目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30003" 【典型例題】 PAGEREF _Tc30003 \h 1
\l "_Tc10619" 【解題模型一 四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 PAGEREF _Tc10619 \h 1
\l "_Tc1545" 【解題模型二 一線三等角模型】 PAGEREF _Tc1545 \h 8
\l "_Tc13214" 【解題模型三 三垂直模型】 PAGEREF _Tc13214 \h 15
\l "_Tc4814" 【解題模型四 倍長(zhǎng)中線模型】 PAGEREF _Tc4814 \h 23
\l "_Tc26725" 【解題模型五 旋轉(zhuǎn)模型】 PAGEREF _Tc26725 \h 30
【典型例題】
【解題模型一 四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】
例題：（2023春·廣東梅州·八年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知如圖，四邊形中，，，求證：．

【答案】見解析
【分析】連接，已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，加之一個(gè)公共邊，則可利用判定，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得．
【詳解】證明：連接，
，，，
．
．

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用，常用的判定方法有，，，等．
【變式訓(xùn)練】
1.如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．
(1)若，，求四邊形AECF的面積；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析
【解析】
【分析】
（1）連接AC，證明△ACE ≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：連接AC，如圖，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
證明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·山西太原·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖1，四邊形中，平分，和都是直角．

(1)試說明：．
(2)若將原題中的已知條件“和都是直角”改為“和互為補(bǔ)角”，其余條件不變，如圖2，猜想：邊和鄰邊的長(zhǎng)度是否一定相等？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)邊和鄰邊的長(zhǎng)度一定相等，理由見解析
【分析】（1）連接，由平分得到，由和都是直角得到，根據(jù)即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，則，再證明，即可得到．
【詳解】（1）解：連接，

∵平分，
∴，
∵和都是直角，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：邊和鄰邊的長(zhǎng)度一定相等，理由如下：
過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

則，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
又∵，，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵
3．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．
(1)試說明：DE=DF：
(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．
(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？
【答案】(1)見解析；
(2)CE+BG=EG，理由見解析；
(3)當(dāng)∠EDG=90°-α?xí)r，（2）中結(jié)論仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．
（2）猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．
（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．
(1)
證明：，，，
，
又，
，
在和中，
，
．
(2)
解：如圖，連接，
猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．
證明：在和中，
，
，
，
又，
，，
由（1），可得，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
又，，
；
(3)
解：要使仍然成立，
則，
即，
當(dāng)時(shí)，仍然成立．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
【解題模型二 一線三等角模型】
例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．
【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．
【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6
【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；
應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：，進(jìn)而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．
【詳解】探究
證明：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
應(yīng)用
解：∵，
∴，
∴，
∵，的面積為9，
∴，
∴與的面積之和為6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，射線在的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；
（2）類比探究：如圖 2，，且． （1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由；
（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)D、F在線段上，．若 的面積為，，求與的面積之比．

【答案】（1）證明見詳解；（2）成立，證明見詳解；（3）
【分析】（1）根據(jù)即可得到，，從而得到，即可得到證明；
（2）根據(jù)得到，即可得到，即可得到證明；
（3）根據(jù) 的面積為，，即可得到，，結(jié)合可得，，根據(jù)，得到，即可得到，即可得到答案；
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，，
∴，
在與中，
∵，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
∵，
∴，，
∴，
在與中，
∵，
∴；
（3）解：∵ 的面積為，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在與中，
∵，
∴
∴，
∴；
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)及同高不同底三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)外角關(guān)系得到三角形全等的條件．
2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校考期中）如圖，是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線，，E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．

(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上．
①如圖1，若，，試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
②如圖2，若，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與關(guān)系的條件______，使①中的結(jié)論仍然成立；
(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于，，三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并說明理由．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由，，可得，從而可證，故；
②添加，可證明，則，根據(jù)可證明，即可得證①中的結(jié)論仍然成立；
（2）題干已知條件可證，故，，從而可證明．
【詳解】（1）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②添加，使①中的結(jié)論仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案為：；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3．在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析
(3)△FBD與△ACE的面積之和為4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案為：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，
∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD與△ACE的面積之和為4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
【解題模型三 三垂直模型】
例題：?jiǎn)栴}1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．
問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出來，不需要說明理由．
問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由．
【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．
【詳解】解：（1）AD＝EC；
證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已證△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：，，，，垂足分別為D，E．

(1)如圖1，把下面的解答過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是：；
②請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
解：①結(jié)論：．
理由：∵，，
∴，
∴，，
∴（ ）
在ACD和CBE中，，
∴，（ ）
∴．
②結(jié)論：．
理由：∵，
∴，
∵，
∴．
(2)如圖2，上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)①；同角的余角相等；，，；；②
(2)不成立，，見解析
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，全等三形的判定方法角角邊分析處理；
（2）根據(jù)同角的余角相等，全等三形的判定方法角角邊分析處理，注意觀察圖形，得出線段間的數(shù)量關(guān)系；
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，，
∴（ 同角的余角相等 ）
在ACD和CBE中，，，，
∴，（ ）
∴．
②結(jié)論：．
理由：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）不成立，結(jié)論：．

理由：∵，，
∴，
∴，，
∴
在和中，，
∴，（）
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠由圖形的位置關(guān)系得出線段之間、角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，度；
(2)求證：DE=CD+BE；
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)90°
(2)見解析
(3)CD= BE+ DE，證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案為：90°．
(2)
證明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由圖可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由圖可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．
3．如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，．
（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：；
（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系：____________．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；
（2）結(jié)論：DE=AD-BE．與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．
（3）結(jié)論：DE=BE-AD．證明方法類似．
【詳解】解：（1）證明：如圖1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如圖3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證明△ACD≌△CBE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．
【解題模型四 倍長(zhǎng)中線模型】
例題：（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．
【答案】
【分析】延長(zhǎng)到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，
∵為中點(diǎn)，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
【變式訓(xùn)練】
1．如圖，在中， 是邊上的中線．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．
(1)求證：；
(2)與的數(shù)量關(guān)系是：____________，位置關(guān)系是：____________；
(3)若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)見解析
(2)，
(3)，證明見解析
【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理，即可證得；
(2)由，可得，，據(jù)此即可解答；
(3)根據(jù)三角形全等的判定定理，可證得，據(jù)此即可解答．
【詳解】（1）證明：是BC邊上的中線，
，
在與中
，
；
（2）解：，
，，
，
故答案為：，；
（3）解：
證明：，
，，
，
在和中，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
2．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：
(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD的中點(diǎn)P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列問題．
①請(qǐng)?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；
②求證：AC＝2OP．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②見解析
【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；
（2）①延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BE=OD；
②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①證明：延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，
∵P為BD的中點(diǎn)，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②證明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BEOD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．閱讀理解
在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．
如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；
類比應(yīng)用
如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由；
拓展創(chuàng)新
如圖3，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．
【答案】閱讀理解：
類比應(yīng)用：
拓展創(chuàng)新：
【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出，再根據(jù)，可得結(jié)論．
類比應(yīng)用：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，先證得，再由是的平分線知，從而得，據(jù)此知，結(jié)合可得答案．
拓展創(chuàng)新：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結(jié)論．
【詳解】閱讀理解：由題可知，，
∴．
∵，．
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
類比應(yīng)用：．理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
拓展創(chuàng)新：如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過作輔助線，倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【解題模型五 旋轉(zhuǎn)模型】
例題：如圖，，，．
（1）求證：；
（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；
（3）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；
（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進(jìn)而可知∠CFA
【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：
將直線CE與AB的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴兩個(gè)三角形面積相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
【變式訓(xùn)練】
1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點(diǎn)D在邊AC上，且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點(diǎn)F是ED與AB的交點(diǎn)．
（1）求證：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌△CBD（SAS），進(jìn)而得證；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．
2．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點(diǎn)，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．
拓展探究：如圖2，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點(diǎn)，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
【答案】問題發(fā)現(xiàn)：，；拓展探究：成立，理由見解析
【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；
拓展探究：用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．
【詳解】解：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)BD，交AE于點(diǎn)F，如圖所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案為：，；
拓展探究：成立．
理由如下：設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2023春·貴州貴陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AE．
（1）求證：△ABC≌△ABE；
（2）連接AD，求AD的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在△ABC與△ABE中，，
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：連接AD，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝AE＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為 ；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）猜想論證
當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2
【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；
（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）首先求出BE的長(zhǎng)度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．
【詳解】解：（1）如圖1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S△AED?AD?EB12×12＝72．
如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S△AED?AD?EB2×2＝2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．

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