比例的基本性質(zhì)
（1）兩條線段的長度之比叫做兩條線段的比.
（2）在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.
（3）若a∶b=b∶c或 SKIPIF 1 < 0 ,則b叫做a,c的比例中項(xiàng).
（4）比例的基本性質(zhì): SKIPIF 1 < 0 ?ad=bc.
（5）合比性質(zhì): SKIPIF 1 < 0 .
（6）等比性質(zhì):
SKIPIF 1 < 0 =…= SKIPIF 1 < 0 (b+d+…+n≠0)? SKIPIF 1 < 0 .
（7）黃金分割:如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),AC>BC，若AC2=AB·BC，則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC= SKIPIF 1 < 0 AB≈0.618AB，BC= SKIPIF 1 < 0 AB，一條線段有2個(gè)黃金分割點(diǎn).
（8）平行線分線段成比例定理:
①平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
②推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
相似三角形
（1）定義:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.
（2）似三角形的判定定理
① 相似三角形的判定定理1:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;
② 相似三角形的判定定理2:三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;
③ 相似三角形的判定定理3:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似;
④ 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;
⑤ 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似.補(bǔ)充:若CD為Rt△ABC斜邊上的高(如圖),則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj
（3）性質(zhì):
①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;
②相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例;
③相似三角形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.
相似多邊形
（1）定義:各角對(duì)應(yīng)相等,各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形;相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.
（2）性質(zhì):
①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.
②相似多邊形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.
圖形的位似
（1）位似圖形定義:如果兩個(gè)圖形不僅相似,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,此時(shí)相似比又稱位似比.
（2）位似圖形的性質(zhì):位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于位似比,位似圖形周長的比等于相似比,面積比等于位似比的平方.
【考點(diǎn)1】比例的有關(guān)概念和性質(zhì)
【例1】（比例的性質(zhì)） 已知a，b，c是非零實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中a＋b＋c≠0，則k的值為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【分析】先將原式寫成整式的形式，然后再求解即可．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)a＋b＋c≠0時(shí)，2k=1，即k＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故填： SKIPIF 1 < 0 ．
【例2】（成比例線段）（2022·浙江麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 故選：C
1．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D
2．（2020成都）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長為（ ）
A．2B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解析】∵直線l1∥l2∥l3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE= SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D．
3．如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所截， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可．
【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴DE= SKIPIF 1 < 0
故選：D．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故選B．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ＝______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先把式子 SKIPIF 1 < 0 變成 SKIPIF 1 < 0 ，再代值計(jì)算即可得出答案．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案是： SKIPIF 1 < 0

【考點(diǎn)2】黃金分割
【例3】（2022·湖南衡陽）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為 SKIPIF 1 < 0 的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（ ）（結(jié)果精確到 SKIPIF 1 < 0 ．參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】設(shè)雕像的下部高為x m，由黃金分割的定義得 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為x m，則上部長為（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m， 故選：B．
黃金分割的概念和性質(zhì)：若AC2=AB·BC，則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC= SKIPIF 1 < 0 AB≈0.618AB，BC= SKIPIF 1 < 0 AB，一條線段有2個(gè)黃金分割點(diǎn).
1．（2022·山西）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）
A．平移B．旋轉(zhuǎn)C．軸對(duì)稱D．黃金分割
【答案】D
【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解．
【詳解】解：動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割．故選：D
2．（2021·四川巴中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不對(duì)
【答案】A
【分析】點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【解析】解：由題意知，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，
且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴（20?x）2＝20x，
故選：A．
3．（2022·陜西）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做 SKIPIF 1 < 0 將矩形窗框 SKIPIF 1 < 0 分為上下兩部分，其中E為邊 SKIPIF 1 < 0 的黃金分割點(diǎn)，即 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 為2米，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為______米．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入數(shù)值得出答案．
【詳解】∵點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵AB=2米，∴ SKIPIF 1 < 0 米．故答案為：（ SKIPIF 1 < 0 ）．
4．已知線段AB的長為10cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC＝_____cm．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】5 SKIPIF 1 < 0 ﹣5
【分析】根據(jù)黃金比值是 SKIPIF 1 < 0 列式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC＞BC，
∴AC＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝（5 SKIPIF 1 < 0 ﹣5）cm，
故答案為：5 SKIPIF 1 < 0 ﹣5．

【考點(diǎn)3】相似圖形的判定與性質(zhì)
【例4】（三角形相似的判定）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【詳解】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，
C、兩三角形對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意，
D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意，
故選：C．
【例5】（補(bǔ)充條件使三角形相似的性質(zhì)）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍不能使 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案．
【詳解】解：A、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)不合題意；
B、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)不合題意；
C、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)不合題意；
D、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，無法得出 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【例6】（三角形相似的性質(zhì)求周長）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD SKIPIF 1 < 0 AB于點(diǎn)D．則△BCD與△ABC的周長之比為（ ）
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:5
【答案】A
【詳解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，則BC=2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；
故選：A
【例7】（三角形相似的性質(zhì)求面積）（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（ ）
A．1 ：3B．1：6C．1：9D．3：1
【答案】C
【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．
【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，
∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，故選：C．
【例8】（三角形相似的性質(zhì)求線段長度）（2022·黑龍江哈爾濱）如圖， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)E， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長成比例可求得BE的長，即可求得BD的長．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故選：C．
判定三角形相似的幾種思路方法
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
這是判定三角形相似的一種基本方法，當(dāng)已知條件中有平行線時(shí)可考慮采用此方法.這里，相似的基本圖形可分別記為“A”型（如圖①）和“X”型（如圖②），在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.
（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
若已知條件中給出三組邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可考慮證明三邊成比例.
（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí)，可考慮找夾邊成比例；反之，若已知夾邊成比例，可考慮找夾角相等.
（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí)，可考慮再找另一對(duì)等角.
1．如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ，添加下列一個(gè)條件，不能使 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先證出∠DAE=∠BAC，再根據(jù)三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．
【詳解】解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
若∠B=∠D或∠E=∠C或 SKIPIF 1 < 0 ，
則有△ADE∽△ABC．
故選：A．
2．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先求解 SKIPIF 1 < 0 再證明 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 DE∥BC， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故選D
3．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)E，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長比為（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【答案】D
【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明 SKIPIF 1 < 0 ，最后利相似三角形周長的比等于相似比即可求出．
【詳解】如圖：由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，∴四邊形DCBM為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故選：D．
4．如圖，AB和CD表示兩根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的兩根鋼筋，AC與BD相交于點(diǎn)M，已知AB=8 m，CD=12m，則點(diǎn)M離地面的高度MH為( )
A. 4 mB. SKIPIF 1 < 0 C. 5mD. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)已知易得△CMH∽△CAB，△BMH∽△BDC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得比例式，將比例式變形整理，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可.
【詳解】解：由題意得，AB∥MH∥CD，
∴△CMH∽△CAB，△BMH∽△BDC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴①+②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵AB=8，CD=12，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴MH= SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
5．（2022·廣西賀州）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
6．如圖，已知點(diǎn)D為 SKIPIF 1 < 0 ABC邊AB上一點(diǎn)，AD：AB＝2：3，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，若AE＝6，則EC的長度是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AC的長，然后AC-AE即可求得答案．
【詳解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AD：AB=2：3，AE=6，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 AE=9,
∴EC=AC-AE=9-6=3．
故選C．
7．“創(chuàng)新實(shí)踐”小組想利用鏡子與皮尺測(cè)量大樹 SKIPIF 1 < 0 的高度，因大樹底部有障礙物，無法直接測(cè)量到大樹底部的距離．聰明的小穎借鑒《海島算經(jīng)》的測(cè)量方法設(shè)計(jì)出如圖所示的測(cè)量方案：測(cè)量者站在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，將鏡子放在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處時(shí)，剛好看到大樹的頂端，沿大樹方向向前走2．8米，到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，將鏡子放在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處時(shí)，剛好看到在樹的頂端（點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上），若測(cè)得 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1．6米，求大樹 SKIPIF 1 < 0 的高度．
【答案】9.6米
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 米，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而列出方程，解方程即可得到結(jié)論．
【詳解】解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 米，則 SKIPIF 1 < 0 米，
由題意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
答：大樹 SKIPIF 1 < 0 的高度為9.6米．

【考點(diǎn)4】位似圖形
【例9】（位似的性質(zhì)）（2022·山東濰坊）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的外接圓的周長為___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為4，求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)位似比求出 SKIPIF 1 < 0 ，周長即可得出；
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面積為4，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所求周長 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【例10】（位似作圖）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（2，1）．
（1）以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OAB放大2倍；
（2）分別寫出A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)．
【答案】（1）見詳解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.
【分析】(1)把B、A的橫縱坐標(biāo)都乘以?2得到B′、A′的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
(2)分別求出點(diǎn)B、A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的2倍的相反數(shù)即可．
【詳解】解：(1)如圖，△OB?A?為所作；
(2) ∵ SKIPIF 1 < 0
∴A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)為A′（-6,2），B′（-4，-2）.
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.
1．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形， SKIPIF 1 < 0 是位似中心，位似比為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．8B．9C．10D．15
【答案】B
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出線段比進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形， SKIPIF 1 < 0 是位似中心，位似比為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案為：B．
2．（2022·重慶）如圖， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長之比是（ ）
A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9
【答案】A
【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比即可求解．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 位似
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的位似比是1:2
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的相似比是1:2
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長比是1:2故選：A．
3．（2020重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，2），B（1，1），C（3，
1），以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，則
線段DF的長度為（ ）
A．B．2C．4D．2 SKIPIF 1 < 0
【分析】把A、C的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到D、F的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段DF的長．
【解析】∵以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F(xiàn)（6，2），
∴DF= SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
4．（2022·四川成都）如圖， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為位似中心的位似圖形．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長比是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得到相似比為 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合三角形的周長比等于相似比即可得到結(jié)論．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為位似中心的位似圖形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 根據(jù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長比等于相似比可得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
5．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知 SKIPIF 1 < 0 ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．
（1）畫出 SKIPIF 1 < 0 ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的 SKIPIF 1 < 0 A1B1C1；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方畫出 SKIPIF 1 < 0 A2B2C2，使 SKIPIF 1 < 0 A2B2C2與 SKIPIF 1 < 0 ABC位似，且位似比為2，并寫出A2，B2，C2的坐標(biāo)．
【答案】（1）△A1B1C1為所求作，畫圖見詳解 ；（2）A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），△A2B2C2為所求作，畫圖見詳解．
【分析】（1）利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，分別寫出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后分別描點(diǎn)，依次連接這三點(diǎn)即得符合要求的三角形；
（2）根據(jù)位似圖形在x軸下方，結(jié)合位似比2，把A、B、C的橫縱坐標(biāo)分別乘-2，即得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，描點(diǎn)得到△A2B2C2．
【詳解】解（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)． SKIPIF 1 < 0 ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的 SKIPIF 1 < 0 A1B1C1，
∴A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)關(guān)于x軸對(duì)稱軸坐標(biāo)為A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），
在平面直角坐標(biāo)系中描出A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），
順次連結(jié)A1B1， B1C1， C1A1，
如下圖，△A1B1C1所求作；

（2） SKIPIF 1 < 0 A2B2C2與 SKIPIF 1 < 0 ABC位似，且位似比為2， SKIPIF 1 < 0 ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．
A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)的位似點(diǎn)坐標(biāo)為A2（-2×（-2）,1×（-2））即（4，-2），
B2（1×（-2），2×（-2））即（-2，-4），C2（-4×（-2），4×（-2））即（8，-8）
在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），
順次連結(jié)A2B2， B2C2，C2A2，
如下圖，△A2B2C2為所求作

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