1. 函數(shù)零點的概念對于函數(shù) y ＝ f ( x )，我們把使① 的實數(shù) x 叫做函數(shù) y ＝ f ( x )的零點.注意　 零點不是點，是滿足 f ( x )＝0的實數(shù) x .
3. 零點存在定理如果函數(shù) y ＝ f ( x )在區(qū)間[ a ， b ]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有④ ? ，那么，函數(shù) y ＝ f ( x )在區(qū)間⑤ 內(nèi)至少有一個零點，即存在 c ∈( a ， b )，使得⑥ ，這個 c 也就是方程 f ( x )＝0的解.注意　 (1)函數(shù)的零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷 函數(shù)的不變號零點.(2)對于連續(xù)函數(shù) f ( x )，在[ a ， b ]上， f ( a )· f ( b )＜0是 f ( x )在( a ， b )上存在零點的 充分不必要條件.
f ( a )·
規(guī)律總結(jié)(1)若圖象連續(xù)不斷的函數(shù) f ( x )在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù) f ( x )至多有一個零點.(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.
4. 二分法對于在區(qū)間[ a ， b ]上圖象連續(xù)不斷且 f ( a )· f ( b )＜0 的函數(shù) y ＝ f ( x )，通過不斷地把 它的⑦ 所在區(qū)間⑧ ?，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點， 進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.
給定精確度ε，用二分法求函數(shù) y ＝ f ( x )零點 x 0的近似值的一般步驟：
1. 確定零點 x 0的初始區(qū)間[ a ， b ]，驗證 f ( a ) f ( b )＜0.
2. 求區(qū)間( a ， b )的中點 c .
3. 計算 f ( c )，并進(jìn)一步確定零點所在的區(qū)間：
(1)若 f ( c )＝0(此時 x 0＝ c )，則 c 就是函數(shù)的零點；
(2)若 f ( a ) f ( c )＜0(此時 x 0∈( a ， c ))，則令 b ＝ c ；
(3)若 f ( c ) f ( b )＜0(此時 x 0∈( c ， b ))，則令 a ＝ c .
4. 判斷是否達(dá)到精確度ε：若｜ a － b ｜＜ε，則得到零點近似值 a (或 b )；否則重復(fù) 步驟2～4.
1. 下列說法正確的是(　D　)
[解析]　當(dāng) x ≤0時，由 x 2＋ x －2＝0，得 x ＝－2.當(dāng) x ＞0時，由－1＋ln x ＝0，得 x ＝e.所以 f ( x )的零點為－2，e.
4. 已知函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：
則函數(shù) y ＝ f ( x )在區(qū)間[1，6]上的零點至少有 個.
[解析]　依題意， f (2)＞0， f (3)＜0， f (4)＞0， f (5)＜0，根據(jù)零點存在定理可知， f ( x )在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有1個零點，故函數(shù) y ＝ f ( x )在區(qū)間 [1，6]上的零點至少有3個.
命題點1　判斷函數(shù)零點所在區(qū)間 例1 (1)[2024海南模擬]函數(shù) f ( x )＝ x ＋ sin x －2的零點所在區(qū)間為(　B　)
[解析]　因為 f '( x )＝1＋ cs ≥0，所以 f ( x )在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.因為 f (1)＝－1＋ sin 1＜0， f (2)＝ sin 2＞0，所以函數(shù) f ( x )的零點在(1，2)內(nèi).故選B.
(2)函數(shù) f ( x )＝lg3 x ＋ x －2的零點所在的區(qū)間為(　B　)
[解析]　解法一　函數(shù) f ( x )＝lg3 x ＋ x －2的定義域為(0，＋∞)，并且 f ( x )在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.由題意知 f (1)＝－1＜0， f (2)＝lg32＞0，根據(jù)零點存在定理可知，函數(shù) f ( x )＝lg3 x ＋ x －2有唯一零點，且零點在區(qū)間(1，2)內(nèi).故選B.
解法二　將判斷函數(shù) f ( x )的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù) g ( x )＝lg3 x ， h ( x )＝ － x ＋2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的范圍.作出兩函數(shù)圖象如圖所示，可知 f ( x )的零點 所在的區(qū)間為(1，2).故選B.
方法技巧確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：先看函數(shù) y ＝ f ( x )在區(qū)間[ a ， b ]上的圖象是否連續(xù)，再 看是否有 f ( a )· f ( b )＜0.(2)數(shù)形結(jié)合法：畫函數(shù)圖象，通過觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，也可轉(zhuǎn)化為觀察兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.
訓(xùn)練1 若 a ＜ b ＜ c ，則函數(shù) f ( x )＝( x － a )( x － b )＋( x － b )( x － c )＋( x － c )( x － a ) 的兩個零點分別位于區(qū)間(　A　)
[解析]　因為 f ( a )＝( a － b )( a － c )＞0， f ( b )＝( b － c )( b － a )＜0， f ( c )＝( c － a )( c － b )＞0，所以 f ( a )· f ( b )＜0， f ( b )· f ( c )＜0，所以函數(shù) f ( x )的兩個零點分別位于區(qū)間( a ， b )和( b ， c )內(nèi).故選A.
命題點2　判斷函數(shù)的零點個數(shù) 例2 (1)[全國卷Ⅲ]函數(shù) f ( x )＝2 sin x － sin 2 x 在[0，2π]的零點個數(shù)為(　B　)
[解析]　 f ( x )＝2 sin x －2 sin x cs x ＝2 sin x (1－ cs x )，令 f ( x )＝0，則 sin x ＝0或 cs x ＝1，所以 x ＝ k π( k ∈Z)，又 x ∈[0，2π]，所以 x ＝0或 x ＝π或 x ＝2π.故選B.
方法技巧判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接法：令 f ( x )＝0，解方程可得.(2)利用函數(shù)的零點存在定理：利用函數(shù)的零點存在定理結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如 單調(diào)性、奇偶性)判斷.(3)圖象法：將判斷函數(shù) f ( x )零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù) f ( x )的圖象與 x 軸交點的個 數(shù)，或?qū)⒑瘮?shù) f ( x )拆成兩個函數(shù) h ( x )和 g ( x )的差的形式，判斷函數(shù) y ＝ h ( x )和 y ＝ g ( x )的圖象的交點個數(shù).
[解析]　易得函數(shù) y ＝ f ( x )是周期為2的函數(shù)，因為 x ∈[－1，1]時， f ( x )＝1－ x 2， 所以作出 y ＝ f ( x )的圖象，如圖所示.
(2)[2023河南省部分學(xué)校押題信息卷]設(shè) f ( x )是定義在R上且周期為5的奇函數(shù)， f (3) ＝0，則 f ( x )在[0，10]內(nèi)的零點個數(shù)最少是(　D　)
方法技巧已知函數(shù)零點情況求參數(shù)取值范圍的方法(1)直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組) 確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，再在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，最 后數(shù)形結(jié)合求解.
角度3　函數(shù)零點(或方程根)的和例5 [2023廣東六校第一次聯(lián)考]定義在R上的函數(shù) f ( x )滿足 f (－ x )＋ f ( x )＝0， f ( x ) ＝ f (2－ x )；且當(dāng) x ∈[0，1]時， f ( x )＝ x 3－ x 2＋ x .則方程7 f ( x )－ x ＋2＝0所有的根 的和為(　A　)
[解析]　由 f (－ x )＋ f ( x )＝0， f ( x )＝ f (2－ x )可得 f ( x )為奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線 x ＝1對稱，且易得 f ( x )的周期為4.
方法技巧解函數(shù)零點(或方程根)的和的問題的方法(1)把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，通過解方程，求出方程的所有根，再求出這些 根的和.(2)作出函數(shù)的草圖，通過函數(shù)的圖象的對稱性，得出函數(shù)零點的對稱性，從而求出 這些零點的和.
訓(xùn)練3 (1)[2023湖北省沙市中學(xué)模擬]若函數(shù) f ( x )＝ln x ＋ x 2＋ a －1在區(qū)間(1，e)內(nèi) 有零點，則實數(shù) a 的取值范圍是(　A　)
[解析]　函數(shù) f ( x )的定義域為(0，＋∞)，因為函數(shù) y ＝ln x 與 y ＝ x 2在(0，＋∞)上均 單調(diào)遞增，所以函數(shù) f ( x )＝ln x ＋ x 2＋ a －1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則由函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點知 f (1) f (e)＜0，即 a (e2＋ a )＜0，解得－e2＜ a ＜0，故選A.
[解析]　令 t ＝ f ( x )，則 h ( t )＝ t 2－ f ( t )，令 h ( t )＝0，可得 t 2＝ f ( t )，當(dāng) t ＞0時，由 t 2＝ f ( t )，可得 t 2＝( t －2)2，即－4 t ＋4＝0，解得 t ＝1；當(dāng) t ＜0時，由 t 2＝ f ( t )，可得 t 2＝2 t ＋3，即 t 2－2 t －3＝0，解得 t ＝－1或 t ＝3(舍去)，所以 t ＝±1，即 f ( x )＝±1.當(dāng) x ＞0時，令( x －2)2＝1或( x －2)2＝－1(舍去)，解得 x ＝1或 x ＝3；當(dāng) x ＜0時，令2 x ＋3＝1或2 x ＋3＝－1，解得 x ＝－1或 x ＝－2，所以函數(shù) g ( x )＝[ f ( x )]2－ f [ f ( x )]的零點之和為1＋3－1－2＝1.故選D.
(3)[多選/2023廊坊模擬]已知函數(shù) f ( x )＝｜ x 2＋3 x ＋1｜－ a ｜ x ｜，則下列結(jié)論正 確的是(　AC　)
由圖可知，若 f ( x )沒有零點，則 a ∈(－∞，0)，故A正確；
若 f ( x )恰有2個零點，則 a ∈{0}∪(1，5)，故B不正確；
若 f ( x )恰有3個零點，則 a ＝1或 a ＝5，故C正確；
若 f ( x )恰有4個零點，則 a ∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正確.故選AC.
當(dāng) x ≥0時， f ( x )＝6 x 3－9 x 2＋1，則 f '( x )＝18 x 2－18 x ＝18 x ( x －1).
當(dāng) x ∈(0，1)時， f '( x )＜0；當(dāng) x ∈(1，＋∞)時， f '( x )＞0.
所以 g ( x )的零點個數(shù)為3，故選B.
方法技巧復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題的求解關(guān)鍵：一是注意觀察圖象特征；二是將外層函數(shù)的 定義域和內(nèi)層函數(shù)的值域準(zhǔn)確對接.
訓(xùn)練4 [多選/2024云南省下關(guān)第一中學(xué)模擬]函數(shù) y ＝ f ( x )和 y ＝ g ( x )在[－2，2]上的 圖象分別如圖1，2所示.則以下四個說法正確的是(　ACD　)
[解析]　易得函數(shù) f ( x )有3個零點，分別設(shè)為 m 1， m 2， m 3，令 m 1＜ m 2＜ m 3，則有 m 1∈(－2，－1)， m 2＝0， m 3∈(1，2).函數(shù) g ( x )有2個零點，分別設(shè)為 n 1， n 2，令 n 1＜ n 2，則有 n 1∈(－2，－1)， n 2∈(0，1).
對于A，方程 f ( g ( x ))＝0的根的個數(shù)即 g ( x )的圖象與直線 y ＝ m 1， y ＝0， y ＝ m 3的 交點個數(shù)之和，如圖1，易得總共有6個交點，故A正確.
對于B，方程 g ( f ( x ))＝0的根的個數(shù)即 f ( x )的圖象與直線 y ＝ n 1， y ＝ n 2的交點個 數(shù)之和，如圖2，易得總共有4個交點，故B錯誤.
對于C，方程 f ( f ( x ))＝0的根的個數(shù)即 f ( x )的圖象與直線 y ＝ m 1， y ＝0， y ＝ m 3的 交點的個數(shù)之和，如圖3，易得總共有5個交點，故C正確.
對于D，方程 g ( g ( x ))＝0的根的個數(shù)即 g ( x )的圖象與直線 y ＝ n 1， y ＝ n 2的交點個 數(shù)之和，如圖4，易得總共有4個交點，故D正確.故選ACD.
方法技巧已知復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題的解題關(guān)鍵：一是會轉(zhuǎn)化，會把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化 為方程的根；二是會構(gòu)造，通過換元法，把復(fù)合方程的根的問題轉(zhuǎn)化為更簡單的方 程根的問題；三是會作圖，明晰“草圖不草”；四是會用圖，通過觀察圖象特征， 求得參數(shù)的取值范圍.
1. [命題點2/2024四川省成都市零診]函數(shù) f ( x )＝e x －2 023｜ x －2｜的零點個數(shù)為 (　D　)
2. [命題點3角度1/2023天津高考]若函數(shù) f ( x )＝ ax 2－2 x －｜ x 2－ ax ＋1｜有且僅有 兩個零點，則 a 的取值范圍為 ?.
(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)　
若 a ≠0且 a ≠±1，分以下兩種情況：
當(dāng) x ＞1時， f ( x )＝｜lg3( x －1)｜，先作出函數(shù) y ＝lg3 x 的圖象，再將其向右平移1個單位長度，最后將 x 軸下方的圖象關(guān)于 x 軸翻折，就得到函數(shù) f ( x )＝｜lg3( x －1)｜的圖象，如圖1所示.
如圖3，因為0＜ t 1＜1，所以直線 y ＝ t 1和 y ＝ f ( x )的圖象有兩個交點，即方程 f ( x ) ＝ t 1有兩個不等實根；
因為1＜ t 2＜2，所以直線 y ＝ t 2和 y ＝ f ( x )的圖象有三個交點，即方程 f ( x )＝ t 2有三 個不等實根.
1. [2024廣東省茂名市模擬]函數(shù) f ( x )＝e x － x －2的一個零點所在的區(qū)間為(　B　)
[解析]　因為 f (1)＝e－1－2＜0， f (2)＝e2－4＞0， 根據(jù)零點存在定理得函數(shù) f ( x )在 (1，2)內(nèi)有零點，所以選B.
解得 x ＝－2或 x ＝e.因此函數(shù) f ( x )共有2個零點.故選B.
解法二(圖象法)　函數(shù) f ( x )的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù) f ( x )共有2個零點.故選B.
4. 已知 x 1是ln x ＋ x ＝5的根， x 2是ln(4－ x )－ x ＝1的根，則(　A　)
[解析]　由ln x ＋ x ＝5，得ln x ＝5－ x ，因為函數(shù) y ＝ln x 在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 函數(shù) y ＝5－ x 在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由函數(shù) y ＝ln x 與函數(shù) y ＝5－ x 的圖象 (圖略)可知ln x ＝5－ x 有唯一解 x 1.由ln(4－ x )－ x ＝1，得ln(4－ x )＝1＋ x ，令 t ＝4 － x ( t ＞0)，得ln t ＝5－ t ，由題意可知4－ x 2是ln t ＝5－ t 的根，所以 x 1＝4－ x 2， 所以 x 1＋ x 2＝4，故選A.
[解析]　令 t ＝ f ( x )－1，則由 f ( t )－1＝0即 f ( t )＝1，解得 t ＝－2或0或e，即 f ( x )－ 1＝－2或0或e，所以 f ( x )＝－1或1或e＋1.
在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出 y ＝ f ( x )， y ＝－1， y ＝1， y ＝e＋1的圖象，如 圖所示，
由圖象可知 y ＝ f ( x )的圖象與 y ＝－1有1個交點，即 f ( x )＝－1有1個根； y ＝ f ( x )的 圖象與 y ＝1有3個交點，即 f ( x )＝1有3個根； y ＝ f ( x )的圖象與 y ＝e＋1有2個交 點，即 f ( x )＝e＋1有2個根.所以函數(shù) y ＝ f ( f ( x )－1)－1的零點個數(shù)為1＋3＋2＝6， 故選C.
6. [2024遼寧省實驗中學(xué)模擬]函數(shù) f ( x )＝ x 3－ x 2＋5， x ∈[－2，－1]有零點，用二 分法求零點的近似值(精確度為0.2)時，至少需要進(jìn)行(　B　)次中點函數(shù)值的計算.
8. [2024湖南省株洲市第二中學(xué)模擬]設(shè)[ x ]表示不超過 x 的最大整數(shù)，則方程 x 2－ 4[ x ]＋3＝0的所有根的和為 ?.
9. [2023全國卷乙]函數(shù) f ( x )＝ x 3＋ ax ＋2存在3個零點，則 a 的取值范圍是(　B　)
11. [多選/2023南京市二模]已知函數(shù) f ( x )＝｜e x － a ｜， a ＞0.下列說法正確的為 (　BCD　)
[解析]　解法一(解方程)　對選項A，當(dāng) a ＝1時，令 f ( x )＝｜e x －1｜＝1，解 得e x ＝0(舍去)或e x ＝2，則 x ＝ln 2，故函數(shù) y ＝ f ( x )與 y ＝1的圖象只有一個 公共點，A錯誤.對選項B，由｜e x － a ｜＝ a 2有e x ＝ a ＋ a 2或e x ＝ a － a 2，由 a ＞0得 a ＋ a 2 ＞0，則e x ＝ a ＋ a 2必有唯一解，故當(dāng)函數(shù) y ＝ f ( x )與 y ＝ a 2的圖象有兩個公 共點時，e x ＝ a － a 2必有解，故 a － a 2＞0，解得0＜ a ＜1，故B正確.對選項C，設(shè) f ( f ( x ))＝0， t ＝ f ( x )，則 f ( t )＝0，即｜e t － a ｜＝0， t ＝ln a ，所以 f ( x )＝ln a ，即｜e x － a ｜＝ln a ，解得e x ＝ a ＋ln a 或e x ＝ a －ln a ，當(dāng) a ＞1時， a ＋ln a ＞0，e x ＝ a ＋ln a 必有唯一解，當(dāng) a ＞1時，0＜ln a ＜ a ，故e x ＝ a －ln a 也有唯一解，故 f ( f ( x ))＝0有兩個不等實根，故C正確.
解法二(數(shù)形結(jié)合)　對選項A，當(dāng) a ＝1時， f ( x )＝｜e x －1｜，作出 y ＝ f ( x )的圖象 和直線 y ＝1，如圖(1)，注意到直線 y ＝1是 y ＝ f ( x )在 x ＜0時的圖象的一條漸近 線，故函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象與直線 y ＝1只有一個公共點，A錯誤.
對選項B，當(dāng) a ＝1時，由選項A的判斷過程知，不合題意，舍去；當(dāng) a ＞1時， f (0) ＝｜1－ a ｜＝ a －1， a 2＞ a ，直線 y ＝ a 是 y ＝ f ( x )， x ＜0的圖象的一條漸近線， 如圖(2)，直線 y ＝ a 2在漸近線 y ＝ a 的上方，此時函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象與直線 y ＝ a 2 只有一個公共點，不合題意，舍去；當(dāng)0＜ a ＜1時， f (0)＝｜1－ a ｜＝1－ a ， a ＞ a 2，直線 y ＝ a 是 y ＝ f ( x )， x ＜ln a 的圖象的一條漸近線，如圖(3)，直線 y ＝ a 2在 漸近線 y ＝ a 與 x 軸之間，函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象與直線 y ＝ a 2有兩個公共點，適合題 意，故0＜ a ＜1.B正確.
[解析]　方程有4個不同的解，因而由函數(shù) f ( x )的圖象(如圖)可知，1＜ m ≤2，A錯誤.
當(dāng) f ( x )＝2時，最小的根為－3，當(dāng) f ( x )＝1時，最小的根為－2，故－3≤ x 1＜－2，B正確.
14. [2024廣東惠州質(zhì)檢]定義在R上的函數(shù) f ( x )滿足 f ( x ＋2)＝ f ( x －2)，當(dāng) x ∈[0，4) 時， f ( x )＝｜ x 2－4 x ＋3｜.若關(guān)于 x 的函數(shù) y ＝ f ( x )－ m 在區(qū)間[－4，6]上有10個不 同零點，則實數(shù) m 的取值范圍是 ?.
[解析]　關(guān)于 x 的函數(shù) y ＝ f ( x )－ m 在區(qū)間[－4，6]上有10個不同零點?關(guān)于 x 的方 程 f ( x )－ m ＝0在區(qū)間[－4，6]上有10個不同的根?函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象與直線 y ＝ m 在[－4，6]上有10個不同的交點.由 f ( x ＋2)＝ f ( x －2)得 f ( x ＋4)＝ f ( x )，所以函數(shù) f ( x )的周期為4，根據(jù)“當(dāng) x ∈[0，4)時， f ( x )＝｜ x 2－4 x ＋3｜”作出 y ＝ f ( x )在區(qū) 間[－4，6]上的圖象，如圖所示，其中 f (0)＝3， f (2)＝1， f (1)＝ f (3)＝0.由圖象可知，若函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象與直線 y ＝ m 在[－4，6]上有10個不同的交點，則實數(shù) m 的取值范圍為(0，1).

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第二章　§2.11　函數(shù)的零點與方程的解-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）：

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測課件第2章§2.11函數(shù)的零點與方程的解 (含解析)：

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