TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12623" 【題型1 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc12623 \h 1
\l "_Tc27429" 【題型2 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長度】 PAGEREF _Tc27429 \h 2
\l "_Tc8229" 【題型3 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc8229 \h 3
\l "_Tc17618" 【題型4 利用圓內(nèi)接四邊形判的性質(zhì)斷結(jié)論的正誤】 PAGEREF _Tc17618 \h 4
\l "_Tc2612" 【題型5 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行證明】 PAGEREF _Tc2612 \h 5
\l "_Tc25729" 【題型6 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)探究角或線段間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc25729 \h 7
【知識點1 圓內(nèi)接四邊形】
【題型1 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度】
【例1】（2022?自貢）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【變式1-1】（2022?云州區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD．當四邊形OBCD是菱形時，則∠OBA+∠ODA的度數(shù)是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【變式1-2】（2022?蜀山區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若連接OD，則∠DOE的度數(shù)是 ．
【變式1-3】（2022秋?包河區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ °．
【題型2 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長度】
【例2】（2022?碑林區(qū)校級四模）如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，則弦BD的長為（ ）
A．2B．3C．D．2
【變式2-1】（2022?延邊州二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過B點作BH⊥AD于點H，若∠BCD＝135°，AB＝4，則BH的長度為（ ）
A．B．2C．3D．不能確定
【變式2-2】（2022?寧津縣模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點D的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【變式2-3】（2022秋?漢川市期中）已知M是弧CAB的中點，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的長度為x，線段AP的長度是x+1，那么線段PB的長度是 ．（用含有x的代數(shù)式表示）
【題型3 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積】
【例3】（2022?賀州模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且∠E＝60°，則⊙O的面積是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【變式3-1】（2022秋?青山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，則△BOC的面積為（ ）
A．3B．6C．9D．12
【變式3-2】（2022?鹿城區(qū)模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，點E在CD的延長線上，且DE＝BC，連接AE，若AE＝4，則四邊形ABCD的面積為 ．
【變式3-3】（2022?碑林區(qū)校級一模）如圖，已知AC＝2，以AC為弦的⊙O上有B、D兩點，且∠BAC＝∠DAC，則四邊形ABCD的面積最大值為 ．
【題型4 利用圓內(nèi)接四邊形判的性質(zhì)斷結(jié)論的正誤】
【例4】（2022?銀川模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個內(nèi)分角成8個角，用下列關(guān)于角的等量關(guān)系不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°
C．∠4＝∠7D．∠ADC＝∠2+∠5
【變式4-1】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）若四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列哪個選項可能成立（ ）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【變式4-2】（2022?南皮縣模擬）如圖，已知四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O，點D在AC的延長線上，CE平分∠BCD交⊙O于點E，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A．AB＝AEB．AB＝BEC．AE＝BED．AB＝AC
【變式4-3】（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于點E．（1）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（2）①若P是的中點，求證：PC＝PA+PB；②若點P在上移動，判斷PC＝PA+PB是否成立，證明你的結(jié)論
【題型5 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行證明】
【例5】（2022?思明區(qū)校級一模）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝90°，P為上一動點（不與點C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半徑；
（2）若∠A＝90°，，求證：PB﹣PDPC．
【變式5-1】（2022秋?陵城區(qū)期末）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．
如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連接BF并延長交CD的延長線于點E．
求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．
【變式5-2】（2022?龍巖模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD，延長DC交AB的延長線于點E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度數(shù)；
（2）若AC＝EC，求證：AD＝BE．
【變式5-3】（2022?天津）如圖，⊙O和⊙O′都經(jīng)過A、B兩點，過B作直線交⊙O于C，交⊙O′于D，G為圓外一點，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．
求證：∠EAF+∠G＝180°．
【題型6 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)探究角或線段間的關(guān)系】
【例6】（2022春?漣水縣校級期末）如圖1，已知△ABC，AB＝AC，以邊AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE．
（1）求證：DE＝DC．
（2）如圖2，連接OE，將∠EDC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠EDC的兩邊分別交OE的延長線于點F，AC的延長線于點G．試探究線段DF、DG的數(shù)量關(guān)系．
【變式6-1】（2022?赤峰）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AB＝AC．
（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度數(shù)；
（2）若BD⊥AC交AC于點E，請判斷∠BAC 和∠DAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式6-2】（2022秋?香洲區(qū)校級期中）畫∠A，在∠A的兩邊分別取點B，點C，在∠A的內(nèi)部取一點P，連接PB，PC．探索BPC與∠A，∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【變式6-3】（2022?阜寧縣二模）我們學(xué)過圓內(nèi)接四邊形，學(xué)會了它的性質(zhì)；圓內(nèi)接四邊形對角互補．下面我們進一步研究．
（1）在圖（1）中．∠ECD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角．請你探究∠DCE與∠A的關(guān)系．并說明理由．
（2）請你應(yīng)用上述結(jié)論解答下題：如圖（2）已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，F(xiàn)、E分別為BD，AD 延長線上的點．如果DE平分∠FDC．求證：AB＝AC．
圓的內(nèi)接四邊形對角互補
四邊形是的內(nèi)接四邊形


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24.3.2 圓內(nèi)接四邊形

版本： 滬科版（2024）

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