下列說法中正確的是(　　)A．在圓內(nèi)部的多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形B．過四邊形四個頂點的圓叫做這個四邊形的外接圓C．任意一個四邊形都有外接圓D．一個圓只有唯一一個內(nèi)接四邊形
[2022·株洲]如圖，等邊三角形ABC的頂點A在⊙O上，邊AB，AC與⊙O分別交于點D，E，點F是劣弧DE上一點，且與D，E不重合，連接DF，EF，則∠DFE的度數(shù)為(　　)A．115° B．118°C．120° D．125°
易知四邊形EFDA是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DFE＋∠A＝180°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°.∴∠DFE＝120°．
[2022·長春]如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為(　　)A．138° B．121° C．118° D．112°
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠BCD＝180°.∴∠A＝180°－121°＝59°.∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°.
[2023·赤峰]如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.則∠CBD的度數(shù)是(　　)A．25° B．30° C．35° D．40°
利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)，再結(jié)合已知條件求得∠COD的度數(shù)，然后利用圓周角定理求得∠CBD的度數(shù)．
∵DB⊥AC，∴∠AFD＝90°.∴∠CAD＝∠BDA＝45°.∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°.∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－120°＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形．∴BC＝OB.
[2023·寧夏]如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AD至點E，已知∠AOC＝140°，那么∠CDE＝________°.
如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD與BC的延長線交于點E，BA與CD的延長線交于點F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，則∠E的度數(shù)為(　　)A．55° B．50°C．45° D．40°
由三角形的外角性質(zhì)得∠B＝∠DCE－∠F＝55°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EDC＝∠B＝55°.∴∠E＝180°－∠DCE－∠EDC＝45°.
如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為邊AD上任意一點(點P不與點A，D重合)，連接CP，若∠B＝120°，則∠APC可能為(　　)A．30° B．45°C．50° D．65°
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°.∵∠B＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°.∵∠APC為△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D滿足題意．故選D.
圓內(nèi)接四邊形的一組對角其實是圓中一條弦所對的兩個圓周角，因此，在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補．
如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，OA∥CD.
(1)若∠ABC＝70°，求∠BAD的度數(shù)；
【解】∵OA＝OB，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝∠BAO＝70°，∴∠BOA＝40°.∵OA∥CD，∴∠C＝∠BOA＝40°.∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C＋∠BAD＝180°.∴∠BAD＝140°.
[2023·北京]如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.
(1)試說明：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；
【解】∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB.∴DB平分∠ADC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝ 180°.
∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°.∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°.∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－90°＝90°.
(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．
【解】∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°.又∵∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE＋∠DAE＝ 90°.∴∠AED＝90°.∴BD⊥AC.∵∠BAD＝90°，∴BD是圓的直徑．∴AE＝CE.∴AD＝CD.
∵∠ADC＋∠ABC＝180°，∠FBC＋∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝ 60°.∴∠BCF＝30°.∴BC＝2BF＝4.∵BD是圓的直徑，∴∠BCD＝90°.∵∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝8.∵BD是圓的直徑，∴圓的半徑長是4.
(1)求證：∠ADC－∠BAC＝90°(請用兩種證法解答)；
【證明】證法一：如圖，連接BD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ADC－∠BAC＝90°.
證法二：如圖，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝ 90°.∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC.∴∠ADC－∠BAC＝90°.
(2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為3，CP＝4，求AP的長．

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初中數(shù)學(xué)滬科版九年級下冊電子課本

24.3.2 圓內(nèi)接四邊形

版本： 滬科版

年級： 九年級下冊

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