，B(0，6)代入，得，
，解得，，
∴
由平移知，l1∥l2，
設(shè)l2的解析式是，
∵點(diǎn)A(-4，0)向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C(2，0)，
∴，c=-3，
∴；
（2）
由（1）知，C(2，0)，
中，x=0時(shí)，y=-3，
∴D(0，-3)；
（3）
存在E(-4，-9)，或E(4，3)，理由：
設(shè)，
∵C(2，0)，D(0，-3)，
∴，，
∴
∵l1∥l2，
∴，
∵，
設(shè)l1、l2之間的距離為h，
∴，
∴，
∴x=-4，或x=4，
∴，或，
∴E(-4，-9)，或E(4，3)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，平移，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線平移的性質(zhì)，點(diǎn)平移的坐標(biāo)性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與三角形面積的關(guān)系．
4．（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)期末）如圖1，直線l1與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0）、與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3）．
(1)直線l1的表達(dá)式為 ；
(2)若直線l1上有一點(diǎn)M（﹣2，﹣2），y軸上有一點(diǎn)N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(3)如圖2，直線l2：與直線l1交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（0，3），直線l2上是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)y＝﹣x﹣3
(2)N（0，﹣）
(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）
【分析】（1）由待定系數(shù)法求出答案即可；
（2）在x軸上取點(diǎn)C（6，0），連接MC交y軸于點(diǎn)N，求出直線CM的解析式為y1＝x﹣，則可得出答案；
（3）聯(lián)立l1，l2的關(guān)系式成二元一次方程組，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出CD的表達(dá)式，求出與x軸的交點(diǎn)，計(jì)算出△ACD的面積，求得△CBD的面積，進(jìn)而求得G點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入l2即可．
（1）
由題意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
設(shè)直線l1的表達(dá)式為：y＝kx+b，將A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
（2）
在x軸上取點(diǎn)C（6，0），連接MC交y軸于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴AN=CN，
∴當(dāng)AM+MN最小時(shí)為MC，△AMN的周長(zhǎng)最小，
∵M(jìn)（﹣2，﹣2），
設(shè)直線CM的表達(dá)式為：y1＝k1x+b1，將M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直線CM的解析式為y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）
如圖2，
由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
設(shè)直線CD的表達(dá)式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE?DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
設(shè)G（x，x），
∴OD?|x+3|＝6，
即×3?|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的面積，兩點(diǎn)間距離等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求解析式．
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