TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24819" 【題型1 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc24819 \h 2
\l "_Tc32120" 【題型2 同弧或等弧所對的圓周角相等的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc32120 \h 5
\l "_Tc2689" 【題型3 直徑所對的圓周角是90°的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc2689 \h 9
\l "_Tc21132" 【題型4 翻折中的圓周角的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc21132 \h 13
\l "_Tc10283" 【題型5 利用圓周角求最值】 PAGEREF _Tc10283 \h 18
\l "_Tc27772" 【題型6 圓周角中的證明】 PAGEREF _Tc27772 \h 22
\l "_Tc9392" 【題型7 圓周角中的多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc9392 \h 28
\l "_Tc11917" 【題型8 構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】 PAGEREF _Tc11917 \h 32
\l "_Tc29627" 【題型9 圓周角與量角器的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc29627 \h 37
\l "_Tc19793" 【題型10 利用圓周角求取值范圍】 PAGEREF _Tc19793 \h 40
【知識點(diǎn)1 圓周角定理及其推論】
【題型1 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】
【例1】（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，⊙O上的兩點(diǎn)A，B分別在直徑CD的兩側(cè)，且∠ABC＝78°，則∠AOD的度數(shù)為（ ）
A．12°B．22°C．24°D．44°
【變式1-1】（2022?溫州）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OB，OC．若∠DOE＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．130°
【變式1-2】（2022?藍(lán)山縣一模）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，則∠B＝（ ）
A．100°B．70°C．55°D．65°
【變式1-3】（2022春?漢陽區(qū)校級月考）如圖，AB，CD為⊙O的兩條弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，則⊙O的半徑為（ ）
A．2B．2C．D．
【題型2 同弧或等弧所對的圓周角相等的運(yùn)用】
【例2】（2022?保亭縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，CE⊥AB于點(diǎn)E，若∠D＝48°，則∠1＝（ ）
A．42°B．45°C．48°D．52°
【變式2-1】（2022?南充）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，∠BOF＝65°，則∠AOD為（ ）
A．70°B．65°C．50°D．45°
【變式2-2】（2022?十堰二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D．E是⊙O上一點(diǎn)，且，連接OE．過點(diǎn)E作EF⊥OE，交AC的延長線于點(diǎn)F，則∠F的度數(shù)為（ ）
A．92°B．108°C．112°D．124°
【變式2-3】（2022?本溪模擬）如圖，在⊙O中，，直徑CD⊥AB于點(diǎn)N，P是上一點(diǎn)，則∠BPD的度數(shù)是 ．
【題型3 直徑所對的圓周角是90°的運(yùn)用】
【例3】（2022?中山市三模）如圖，AB是⊙O的直徑，若AC＝2，∠D＝60°，則BC長等于（ ）
A．4B．5C．D．
【變式3-1】（2022?濰坊二模）如圖，已知以△ABC的邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，OD⊥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠BAC＝36°，則∠ODB的度數(shù)為（ ）
A．32°B．27°C．24°D．18°
【變式3-2】（2022?江夏區(qū)校級開學(xué)）如圖，⊙O的直徑AB為8，D為上的一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，若CE＝3AE，∠BAC＝30°，則DE的長是（ ）
A．B．2C．D．
【變式3-3】（2022秋?如皋市校級期中）在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD．
（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC＝2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度數(shù)．
【題型4 翻折中的圓周角的運(yùn)用】
【例4】（2022春?福田區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，則∠BCD的度數(shù)是（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【變式4-1】（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD，若∠BAC＝25°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．45°B．55°C．65°D．70°
【變式4-2】（2022秋?硚口區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的一條弦，C為⊙O上一點(diǎn)，OC∥AB．將劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于點(diǎn)D．若D為翻折后弧AB的中點(diǎn)，則∠ABC＝（ ）
A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°
【變式4-3】（2022秋?丹江口市期中）已知⊙O的直徑AB長為10，弦CD⊥AB，將⊙O沿CD翻折，翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，若AB′＝6，CB′的長為（ ）
A．B．或C．D．或
【題型5 利用圓周角求最值】
【例5】（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動點(diǎn)，若MN＝2，則△PMN周長的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式5-1】（2022?陳倉區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是邊BC上的一個動點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為 ．
【變式5-2】（2022秋?大連期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB＝30°，D為的中點(diǎn)，E是直徑AB上一動點(diǎn)，則CE+DE最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【變式5-3】（2022?杏花嶺區(qū)校級三模）如圖，矩形ABCD中，AB，BC＝AB2，E為射線BA上一動點(diǎn)，連接CE交以BE為直徑的圓于點(diǎn)H，則線段DH長度的最小值為 ．
【題型6 圓周角中的證明】
【例6】（2022秋?定陶區(qū)期末）如圖1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，點(diǎn)E在劣弧上運(yùn)動，連接EC，BE，交AC于點(diǎn)F．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到使BE⊥AC時，連接AO并延長，交BE于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)M，依據(jù)題意在備用圖中畫出圖形．并證明：G為DM的中點(diǎn)．
【變式6-1】（2022春?金山區(qū)校級月考）已知CD為⊙O的直徑，A、B為⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧AB中點(diǎn)，連接DA、BA、AC，且∠B＝30°．
（1）求證：∠D＝30°；
（2）F、G分別為線段CD、AC上兩點(diǎn)，滿足DF＝AG，連接AF、OG，取OG中點(diǎn)H，連接CH，請猜測AF與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式6-2】（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．
（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．
【變式6-3】（2022?南召縣四模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：
阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．
如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．
小明認(rèn)為可以利用“截長法”，如圖2：在線段CB上從C點(diǎn)截取一段線段CN＝AB，連接MA，MB，MC，MN．
小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MA，MB，MC．
任務(wù)：（1）請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程．
（2）就圖3證明：MC2﹣MB2＝BC?AB．
【題型7 圓周角中的多結(jié)論問題】
【例7】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，M是AB上的一動點(diǎn)，下列結(jié)論：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式7-1】（2022秋?淅川縣期末）如圖，已知：點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列結(jié)論：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式7-2】（2022秋?廈門期末）在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D．要使得⊙O與AC邊的交點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)在線段OA上（不與端點(diǎn)重合），需滿足的條件可以是 ．（寫出所有正確答案的序號）
①∠BAC＞60°；②45°＜∠ABC＜60°；③BDAB；④AB＜DEAB．
【變式7-3】（2022秋?東臺市月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OC∥BD，AD與BC，OC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的結(jié)論是 ．（填序號）
【題型8 構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】
【例8】（2022春?杏花嶺區(qū)校級月考）如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且∠ACB＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，7）B．（0，2）C．（0，6）D．（0，3）
【變式8-1】（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，則∠ADC＝ °．
【變式8-2】（2022?北京模擬）已知三角形ABC是銳角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，設(shè)BC邊上的高為h，則h的取值范圍是 ．
【變式8-3】（2022春?西湖區(qū)校級月考）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，以CE為弦作圓，設(shè)該圓與四邊形ABCD的一邊的交點(diǎn)為P，若∠CPE＝30°，則EP的長為 ．
【題型9 圓周角與量角器的綜合運(yùn)用】
【例9】（2022?南召縣模擬）以O(shè)為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊AB重合．點(diǎn)D為斜邊AB上一點(diǎn)，作射線CD交弧AB于點(diǎn)E，如果點(diǎn)E所對應(yīng)的讀數(shù)為50°，那么∠BDE的大小為（ ）
A．100°B．110°C．115°D．130°
【變式9-1】（2022秋?南京期中）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙片上，使點(diǎn)O在半圓圓心上，點(diǎn)B在半圓上，邊AB，AO分別交半圓于點(diǎn)C，D，點(diǎn)B，C，D對應(yīng)的讀數(shù)分別為160°、72°、50°，則∠A＝ ．
【變式9-2】（2022秋?高港區(qū)期中）如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點(diǎn)D對應(yīng)的刻度值為50°，則∠BCD的度數(shù)為 ．
【變式9-3】（2022秋?北京期末）如圖，量角器的直徑與直角三角尺ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，則第20秒點(diǎn)E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是 °．
【題型10 利用圓周角求取值范圍】
【例10】（2022?觀山湖區(qū)模擬）如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB＝OB，直徑CD⊥AB．若點(diǎn)P是線段OD上的動點(diǎn)，點(diǎn)P不與O，D重合，連接PA．設(shè)∠PAB＝β，則β的取值范圍是 ．
【變式10-1】（2022?河南三模）如圖，點(diǎn)O是以AC為直徑的半圓的圓心，點(diǎn)B在上，∠ACB＝30°，AC＝2．點(diǎn)D是直徑AC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A，C不重合），記OD的長為m．連接BD，點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A′，當(dāng)點(diǎn)A′落在由直徑AC，弦圍成的封閉圖形內(nèi)部時（不包含邊界），m的取值范圍是 ．
【變式10-2】（2022秋?臺州期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O的優(yōu)弧ACB上的一個動點(diǎn)（不與A，B不重合），
（1）設(shè)∠ACB的平分線與劣弧AB交于點(diǎn)P，試猜想點(diǎn)P劣弧AB上的位置是否會隨點(diǎn)C的運(yùn)動而變化？請說明理由
（2）如圖②，設(shè)AB＝8，⊙O的半徑為5，在（1）的條件下，四邊形ACBP的面積是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請求出ACBP的面積的取值范圍．
【變式10-3】（2022秋?高新區(qū)校級期末）如圖，A、B為⊙O上的兩個定點(diǎn)，P是⊙O上的動點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動角．若⊙O的半徑是1，AB，則∠APB的取值范圍為 ．
圓周角定理
定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的圓心角度數(shù)的一半
是所對的圓心角，
是所對的圓周角，
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等
和都是所對的圓周角
推論2：直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑
是的直徑
是所對的圓周角
是所對的圓周角

是的直徑

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初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）九年級下冊電子課本

24.3.1 圓周角定理

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